Alıştırmalar Sorular ve Cevaplar
1. Soru:
f: ℝ → ℝ, f(5x + 1) = 2x − 7 olmak üzere f⁻¹(9) değerini bulunuz.
Çözüm: f(5x + 1) = 2x − 7 eşitliğini f⁻¹(9)'a çevirelim:
- f⁻¹(9) demek, f(x) = 9 olduğunda x'in değeri demektir.
- f(5x + 1) = 9 yazarsak:
- 2x − 7 = 9
- 2x = 16
- x = 8 Bu durumda f⁻¹(9) = 8.
2. Soru:
f: ℝ → ℝ, f(x) = −x + 5 olmak üzere (f ∘ f ∘ ... ∘ f)(8) (21 tane) değerini bulunuz.
Çözüm: f(x) = −x + 5. Bu tür sorularda çift ve tek sayılar önemlidir:
- f(f(x)) = x olur (yani çift fonksiyon kendini yok eder).
- 21 tek sayı olduğu için (f ∘ f ∘ ... ∘ f)(8) = f(8):
- f(8) = −8 + 5 = −3. Sonuç: −3.
3. Soru:
f: ℝ → ℝ, g: ℝ → ℝ, (f⁻¹ ∘ g)(x) = 3x − 5 ve f(x) = 4x + 1 olmak üzere g(2) değerini bulunuz.
Çözüm:
- (f⁻¹ ∘ g)(x) = 3x − 5 verilmiş. Burada f⁻¹(y) = g(x).
- f(x) = 4x + 1 → y = 4x + 1 → x = (y − 1) / 4 (f'nin ters fonksiyonu).
- g(x) = 3x − 5 olduğuna göre:
- g(2) = 3(2) − 5 = 6 − 5 = 1. Sonuç: g(2) = 1.
4. Soru:
f: ℝ → ℝ, f(x) = 2x − 7 ve g: ℝ → ℝ, g(x) = 4x olmak üzere (f⁻¹ ∘ g⁻¹)(7) değerini bulunuz.
Çözüm:
- g⁻¹(x) = x / 4.
- f⁻¹(x) = (x + 7) / 2.
- (f⁻¹ ∘ g⁻¹)(7) = f⁻¹(g⁻¹(7)).
- g⁻¹(7) = 7 / 4.
- f⁻¹(7 / 4) = (7 / 4 + 7) / 2.
- 7 / 4 + 7 = 35 / 4 → (35 / 4) / 2 = 35 / 8. Sonuç: 35 / 8.
5. Soru:
f: ℝ → ℝ, f(5x − 2) = −10x + 2 olmak üzere f fonksiyonunun kuralını bulunuz.
Çözüm: f(5x − 2) = −10x + 2.
- Burada x yerine (x + 2) / 5 yazılır.
- f(x) = −10((x + 2) / 5) + 2 = −2x − 4 + 2. Sonuç: f(x) = −2x − 2.
6. Soru:
Tablodan hareketle h(f(2)) − f(g⁻¹(1)) değerini bulunuz.
Tablodan verilenler:
| Fonksiyon | 1 | 2 | 5 |
|---|---|---|---|
| f | 3 | 2 | 0 |
| g⁻¹ | 2 | 3 | 0 |
| h | −2 | 7 | 0 |
Çözüm:
- h(f(2)) = h(2) = 7.
- f(g⁻¹(1)) = f(3) = 0.
- h(f(2)) − f(g⁻¹(1)) = 7 − 0 = 7.
7. Soru:
f: ℝ → ℝ, f(x) = (x + 2)³ − 5 olmak üzere f⁻¹(120) değerini bulunuz.
Çözüm: f(x) = (x + 2)³ − 5.
- 120 = (x + 2)³ − 5.
- 125 = (x + 2)³.
- x + 2 = ∛125 = 5.
- x = 3. Sonuç: f⁻¹(120) = 3.