Sıra Sizde
Soru 1 - Bir makine x günde 600x + 80 çift ayakkabı üretmektedir. Buna göre x ayakkabıyı kaç günde ürettiğini veren fonksiyon kuralını bulunuz.
Cevap:
Makine x günde y = 600x + 80 çift ayakkabı üretmektedir. Fonksiyonu tersine çevirerek x’i y’ye bağlı olarak ifade edelim:
y = 600x + 80
x = (y - 80) / 600
Sonuç:
Fonksiyon kuralı:
x = (y - 80) / 600
Soru 2
f: R → R, f(x) = 4x - 7, g: R → R, g(x) = 6x + 1 olmak üzere aşağıdaki ifadelerin eşitini bulunuz:
a) (f⁻¹ o g)(x)
b) (g⁻¹ o f)(x)
c) (f o g)(x)
d) (g o g⁻¹)(x)
Cevap:
a) (f⁻¹ o g)(x):
f(x) = 4x - 7 fonksiyonunun tersi:
y = 4x - 7
x = (y + 7) / 4
f⁻¹(x) = (x + 7) / 4
f⁻¹(g(x)) = f⁻¹(6x + 1) = ((6x + 1) + 7) / 4 = (6x + 8) / 4 = (3x + 4) / 2
b) (g⁻¹ o f)(x):
g(x) = 6x + 1 fonksiyonunun tersi:
y = 6x + 1
x = (y - 1) / 6
g⁻¹(x) = (x - 1) / 6
g⁻¹(f(x)) = g⁻¹(4x - 7) = ((4x - 7) - 1) / 6 = (4x - 8) / 6 = (2x - 4) / 3
c) (f o g)(x):
f(g(x)) = f(6x + 1) = 4(6x + 1) - 7 = 24x + 4 - 7 = 24x - 3
d) (g o g⁻¹)(x):
Ters fonksiyonların bileşkesinde sonuç doğrudan x’tir:
g(g⁻¹(x)) = x
Sonuçlar:
a) (f⁻¹ o g)(x) = (3x + 4) / 2
b) (g⁻¹ o f)(x) = (2x - 4) / 3
c) (f o g)(x) = 24x - 3
d) (g o g⁻¹)(x) = x
Soru 3
f: R → R \ {3}, f(x) = (ax - 6) / (3x + b) olmak üzere f ve f⁻¹ bire bir fonksiyon olduğuna göre a + b değerini bulunuz.
Cevap: Fonksiyonun bire bir olabilmesi için payda sıfır olmamalıdır.
-
x = 2 için 3x + b = 0 şartını sağlayalım:
3(2) + b = 0
b = -6 -
x = 3 için 3x - a = 0 şartını sağlayalım:
3(3) - a = 0
a = 9 -
a + b’yi bulalım:
a + b = 9 + (-6) = 3
Sonuç:
a + b = 3