ALIŞTIRMALAR
1. Soru 1. A = {–2, –1, 0, 1, 2}, B = {–3, –2, –1, 0, 1, 2}, f: A → B, f(x) = x2 – 3 veriliyor. f eşleştirmesi için aşağıdaki ifadelerin başında yer alan yay ayraca, ifadeler doğruysa “D”, yanlışsa “Y” yazınız.
Verilen bilgiler:
- A = {-2, -1, 0, 1, 2}
- B = {-3, -2, -1, 0, 1, 2}
- f: A → B, f(x) = x2 - 3
Bu bilgilere göre ifadeleri değerlendirelim:
a) f eşleşmesi bir fonksiyondur. (D)
b) f ‘nin tanım kümesi A, görüntü kümesi f(B) olur. (D)
c) f bire bir fonksiyondur. (Y)
Fonksiyon bire bir değil çünkü aynı görüntüyü farklı elemanlardan alabilir.
d) f içine fonksiyondur. (D)
e) f örten fonksiyondur. (Y)
Örten değil çünkü B’deki tüm elemanları kapsamaz.
f) f fonksiyonu çift fonksiyondur. (Y)
Çift fonksiyon değil çünkü f(x) = x³ - 3, tek dereceli bir fonksiyondur ve simetrik değildir.
2. Soru- Aşağıda boş bırakılan yerleri uygun ifadelerle tamamlayınız.
a) A → B, her x₁, x₂ ∈ A için f(x₁) ≠ f(x₂) iken x₁ ≠ x₂ ise f fonksiyonu bire bir olur.
b) Tanım kümesinin alt aralıklarında farklı kurallarla verilen fonksiyona parçalı fonksiyon denir.
c) f: A → B, f fonksiyonu verilmiş. f(A) ≠ B ise f fonksiyonu içine fonksiyon olur.
d) f: A → B, f fonksiyonu verilmiş. f(A) = B ise f fonksiyonu örten olur.
3. Soru - Bir tekstil atölyesinde 8 saatlik çalışma süresine 80 TL gündelik veriliyor. Fazladan çalışma yapıldığında 1 saat karşılığında, günlük saat ücretinin %50 fazlası ödeniyor. Ayrıca toplam fazla çalışma ücretine 5 TL ekleniyor.
- Fazla çalışma saati x ve buna göre alınan ücret f(x) olsun.
- Günlük saat ücreti = 80 TL / 8 saat = 10 TL/saat
- Fazladan çalışma ücreti = 10 TL * 1.5 = 15 TL
Fonksiyon: f(x) = 15x + 5
4. Soru: A = {-1, 0, 1, 2}, B = {-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}, f: A → B ve f(x) = 3x - 2 olmak üzere f fonksiyonunu
a) Venn şeması ile gösteriniz.
Cevap: Venn şeması çizilir.
b) Liste yöntemi ile gösteriniz.
Cevap: f(-1) = -5, f(0) = -2, f(1) = 1, f(2) = 4
Liste: {(-1, -5), (0, -2), (1, 1), (2, 4)}
c) f fonksiyonunun tanım, değer ve görüntü kümelerini bulunuz.
Cevap:
Tanım kümesi = A
Değer kümesi = B
Görüntü kümesi = {-5, -2, 1, 4}
5. Soru: f: R → R, f(x) = { x² + 3, x ≤ 5; 2x - 7, x > 5 }
olduğuna göre f(4) kaça eşittir? f(6) kaça eşittir?
Cevap:
f(6) = 2 * 6 - 7 = 12 - 7 = 5
f(4) = 4² + 3 = 16 + 3 = 19
f(6) + f(4) = 5 + 19 = 24
Cevap: 24
6. Soru - f: R → R, f(x) = ax - 4 olmak üzere f fonksiyonu veriliyor. f(3) = 14 olduğuna göre f(a) değerini bulunuz.
Cevap:
f(3) = a * 3 - 4 = 14
3a - 4 = 14
3a = 18
a = 6
f(a) = f(6) = 6 * 6 - 4 = 36 - 4 = 32
Cevap: f(a) = 32
7. Soru - f: R → R, f(x) = x² + 3x - 5 olmak üzere f fonksiyonu veriliyor. f(-2) + f(1) işleminin sonucunu bulunuz.
Cevap:
f(-2) = (-2)² + 3 * (-2) - 5 = 4 - 6 - 5 = -7
f(0) = 0² + 3 * 0 - 5 = 0 - 5 = -5
f(1) = 1² + 3 * 1 - 5 = 1 + 3 - 5 = -1
f(-2) + f(0) - f(1) = -7 + (-5) - (-1) = -7 - 5 + 1 = -11
Cevap: -11
8. Soru: Yanda verilen fonksiyon makinesine göre
a) f(1)
b) f(-3)
c) f(2x)
d) f(3x - 3)
ifadelerinin değerlerini bulunuz.
Cevap: Fonksiyon makinesi f(x) = 6x - 5 olarak verilmiştir.
Çözümler:
a) f(1) = 6 * 1 - 5 = 6 - 5 = 1
b) f(-3) = 6 * (-3) - 5 = -18 - 5 = -23
c) f(x + 1) = 6 * (x + 1) - 5 = 6x + 6 - 5 = 6x + 1
ç) f(2x) = 6 * (2x) - 5 = 12x - 5
d) f(3x - 3) = 6 * (3x - 3) - 5 = 18x - 18 - 5 = 18x - 23
Sonuçlar:
- a) f(1) = 1
- b) f(-3) = -23
- c) f(x + 1) = 6x + 1
- ç) f(2x) = 12x - 5
- d) f(3x - 3) = 18x - 23
9. Soru: f: R → R, f(x + 1) = 8x - 13 olduğuna göre f(7) değerini bulunuz.
Cevap:
f(6x + 1) = 8x - 13 olduğuna göre, f(7) ifadesini bulmak için 6x + 1 = 7 olacak şekilde x değerini belirleyelim.
6x + 1 = 7 denklemini çözelim:
6x = 6
x = 1
Şimdi x = 1 değerini verilen ifadede yerine koyalım:
f(7) = 8 * 1 - 13
f(7) = 8 - 13
f(7) = -5
Cevap: -5
10. Soru
Soru: f: R → R, f(x) = (3a - 20)x + 2b + 6 şeklinde tanımlı f fonksiyonu birim fonksiyon olduğuna göre a + b değerini bulunuz.
Cevap:
Bir fonksiyonun birim fonksiyon olması için f(x) = x şeklinde olmalıdır.
Bu durumda:
3a - 20 = 1 ve 2b + 6 = 0 olmalıdır.
3a = 21 → a = 7
2b = -6 → b = -3
a + b = 7 - 3 = 4
11. Soru
Soru: f: R → R, f(x) = (a - 2)x² + (a + b - 5)x + 3a + b şeklinde tanımlı f fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre f(1) + f(2) + ... + f(10) değerini bulunuz.
Cevap:
Sabit fonksiyon olması için x'li terimlerin katsayıları 0 olmalıdır.
Bu durumda:
a - 2 = 0 → a = 2
a + b - 5 = 0 → b = 3
Fonksiyon sabit değer alır, bu değer:
f(x) = 3a + b = 3 * 2 + 3 = 6 + 3 = 9
f(1) + f(2) + ... + f(10) = 10 * 9 = 90
12. Soru
Soru: f: R - {4} → R, f(x) = (3x + a) / (x + 4) olmak üzere f fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre a değerini bulunuz.
Çözüm:
Bir fonksiyonun sabit olması için paydaki x terimlerinin katsayılarının sıfır olması gerekir. Yani, 3x + a ifadesinde x’li terimler birbirini sadelemeli.
Bu durumda, pay ve payda arasında aynı terimler olmalı. Bunu sağlamak için 3(x + 4) = 3x + a yazabiliriz, buradan a = 12 bulunur.
Cevap: a = 12
13. Soru
Soru: f(x) = (a - 1)x^2 + (b + 4)x şeklinde tanımlı f fonksiyonu birim fonksiyon, g(x) = (c - 5)x + 4 olmak üzere g fonksiyonu sabit fonksiyon ve h(x) = ax^2 + bx + c olduğuna göre h(5) değerini bulunuz.
Çözüm:
f birim fonksiyon olduğuna göre f(x) = x şeklinde olmalıdır. Buna göre katsayıları eşitleyelim:
- a - 1 = 0 olduğundan a = 1.
- b + 4 = 1 olduğundan b = -3.
g fonksiyonunun sabit olması için x’in katsayısının sıfır olması gerekir:
- c - 5 = 0 olduğundan c = 5.
Bunları kullanarak h(x) fonksiyonunu yerine koyalım:
h(x) = x2 - 3x + 5
Şimdi h(5) değerini bulalım:
h(5) = 52 - 3 * 5 + 5 = 25 - 15 + 5 = 15
Cevap: h(5) = 15
14. Soru
Soru: f: R → R ve f doğrusal fonksiyondur. f(-1) = -8, f(2) = 10 olduğuna göre f(4) değerini bulunuz.
Çözüm:
Doğrusal fonksiyon f(x) = ax + b şeklindedir.
-
f(-1) = -8 olduğuna göre: -a + b = -8
-
f(2) = 10 olduğuna göre: 2a + b = 10
Bu iki denklemi çözelim:
- İlk denklem: -a + b = -8
- İkinci denklem: 2a + b = 10
Birinci denklemi ikinci denklemden çıkarırsak:
3a = 18
a = 6
Bu değeri birinci denkleme yerleştirirsek:
-6 + b = -8
b = -2
Fonksiyon f(x) = 6x - 2 olur.
Şimdi f(4) değerini bulalım:
f(4) = 6 * 4 - 2 = 24 - 2 = 22
Cevap: f(4) = 22
15. Soru
Soru: f: R → R, f(x) = (x^2 - 3x + 4) / (x - 4) ve g: R → R, g(x) = x + 1 olduğuna göre f ve g fonksiyonlarının eşit olup olmadığını inceleyiniz.
Çözüm:
Fonksiyonları karşılaştırmak için f(x) fonksiyonunu sadeleştirelim. f(x) = (x^2 - 3x + 4) / (x - 4) ifadesini açarsak:
f(x) = ((x - 4)(x + 1)) / (x - 4)
Paydada ve payda aynı terimler olduğundan, x ≠ 4 şartıyla sadeleştirebiliriz:
f(x) = x + 1
Bu durumda f(x) ve g(x) fonksiyonları eşittir, ancak f(x) için x ≠ 4 koşulu geçerlidir. Yani f ve g fonksiyonları x = 4 hariç tüm reel sayılar için eşittir.
Cevap: f ve g fonksiyonları x = 4 hariç eşittir.
İşte tüm üslü ifadeleri sayı üstüne küçük yazarak soruların çözümlerini yeniden düzenliyorum:
16. Soru
Soru: A = {-1, 4}, B = {-2, -1, 4, 10, 14} olmak üzere f: A → B, f(x) = x² - 2 ve g: A → B, g(x) = 3x + 2 olduğuna göre f ile g fonksiyonlarının eşit olup olmadıklarını inceleyiniz.
Çözüm:
Fonksiyonların eşit olması için, A kümesindeki her x değeri için f(x) = g(x) olmalıdır.
A kümesindeki elemanlar için f(x) ve g(x) değerlerini hesaplayalım:
-
x = -1 için:
- f(-1) = (-1)² - 2 = 1 - 2 = -1
- g(-1) = 3(-1) + 2 = -3 + 2 = -1
- f(-1) = g(-1)
-
x = 4 için:
- f(4) = 4² - 2 = 16 - 2 = 14
- g(4) = 3(4) + 2 = 12 + 2 = 14
- f(4) = g(4)
Tüm elemanlar için f(x) = g(x) olduğundan, f ve g fonksiyonları eşittir.
Cevap: f ve g fonksiyonları eşittir.
17. Soru
Soru: Aşağıdaki fonksiyonların tek ya da çift fonksiyon olup olmadıklarını belirtiniz.
a) f(x) = -x² + 7
b) g(x) = x² - 5x
c) h(x) = x² + 3x + 5
ç) f(x) = x² + 9
Çözüm:
Bir fonksiyonun çift olması için f(-x) = f(x), tek olması için f(-x) = -f(x) olmalıdır.
a) f(x) = -x² + 7:
- f(-x) = -(x)² + 7 = -x² + 7 = f(x), yani çift fonksiyon.
b) g(x) = x² - 5x:
- g(-x) = (-x)² - 5(-x) = x² + 5x, yani ne tek ne de çift.
c) h(x) = x² + 3x + 5:
- h(-x) = (-x)² + 3(-x) + 5 = x² - 3x + 5, yani ne tek ne de çift.
ç) f(x) = x² + 9:
- f(-x) = (-x)² + 9 = x² + 9 = f(x), yani çift fonksiyon.
Cevap:
a) Çift fonksiyon
b) Ne tek ne çift
c) Ne tek ne çift
ç) Çift fonksiyon
18. Soru
Soru: f: R → R, f(x) = 3x + 6 ve g: R → R, g(x) = 3x + a fonksiyonları verilmiştir. (f + g)(-1) = 4 olduğuna göre a’nın değerini bulunuz.
Çözüm:
(f + g)(x) = f(x) + g(x) olarak tanımlıdır.
-
f(x) = 3x + 6 ve g(x) = 3x + a olduğuna göre: (f + g)(x) = (3x + 6) + (3x + a) = 6x + 6 + a
-
(f + g)(-1) = 4 olduğuna göre: 6(-1) + 6 + a = 4
-6 + 6 + a = 4
a = 4
Cevap: a = 4
19. Soru
Soru: f: R → R, f(x) = 3x - 5; g: R → R, g(x) = x² + 2 olmak üzere f ve g fonksiyonları için aşağıda verilenlerin değerlerini bulunuz.
a) (f + g)(2)
b) (f - g)(4)
c) (f · g)(-1)
ç) (f / g)(0)
d) (2f - 4g)(1)
Çözüm:
Fonksiyon değerlerini hesaplayalım:
a) (f + g)(2) = f(2) + g(2)
f(2) = 3 * 2 - 5 = 6 - 5 = 1
g(2) = 2² + 2 = 4 + 2 = 6
(f + g)(2) = 1 + 6 = 7
b) (f - g)(4) = f(4) - g(4)
f(4) = 3 * 4 - 5 = 12 - 5 = 7
g(4) = 4² + 2 = 16 + 2 = 18
(f - g)(4) = 7 - 18 = -11
c) (f · g)(-1) = f(-1) · g(-1)
f(-1) = 3 * (-1) - 5 = -3 - 5 = -8
g(-1) = (-1)² + 2 = 1 + 2 = 3
(f · g)(-1) = -8 * 3 = -24
ç) (f / g)(0) = f(0) / g(0)
f(0) = 3 * 0 - 5 = -5
g(0) = 0² + 2 = 2
(f / g)(0) = -5 / 2 = -5/2
d) (2f - 4g)(1) = 2f(1) - 4g(1)
f(1) = 3 * 1 - 5 = 3 - 5 = -2
g(1) = 1² + 2 = 1 + 2 = 3
(2f - 4g)(1) = 2 * (-2) - 4 * 3 = -4 - 12 = -16
Cevaplar:
a) 7
b) -11
c) -24
ç) -5/2
d) -16