ALIŞTIRMALAR
1. “İçerisinde aynı büyüklükte 3 kırmızı, 2 yeşil, 4 mavi bilyenin olduğu bir torbadan rastgele bir bilye çekiliyor. Çekilen bilyenin yeşil olma olasılığı kaçtır?”
Yukarıdaki ifadelerde geçen olasılık kavramlarını belirtiniz ve bu olasılığı hesaplayınız.
Toplam bilye sayısı: 3 kırmızı + 2 yeşil + 4 mavi = 9 bilye
Yeşil bilye sayısı: 2
Olasılık: 2/9
2. Bir madenî para ve hilesiz bir zarın birlikte atılması deneyinde örnek uzayı ve eleman sayısını bulunuz.
3. 1’den 20’ye kadar numaralandırılmış aynı özellikteki kartlar arasından rastgele seçilen bir kartın üzerinde yazan sayının asal sayı olma olasılığını hesaplayınız.
Asal sayılar: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 (toplam 8 asal sayı) Olasılık: 8/20 = 2/5
4. Bir çift hilesiz zarın atılması deneyinde zarların üst yüzlerine gelen sayıların
a) Birbirinden farklı olması olasılığını,
b) Birbirinin aynı olma olasılığını,
c) Çarpımının tek sayı olması olasılığını,
ç) Çarpımının çift sayı olması olasılığını bulunuz.
d) a ile b, c ile ç şıkkındaki olayların olasılıkları toplamını bulup karşılaştırınız.
Bir çift hilesiz zar atılması deneyinde zarların üst yüzlerine gelen sayıların:
a) Birbirinden farklı olması olasılığı: Toplam olasılık: 36, Aynı olanlar: (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6) = 6 durum. Farklı olanlar: 30 durum. Olasılık: 30/36 = 5/6
b) Birbirinin aynısı olma olasılığı: 6/36 = 1/6
c) Çarpımın tek sayı olması olasılığı: (1,1), (1,3), (1,5), (3,1), (3,3), (3,5), (5,1), (5,3), (5,5) = 9 durum. Olasılık: 9/36 = 1/4
ç) Çarpımın çift sayı olması olasılığı: Çift çarpım: 27 durum. Olasılık: 27/36 = 3/4
d) a ile b, c ile ç şıkkındaki olayların olasılıkları toplamı
a ve b şıklarının olasılık toplamı:
- a) 5/6
- b) 1/6
- Toplam: 5/6 + 1/6 = 6/6 = 1
c ve ç şıklarının olasılık toplamı:
- c) 1/4
- ç) 3/4
- Toplam: 1/4 + 3/4 = 4/4 = 1
Her iki durumda da olasılık toplamı 1'dir.
5. Üç madenî paranın atılması deneyinde;
a) En az birinin yazı,
b) En az birinin tura,
c) Üçünün de yazı olması olayı ile üçünün de tura olma olayının ayrık olup olmadıklarını inceleyiniz.
- a) En az birinin yazı gelme olasılığı: Toplam olasılık: 8, yalnızca tura gelme olasılığı 1. En az bir yazı: 7/8
- b) En az birinin tura gelme olasılığı: 7/8
- c) Ayrık olaylardır.
6. Bir çift hilesiz zar atılıyor. Üst yüze gelen sayıların çarpımının 6 olmama olasılığı kaçtır?
Öncelikle, zarların çarpımının 6 olma olasılığını bulalım:
- Toplam ihtimaller: 6 × 6 = 36 (çift zarın atılmasından kaynaklanan tüm olası sonuçlar)
- Çarpımın 6 olduğu durumlar: (1,6), (6,1), (2,3), (3,2) → Toplamda 4 durum.
Çarpımın 6 olma olasılığı = 4/36 = 1/9
Şimdi, çarpımın 6 olmama olasılığını bulalım:
- 6 olmama olasılığı = 1 - 6 olma olasılığı
- 6 olmama olasılığı = 1 - 1/9 = 8/9
Sonuç olarak, çarpımın 6 olmama olasılığı 8/9 olacaktır.
7. Yandaki tabloda verilenlere göre bu grup arasından rastgele seçilen birinin;
a) Gözlüklü olmayan erkek öğrenci olma olayının tümleyeninin olasılığını,
b) Gözlüklü olmayan kız öğrenci olma olayının tümleyeninin olasılığını,
c) Kız öğrenci olma olayının tümleyeninin olasılığını bulunuz.
Toplam öğrenci sayısı = 2x (gözlüklü erkek) + x (gözlüksüz erkek) + 3x (gözlüklü kız) + 3x (gözlüksüz kız) = 9x
a) Gözlüklü olmayan erkek öğrenci olma olayının tümleyeni olasılığı:
Gözlüklü olmayan erkek öğrenci sayısı = x
Bu olayın tümleyeni, gözlüklü olan erkekler ve tüm kız öğrencilerdir.
- Gözlüklü erkek: 2x
- Tüm kız öğrenciler (hem gözlüklü hem gözlüksüz): 3x + 3x = 6x
- Toplam tümleyen öğrenci sayısı = 2x (gözlüklü erkek) + 6x (tüm kızlar) = 8x
Olasılık:
Tümleyeni bulmak için 8x öğrenci gözlüklü olmayan erkek öğrenci dışındaki tüm öğrencilerdir.
Bu yüzden olasılık şu şekilde hesaplanır:
8x / 9x = 8/9
b) Gözlüksüz kız öğrenci olma olayının tümleyeni olasılığı:
- Gözlüksüz kız öğrenci sayısı = 3x
Bu olayın tümleyeni, gözlüklü olan erkekler, gözlüklü kızlar ve gözlüksüz erkeklerdir.
- Gözlüklü erkek: 2x
- Gözlüklü kız: 3x
- Gözlüksüz erkek: x
- Toplam tümleyen öğrenci sayısı = 2x (gözlüklü erkek) + 3x (gözlüklü kız) + x (gözlüksüz erkek) = 6x
Olasılık:
6x / 9x = 6/9 = 2/3
Sonuç:
- b) Gözlüksüz kız öğrenci olma olayının tümleyeni olasılığı: 2/3
c) Kız öğrenci olma olayının tümleyeni olasılığı:
- Kız öğrenci sayısı = 3x (gözlüksüz kız) + 3x (gözlüklü kız) = 6x
Bu olayın tümleyeni erkek öğrencilerdir.
- Erkek öğrenci sayısı = 2x (gözlüklü erkek) + x (gözlüksüz erkek) = 3x
Olasılık:
3x / 9x = 1/3
8. E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} örnek uzayından rastgele bir sayı seçiliyor.
Seçilen sayının 5’ten büyük olma olayı A,
Seçilen sayının 5’ten büyük veya asal sayı olma olayı B,
Seçilen sayının 5’ten küçük olması olayı C olsun.
a) A ∪ B olayının olasılığını, b) A ∪ C olayının olasılığını bulunuz.
E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} örnek uzayında rastgele bir sayı seçiliyor. Olasılıkları inceleyelim:
A olayı: Seçilen sayının 5'ten büyük olması: 5'ten büyük sayılar: {6, 7, 8} → 3 sayı.
B olayı: Seçilen sayının 5'ten büyük veya asal sayı olması:
- Asal sayılar: {2, 3, 5, 7}
- 5'ten büyük sayılar: {6, 7, 8}
- A ∪ B birleşim kümesi: {2, 3, 5, 6, 7, 8} → 6 sayı.
C olayı: Seçilen sayının 5'ten küçük olması: 5'ten küçük sayılar: {0, 1, 2, 3, 4} → 5 sayı.
a) A ∪ B olayının olasılığı:
Birleşim kümesi: {2, 3, 5, 6, 7, 8} → 6 sayı var. Olasılık = 6/9 = 2/3
b) A ∪ C olayının olasılığı:
Birleşim kümesi: {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8} → 8 sayı var. Olasılık = 8/9
9. Bir kutuda 5 siyah, 6 mavi ve 7 kırmızı kalem bulunmaktadır. Bu kutudan rastgele seçilen bir kalemin;
a) Siyah veya kırmızı olma olasılığını,
b) Mavi veya siyah olma olasılığını,
c) Siyah veya mavi olmama olasılığını bulunuz.
a) Siyah veya kırmızı olma olasılığı:
- Siyah kalem sayısı: 5
- Kırmızı kalem sayısı: 7
- Toplam kalem sayısı: 5 + 6 + 7 = 18
- Olasılık = (5 + 7) / 18 = 12/18 = 2/3
b) Mavi veya siyah olma olasılığı:
- Mavi kalem sayısı: 6
- Siyah kalem sayısı: 5
- Olasılık = (6 + 5) / 18 = 11/18
c) Siyah veya mavi olma olasılığı:
- Siyah kalem sayısı: 5
- Mavi kalem sayısı: 6
- Olasılık: (5 + 6) / 18 = 11/18
Bu çözümler, verilen tüm olasılık problemlerine doğru cevaplar içerir.