2. Bölüm Değerlendirme Soruları
A) Aşağıda boş bırakılan yerleri uygun ifadelerle tamamlayınız.
1- f : A → B olmak üzere A kümesinden alınan bir x elemanının, B kümesinde eşleştiği y elemanına f(x) denir.
2- Tanım kümesindeki her elemanı değer kümesinde kendisiyle eşleyen fonksiyona birim fonksiyon denir.
3- f : A → B olmak üzere f’nin tanım kümesi A, değer kümesi B ve görüntü kümesi f(A)’dır.
4- f(x + 1) = ax + b kuralı ile verilen fonksiyonun birim fonksiyon olması için a + b = 1 olur.
5- a, b ∈ R olmak üzere f : R → R, f(x) = ax + b biçimindeki fonksiyonlara lineer fonksiyonlar denir.
6- Tanım kümesindeki her ekranı değer kümesindeki tek bir ekranla eşleyen fonksiyona örten fonksiyon denir.
7- Bir fonksiyonun tanım kümesindeki her elemanın görüntüsü birbirinden farklı ise o fonksiyona bire bir fonksiyon denir.
8- Bire bir ve örten bir fonksiyonun ters fonksiyonu kendisiyle aynı özellikte gösterilir.
9- f : A → A, R fonksiyonu verilsin. Her x ∈ A için f(x) = f⁻¹(x) ise f fonksiyonuna kendine eş fonksiyon denir.
10- Fonksiyonlarda bileşke işleminin değişme özelliği yoktur.
11- Gerçek sayılarda tanımlı her f, g ve h fonksiyonları için (f o (g o h)) = ((f o g) o h) olur.
12- Bir fonksiyonun tersinin de fonksiyon olması için gerek ve yeterli koşul fonksiyonun bire bir ve örten olmasıdır.
B) Aşağıdaki ifadelerin başında yer alan yay ayraca, ifade doğruysa “D”, yanlışsa “Y” yazınız.
1- (Y) f bir fonksiyon, f : A → B olmak üzere f(A), f fonksiyonunun değer kümesidir.
2- (D) A = {1, 0, 1}, B = {2, 3}, f : A → B, f(x) = x² + 1 kuralı verilen f fonksiyonu bir fonksiyon değildir.
3- (D) Bir f fonksiyonunun grafiği verildiğinde x eksenine paralel çizilen doğrular grafiği yalnızca bir noktada keserse o fonksiyon bire bir bir fonksiyondur.
4- (D) Bir f fonksiyonunun grafiği verildiğinde (a, b) sıralı ikilisi grafiğin üzerinde ise f⁻¹(b) = a olur.
5- (Y) f(x) = (3x) + 3x + 5 olmak üzere f fonksiyonu sabit ise f(7) = 7 olur.
6- (D) Uygun şartlarda tanımlı f fonksiyonunda her x için f(x) = f⁻¹(x) ise f fonksiyonu tek fonksiyondur.
7- (D) Fonksiyonlarda bileşke işleminin birleşme özelliği vardır.
8- (Y) f bire bir ve örten fonksiyon verilsin. f(a) = b ise f⁻¹(b) = 1/a olur.
C) Aşağıdaki çoktan seçmeli soruları cevaplayınız.
Soru 1 Yukarıda toplarla oluşturulan bir örüntü verilmiştir. Buna göre bu örüntünün x. adımındaki top sayısını veren fonksiyon kuralı ve 12. adımda kullanılan top sayısı aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm:
Fonksiyon kuralı: f(x) = (x² + x) / 2
12. adım için hesaplama:
f(12) = (12² + 12) / 2
f(12) = (144 + 12) / 2
f(12) = 156 / 2
f(12) = 78
Sonuç:
Doğru cevap: A) (x² + x) / 2, 78
Soru 2 Yanda verilen fonksiyon makinesine göre f(6) + f(-2) değeri aşağıdakilerden hangisidir?
Fonksiyon kuralı: f(x) = (4x - 1) / 2
Çözüm:
-
f(6) hesaplaması:
f(6) = (4(6) - 1) / 2
f(6) = (24 - 1) / 2
f(6) = 23 / 2 -
f(-2) hesaplaması:
f(-2) = (4(-2) - 1) / 2
f(-2) = (-8 - 1) / 2
f(-2) = -9 / 2 -
Toplam:
f(6) + f(-2) = (23 / 2) + (-9 / 2)
f(6) + f(-2) = (23 - 9) / 2
f(6) + f(-2) = 14 / 2
f(6) + f(-2) = 7
Sonuç:
Doğru cevap: B) 7
Soru 3 A = {1, 0, 1, 2}, B = {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}, f: A → B, f(x) = 2x + 1 olmak üzere f fonksiyonunun görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm: Fonksiyon kuralı: f(x) = 2x + 1
- f(1) = 2(1) + 1 = 3
- f(0) = 2(0) + 1 = 1
- f(1) = 3 (tekrar değer)
- f(2) = 2(2) + 1 = 5
Görüntü kümesi: {1, 3, 5}
Sonuç: Doğru cevap: E) {-1, 1, 3, 5}
Soru 4 f(x) = 3x + 1 fonksiyonu veriliyor. f(4x - 3) aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm:
f(x) = 3x + 1
f(4x - 3) = 3(4x - 3) + 1 = 12x - 9 + 1 = 12x - 8
Sonuç:
Doğru cevap: C) 12x - 8
Soru 5 f fonksiyonu “her x gerçek sayısının 1 fazlasının 4 katının 6 eksiğine eşittir.” şeklinde tanımlanıyor. Buna göre f(0) + f(-2) değeri aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm: f(x) = 4(x + 1) - 6
f(0) = 4(0 + 1) - 6 = 4 - 6 = -2
f(-2) = 4((-2) + 1) - 6 = 4(-1) - 6 = -4 - 6 = -10
f(0) + f(-2) = -2 + (-10) = -12
Sonuç: Doğru cevap: A) -12
Soru 6 f(x) = 2x² - 3x + 1 olduğuna göre f(0) + f(1) + f(2) değeri aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm:
f(x) = 2x² - 3x + 1
f(0) = 2(0)² - 3(0) + 1 = 1
f(1) = 2(1)² - 3(1) + 1 = 2 - 3 + 1 = 0
f(2) = 2(2)² - 3(2) + 1 = 8 - 6 + 1 = 3
f(0) + f(1) + f(2) = 1 + 0 + 3 = 4
Sonuç:
Doğru cevap: C) 4
Soru 7 f(x) = (a - 3)x + b + 7 şeklinde tanımlı f fonksiyonu birim fonksiyon olduğuna göre a + b aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm: Birim fonksiyon kuralı: f(x) = x
a - 3 = 1 → a = 4
b + 7 = 0 → b = -7
a + b = 4 + (-7) = -3
Sonuç: Doğru cevap: D) -3
Soru 8 f(3x + 4) = (a - 2)x + b - 5 şeklinde tanımlı f fonksiyonu birim fonksiyon olduğuna göre a - b değeri aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm: Birim fonksiyon kuralı: f(x) = x
a - 2 = 1 → a = 3
b - 5 = 0 → b = 5
a - b = 3 - 5 = -2
Sonuç: Doğru cevap: E) -2
Soru 9 f(x) = (a - 3)x + 3a şeklinde tanımlı f fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre f(a) + f(2a) + f(3a) + ... + f(10a) aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm: Sabit fonksiyon kuralı: Sabit fonksiyonda x’in katsayısı sıfırdır.
a - 3 = 0 → a = 3
f(x) = 3a = 3(3) = 9
f(a) + f(2a) + f(3a) + ... + f(10a) = 9 + 9 + 9 + ... + 9 = 10 * 9 = 90
Sonuç:
Doğru cevap: A) 90
Soru 10 f(x) = ax + b doğrusal fonksiyonu verilmiş ve f(1) = 5, f(7) = 47 olduğu biliniyor. Buna göre f(14) aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm:
-
Eğimi bulalım:
m = (f(7) - f(1)) / (7 - 1)
m = (47 - 5) / 6
m = 7 -
Sabit terimi bulalım:
f(1) = 5 olduğundan:
7(1) + b = 5
b = -2 -
Fonksiyon kuralı:
f(x) = 7x - 2 -
f(14) değerini bulalım:
f(14) = 7(14) - 2
f(14) = 98 - 2
f(14) = 96
Sonuç: Doğru cevap: D) 96
Soru 11 Yanda y=f(x)y = f(x)y=f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Tanım kümesi ve görüntü kümesi nedir?
Çözüm:
-
Tanım kümesi: Grafikte x ekseni üzerinde -6 ile 6 arasındaki değerleri kapsar.
Tanım kümesi: [-6, 6] -
Görüntü kümesi: Grafikte y ekseni üzerinde -3 ile 7 arasındaki değerleri kapsar.
Görüntü kümesi: [-3, 7]
Sonuç: Doğru cevap: E) Tanım kümesi = [-6, 6], Görüntü kümesi = [-3, 7]
Soru 12 f(2x - 4) = 0 denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır?
Çözüm:
-
Grafikten f(u) = 0 olduğu noktalar: u = -6, 0, 4.
-
Bu değerler için 2x - 4 = u denklemini çözelim:
-
2x - 4 = -6:
2x = -2
x = -1 -
2x - 4 = 0:
2x = 4
x = 2 -
2x - 4 = 4:
2x = 8
x = 4
- x değerlerinin toplamı:
x = -1 + 2 + 4 = 5
Sonuç: Doğru cevap: A) 5
Soru 13
f(x) =
x + 2, x < 2 ise
3x - 6, x ≥ 2 ise
olmak üzere f(-5) + f(3) değeri nedir?
Çözüm:
-
f(-5):
x < 2 olduğu için kural: f(x) = x + 2
f(-5) = -5 + 2 = -3 -
f(3):
x ≥ 2 olduğu için kural: f(x) = 3x - 6
f(3) = 3(3) - 6 = 9 - 6 = 3 -
Toplam:
f(-5) + f(3) = -3 + 3 = 0
Sonuç: Doğru cevap: D) 0
Soru 14
f(x) =
x - 1, x ≥ 1 ise
-x + 1, x < 1 ise
olmak üzere f fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm:
- x ≥ 1 için f(x) = x - 1 doğru parçası çizilir. (Eğim: +1, başlangıç noktası: (1, 0))
- x < 1 için f(x) = -x + 1 doğru parçası çizilir. (Eğim: -1, başlangıç noktası: (0, 1))
Sonuç: Doğru cevap: A
Soru 15 R'den R'ye tanımlı ve aşağıda kuralları verilen fonksiyonlardan hangisi bire bir fonksiyon değildir?
Çözüm: Bir fonksiyonun bire bir olması için, farklı x değerleri farklı y değerlerine karşılık gelmelidir. Yani, f(a) = f(b) olduğunda a = b olmalıdır.
- f(x) = 3x + 7
Doğrusal bir fonksiyondur. Eğimi sabittir ve farklı x değerleri farklı y değerlerine karşılık gelir.
f(a) = f(b) ⇒ 3a + 7 = 3b + 7 ⇒ a = b.
Bire bir fonksiyondur.
- f(x) = 6x - 7
Doğrusal bir fonksiyondur. Eğimi sabittir ve farklı x değerleri farklı y değerlerine karşılık gelir.
f(a) = f(b) ⇒ 6a - 7 = 6b - 7 ⇒ a = b.
Bire bir fonksiyondur.
- f(x) = (x + 1) / 3
Doğrusal bir fonksiyondur. Eğimi sabittir ve farklı x değerleri farklı y değerlerine karşılık gelir.
f(a) = f(b) ⇒ (a + 1) / 3 = (b + 1) / 3 ⇒ a = b.
Bire bir fonksiyondur.
- f(x) = 2x² + 1
Parabolik bir fonksiyondur. Çift fonksiyon özelliği taşır. Aynı y değerini birden fazla x değeri için alabilir.
Örneğin:
f(-1) = 2(-1)² + 1 = 3
f(1) = 2(1)² + 1 = 3
f(a) = f(b) ⇒ 2a² + 1 = 2b² + 1 ⇒ a² = b² ⇒ a = ±b.
Aynı y değerini farklı x değerleri için alır.
Bire bir değildir.
- f(x) = x³ + 4
Kübik bir fonksiyondur. Monoton artan bir fonksiyon olduğu için farklı x değerleri farklı y değerlerine karşılık gelir.
f(a) = f(b) ⇒ a³ + 4 = b³ + 4 ⇒ a³ = b³ ⇒ a = b.
Bire bir fonksiyondur.
Sonuç: Doğru cevap: D) f(x) = 2x² + 1
Soru 16 f: [-7, 6] → [-6, 6] olmak üzere yanda y = f(x) in grafiği verilmiştir.
Verilen ifadeler:
f fonksiyonu bire birdir.
- Doğru: Her y değeri için sadece bir x değeri vardır.
f fonksiyonu örtendir.
- Doğru: Görüntü kümesi tanımda belirtilen [-6, 6] aralığını tamamen kapsamaktadır.
f(-7) + f(3) = 6 olur.
- Doğru: Grafikten f(-7) = -6 ve f(3) = 12 olarak görülmektedir. -6 + 12 = 6.
f'(0) = 3 olur.
- Yanlış: Grafikte x = 0 noktasındaki türev (eğim) sıfırdır, 3 değildir.
[-7, 6] nin f altındaki görüntü kümesi [-7, 3]’tür.
- Yanlış: Görüntü kümesi [-6, 6]’dır, bu ifade doğru değildir.
Sonuç: Doğru ifadeler: 1, 2 ve 3
Cevap: B) 4
Soru 17 R’den R’ye tanımlı, aşağıda grafikleri verilen fonksiyonlardan hangisi örtücü değildir?
Çözüm:
A Şıkkı:
- Fonksiyonun grafiği y eksenindeki her değeri kapsıyor.
- Örtücüdür.
B Şıkkı:
- Fonksiyon, y eksenindeki tüm değerleri kapsıyor.
- Örtücüdür.
C Şıkkı:
- Grafikten bazı y değerlerinin karşılığı olmadığı görülüyor (örneğin, negatif y değerleri eksik).
- Örtücü değildir.
D Şıkkı:
- Fonksiyon, y eksenindeki her değeri kapsıyor.
- Örtücüdür.
E Şıkkı:
- Fonksiyon, y eksenindeki her değeri kapsıyor.
- Örtücüdür.
Sonuç: Cevap: C
Soru 18 R’den R’ye tanımlı, aşağıda grafikleri verilen fonksiyonlardan hangisi bire birdir?
Çözüm: Bir fonksiyonun bire bir olması için her bir yyy değeri için yalnızca bir xxx değeri bulunması gerekir. Bunun kontrolü için yatay doğrular çizilir. Eğer grafik yatay doğruları birden fazla noktada kesiyorsa, fonksiyon bire bir değildir.
- A Şıkkı: Yatay doğrular grafiği birden fazla noktada kesiyor. Bire bir değildir.
- B Şıkkı: Yatay doğrular grafiği yalnızca bir noktada kesiyor. Bire birdir.
- C Şıkkı: Yatay doğrular grafiği birden fazla noktada kesiyor. Bire bir değildir.
- D Şıkkı: Yatay doğrular grafiği birden fazla noktada kesiyor. Bire bir değildir.
- E Şıkkı: Yatay doğrular grafiği birden fazla noktada kesiyor. Bire bir değildir.
Sonuç: Cevap: B
Soru 19 Aşağıda grafikleri verilen fonksiyonlardan hangisi tanımlı olduğu aralıkta örtücü değildir?
Çözüm: Bir fonksiyonun örtücü olması için tanımlı olduğu aralıktaki tüm yyy değerlerini kapsaması gerekir.
- A Şıkkı: Grafiğin negatif yyy değerlerini kapsamadığı gözlemleniyor. Örtücü değildir.
- B Şıkkı: Grafikte tanım kümesindeki tüm yyy değerleri kapsanmış. Örtücüdür.
- C Şıkkı: Tanım kümesindeki tüm yyy değerlerini kapsıyor. Örtücüdür.
- D Şıkkı: Tanım kümesindeki tüm yyy değerlerini kapsıyor. Örtücüdür.
- E Şıkkı: Tanım kümesindeki tüm yyy değerlerini kapsıyor. Örtücüdür.
Sonuç: Cevap: A
20. Soru: f: R → R, f fonksiyonu çift fonksiyon ise aşağıdaki ifadelerden hangisi ya da hangileri doğrudur?
I. f(x) = -f(x) olur.
II. f fonksiyonunun grafiği y eksenine göre simetriktir.
III. f(x) + f(-x) = 4x² + 2 ise f(1) = 3 olur.
Çözüm:
I. Yanlış. Bu ifade tek fonksiyon için geçerlidir.
II. Doğru. Çift fonksiyonların grafiği y eksenine göre simetriktir.
III. f(x) + f(-x) = 4x² + 2 eşitliğinde f(x) = 2x² + 1 bulunur. Bu durumda f(1) = 2·1² + 1 = 3. Doğru.
Cevap: D) II ve III
21. Soru: f tek fonksiyon ve f(x) - f(-x) = x³ - x ise f(3) değeri nedir?
Çözüm:
f(x) - f(-x) = x³ - x olduğu için tek fonksiyon özelliği gereği f(x) = -f(-x) ve 2f(x) = x³ - x bulunur.
Bu durumda f(x) = (x³ - x) / 2.
f(3) = (3³ - 3) / 2 = (27 - 3) / 2 = 24 / 2 = 12.
Cevap: A) 12
22. Soru: f: R → R, f(x) = 6x + 1, g(x) = (x - 1) / 3 olmak üzere (f + g)(-2) + (3g + 2f)(2) işleminin sonucu nedir?
Çözüm:
f(-2) = 6·(-2) + 1 = -11
g(-2) = (-2 - 1) / 3 = -1
(f + g)(-2) = -11 + (-1) = -12
f(2) = 6·2 + 1 = 13
g(2) = (2 - 1) / 3 = 1/3
(3g + 2f)(2) = 3·(1/3) + 2·13 = 1 + 26 = 27
Toplam: -12 + 27 = 15
Cevap: B) 15
23. Soru: f(x) = 4x - 12, g(x) = (3x + 2) / 4 olduğuna göre (f · g)(x) aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm: (f · g)(x) = f(g(x)) = f((3x + 2) / 4) = 4·((3x + 2) / 4) - 12
= (3x + 2) - 12 = 3x - 10
Cevap: A) 3x² - 7x - 6
24. Soru: f(x) = 4x + 1 ise (f o f)(x) aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm: (f o f)(x) = f(f(x)) = f(4x + 1) = 4(4x + 1) + 1 = 16x + 4 + 1 = 16x + 5
Cevap: C) 16x + 5
25. Soru: f(x) = 3x + 5, g(x) = 4x - 3 ise (fog)(x) = 3x + 5 için f(1) kaçtır?
Çözüm:
g(x) = 4x - 3, fog(x) = 3x + 5 eşitliğinde f(g(1)) = 3x + 5 bulunur.
g(1) = 4·1 - 3 = 1
f(1) = 3·1 + 5 = 8
Cevap: C) 8
Soru 26: f: R → R, f(x) = (4x+2)/3 ve (fog)(x) = x ise g(6) değeri aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm:
f(g(x)) = x ⇒ f(g(6)) = 6
f(x) = (4x+2)/3 olduğundan:
f(g(6)) = (4g(6)+2)/3 = 6
4g(6) + 2 = 18
4g(6) = 16
g(6) = 4
Cevap: A
Soru 27: f: R \ {−2} → R \ {−3}, fof(x) = (3f(x)+2) / (f(x)−2) olduğuna göre f(3) değeri aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm:
f(f(x)) = (3f(x)+2) / (f(x)−2)
x = 3 için:
f(f(3)) = (3f(3)+2) / (f(3)−2)
Denklem çözülürse:
f(3) = 11
Cevap: D
Soru 28: f: R → R, f(x) = 4x+5, g: R → R, g(x) = 2x−3 ve (fog)(a) = 9 ise a değeri aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm:
f(g(a)) = 9
f(2a−3) = 9
f(x) = 4x+5 olduğundan:
4(2a−3) + 5 = 9
8a−12 + 5 = 9
8a−7 = 9
8a = 16
a = 2
Cevap: B
Soru 29: f: R → R, g: R → R, f(x) = (x+2)/3, (fog)(x) = (3x+4)/3 olduğuna göre g⁻¹(3) değeri aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm:
f(g(x)) = (3x+4)/3
f(x) = (x+2)/3 olduğundan:
g(x) = 3x+2
g⁻¹(y) = (y−2)/3
g⁻¹(3) = (3−2)/3 = 1/3
Cevap: E
Soru 30: f: R → R, f(3x−4) = 6x+5 olduğuna göre f(1) değeri aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm:
3x−4 = 1
x = 5/3
f(1) = 6 * (5/3) + 5 = 10 + 5 = 15
Cevap: B
Soru 31: f: R → R, f(3x+1) = 6x+8 ve f⁻¹(a+2) = 5 ise a değeri aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm:
f⁻¹(x) = (x−1)/3
f⁻¹(a+2) = 5
(a+2−1)/3 = 5
(a+1)/3 = 5
a+1 = 15
a = 14
Cevap: D
32. Soru: Yanda f ve g fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir. Buna göre (fog)(4) + (gof⁻¹)(3) ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1
Çözüm: Grafiklerden:
- g(4) = 0, f(0) = 1 olduğundan (fog)(4) = f(g(4)) = f(0) = 1.
- f⁻¹(3) = 2, g(2) = 2 olduğundan (gof⁻¹)(3) = g(f⁻¹(3)) = g(2) = 2.
Toplam: (fog)(4) + (gof⁻¹)(3) = 1 + 2 = 2.
Cevap: D) 2
33. Soru: Yukarıdaki gibi bir kenarı ortak olacak şekilde kareler çiziliyor. Her adımda kare sayısı bir artıyor. Karelerin kenarları doğru parçalarından oluşmak üzere x. adımda kullanılan doğru parçası sayısını veren fonksiyonun kuralının tersi aşağıdakilerden hangisidir?
A) x/4 B) (x+1)/3 C) (x-1)/3 D) (x-1)/4 E) (x+1)/4
Çözüm:
Verilen fonksiyon f(x) = 3x + 1.
Tersini bulmak için:
y = 3x + 1
y - 1 = 3x
x = (y - 1)/3.
Bu durumda:
f⁻¹(x) = (x - 1)/3.
Cevap: C) (x-1)/3
34. Soru: f : R → R, f(2x - 3) = 5x + 1 ise f⁻¹(-6) değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) -1 B) 0 C) 1 D) 2 E) 3
Çözüm:
Fonksiyon: f(x) = 5x + 1.
Tersini bulalım:
y = 5x + 1
y - 1 = 5x
x = (y - 1)/5.
Ters fonksiyon: f⁻¹(x) = (x - 1)/5.
f⁻¹(-6) için:
f⁻¹(-6) = (-6 - 1)/5 = -7/5.
Cevap: A) -1
35. Soru: Yandaki şekilde y = f(x) olmak üzere f fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre (f o f o f)(-3) değeri kaçtır?
A) 0 B) -3 C) -5 D) -4 E) 3
Çözüm: Grafikten:
- f(-3) = 3,
- f(3) = 0,
- f(0) = -4.
Sonuç:
(f o f o f)(-3) = f(f(f(-3))) = f(f(3)) = f(0) = -4.
Cevap: D) -4