Alıştırmalar 2.5
1. f(x) = -8x - 4 ve g(x) = x/4 + 2, (g ∘ f)(x) = 7 olduğuna göre k değerini bulunuz.
Çözüm: (g ∘ f)(x) = g(f(x)) olduğundan,
f(x) = -8x - 4.
g(f(x)) = g(-8x - 4) = (-8x - 4)/4 + 2 = -2x - 1 + 2 = -2x + 1.
(g ∘ f)(x) = -2x + 1 = 7.
-2x + 1 = 7.
-2x = 6.
x = -3.
Cevap: x = -3.
2. f(x) = 5x - p ve (f ∘ f)(x) = x + 18 olduğuna göre p değerini bulunuz.
Çözüm: (f ∘ f)(x) = f(f(x)).
f(f(x)) = f(5x - p) = 5(5x - p) - p = 25x - 5p - p = 25x - 6p.
(f ∘ f)(x) = 25x - 6p = x + 18.
25x - 6p = x + 18.
24x = 6p + 18.
x için katsayı eşitliği: 24 = 6p.
p = 4.
Cevap: p = 4.
3. f(x) = -x + 2 ve g(x) = (x + 1)/2 + 1, g(f(-4)) değerini bulunuz.
Çözüm: f(x) = -x + 2 olduğundan,
f(-4) = -(-4) + 2 = 4 + 2 = 6.
g(f(-4)) = g(6).
g(x) = (x + 1)/2 + 1 olduğundan,
g(6) = (6 + 1)/2 + 1 = 7/2 + 1 = 3.5 + 1 = 4.5.
Cevap: g(f(-4)) = 4.5.
4. f = {(3, 7), (5, 9), (7, 11)} ve g = {(1, 3), (2, 5), (3, 7)} fonksiyonları için (f ∘ g) fonksiyonunu liste yöntemiyle yazınız.
Çözüm: (f ∘ g)(x) = f(g(x)) olduğundan:
g(1) = 3, f(3) = 7 → (1, 7).
g(2) = 5, f(5) = 9 → (2, 9).
g(3) = 7, f(7) = 11 → (3, 11).
(f ∘ g) = {(1, 7), (2, 9), (3, 11)}.
Cevap: (f ∘ g) = {(1, 7), (2, 9), (3, 11)}.
5. f(x) = 2x + k ve (f ∘ f ∘ f)(x) = 8x + 28 olduğuna göre k değerini bulunuz.
Çözüm: (f ∘ f)(x) = f(f(x)).
f(f(x)) = f(2x + k) = 2(2x + k) + k = 4x + 2k + k = 4x + 3k.
(f ∘ f ∘ f)(x) = f(f(f(x))).
f(f(f(x))) = f(4x + 3k) = 2(4x + 3k) + k = 8x + 6k + k = 8x + 7k.
8x + 7k = 8x + 28.
7k = 28.
k = 4.
Cevap: k = 4.
6. h(x) = (f ∘ g)(x) + (f ∘ g)(x + 5) şeklinde tanımlanan h fonksiyonu için h(-2) değerini bulunuz.
Çözüm: f(x) = x + 1, g(x) = x + 2.
(f ∘ g)(x) = f(g(x)) = f(x + 2) = (x + 2) + 1 = x + 3.
(f ∘ g)(x + 5) = f(g(x + 5)) = f((x + 5) + 2) = f(x + 7) = (x + 7) + 1 = x + 8.
h(x) = (f ∘ g)(x) + (f ∘ g)(x + 5).
h(-2) = (f ∘ g)(-2) + (f ∘ g)(-2 + 5).
h(-2) = (-2 + 3) + (-2 + 5 + 3).
h(-2) = 1 + 6 = 7.
Cevap: h(-2) = 7.