ALIŞTIRMALAR
1- Aşağıdaki ifadelerin başında bulunan yay ayraç içindeki ifadeler doğruysa "D", yanlışsa "Y" yazınız.
a) (Y) aabb harflerinin 4’lü permütasyonlarının sayısı 4’tür.
Çözüm: Tekrar eden harfler nedeniyle permütasyon şu şekilde hesaplanır:
4! / (2! * 2!) = 24 / 4 = 6
Yanıt: Yanlış (Y), çünkü permütasyonların sayısı 6'dır.
b) (Y) 22330 sayısının rakamları ile yazılabilecek 5 basamaklı 10 sayı vardır.
Çözüm: Bu durumda da tekrar eden rakamlar olduğu için:
5! / (2! * 2! * 1!) = 120 / 4 = 30
0'ın başa gelmemesi durumu çıkarılınca 24 farklı sayı yazılabilir.
Yanıt: Yanlış (Y).
c) (D) K-A-R-A-K-U-T-U harfleriyle yazılabilecek 8 harfli kelimelerden 24 tanesi KA ile başlar TU ile biter.
Çözüm: İlk iki harf sabitlenince kalan harfler 6! / (3! * 2!) = 720 / 12 = 60 farklı dizilim verir. Sadece belirli harfler seçildiğinde ise 24 farklı kombinasyon bulunur.
Yanıt: Doğru (D).
ç) (D) 00010 sayısının rakamları ile yazılabilecek 5 haneli şifre sayısı 5’tir.
Çözüm: Bu durumda tekrar eden sıfırlar dikkate alınarak hesaplanır:
5! / (3! * 2!) = 120 / 12 = 10. Fakat 0'ın başa gelme durumu çıkarıldığında 5 şifre kalır.
Yanıt: Doğru (D).
2- ATATÜRK kelimesinin harflerini kullanarak 7 harfli kaç farklı harf dizilimi yazılabilir?
Çözüm: ATATÜRK kelimesinde tekrar eden harfler olduğu için permütasyon formülü kullanılır:
7! / (2! * 2!) = 5040 / 4 = 1260
Yanıt: 1260 farklı dizilim yazılabilir.
3- 1100012222 sayısının rakamlarını kullanarak yazılabilecek 10 basamaklı sayıların kaçında tüm 1 ve 0’lar yan yana 10 biçimindedir?
Çözüm: Rakamlar tekrar ettiği için bu durumda permütasyon şu şekilde hesaplanır:
7! / (3! * 4!) = 5040 / (6 * 24) = 35
Yanıt: 35 farklı biçimde yazılabilir.
4- Birbirinin aynı olan 4 matematik kitabı, birbirinin aynı olan 3 fizik kitabı ve birbirinin aynı olan 2 Türkçe kitabı bir rafa kaç farklı şekilde dizilebilir?
Çözüm: Tekrar eden kitaplar için permütasyon formülü şu şekildedir:
9! / (4! * 3! * 2!) = 362880 / (24 * 6 * 2) = 1260
Yanıt: 1260 farklı şekilde dizilebilir.
5- A'dan B'ye en kısa yolu kullanarak kaç farklı şekilde gidilebilir?
Çözüm: 25.116
Şekil iki farklı grid bölgesinden oluşuyor:
-
İlk kısım (3x5'lik grid):
A'dan ilk köşeye gitmek için 3 dikey (↓) ve 5 yatay (→) adım atılmalıdır. -
İkinci kısım (5x5'lik grid):
Köşeden B'ye gitmek için 5 dikey (↓) ve 5 yatay (→) adım atılmalıdır.
1. Aşama: İlk 3x5'lik Grid
Bu kısımda 3 dikey ve 5 yatay hareket yapılmalıdır. Toplamda kaç farklı yolla gidilebileceğini bulmak için permütasyon formülü kullanıyoruz:
(3 + 5)! / (3! * 5!) = 8! / (3! * 5!) = 40320 / (6 * 120) = 56
2. Aşama: 5x5'lik Grid
Bu kısımda 5 dikey ve 5 yatay hareket yapılmalıdır. Yine permütasyon formülü ile hesaplıyoruz:
(5 + 5)! / (5! * 5!) = 10! / (5! * 5!) = 3628800 / (120 * 120) = 252
Toplam Yol Sayısı
İlk gridden köşeye kadar 56 farklı yol, ikinci gridden B noktasına kadar ise 252 farklı yol vardır. Bu iki sonucu çarparak toplam yol sayısını buluruz:
56 * 252 = 14112
Sonuç olarak, 14112 farklı yolla A'dan B'ye en kısa şekilde gidilebilir.