Alıştırmalar
1. Soru: Verilen doğruların eğim açılarını bulunuz.
Çözüm: Eğim açısı doğrunun pozitif x ekseni ile yaptığı açıdır. Verilen açılar doğrudan eğim açılarıdır:
a) 180 - 40 = 40°
b) 180 - 55 = 25°
c) 65°
ç) α + 90 = 127°
α = 127 - 90 = 37°
2. Soru: Aşağıda iki noktası verilen doğruların eğimlerini bulunuz.
Çözüm:
Eğim formülü:
m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)
a) A(1, 4), B(3, -2):
m = (-2 - 4) / (3 - 1) = -6 / 2 = -3
b) C(-2, -2), D(4, 6):
m = (6 - (-2)) / (4 - (-2)) = 8 / 6 = 4/3
c) E(0, 2), F(4, 0):
m = (0 - 2) / (4 - 0) = -2 / 4 = -1/2
Sonuçlar:
a) m = -3
b) m = 4/3
c) m = -1/2
3. Soru: d₁ doğrusu A(2, 4), B(6, 9) noktalarından; d₂ doğrusu C(8, 4), D(2, -2) noktalarından geçmektedir. d₁ ile d₂ paralel olduğuna göre a değerini bulun.
Çözüm: Paralel doğruların eğimleri eşittir:
m₁ = m₂
1. m₁ eğimi:
m₁ = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)
m₁ = (9 - 4) / (6 - 2) = 5 / 4
2. m₂ eğimi:
m₂ = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)
m₂ = (-2 - 8) / (2 - a) = -10 / (2 - a)
3. Paralellik koşulu:
m₁ = m₂
5 / 4 = -10 / (2 - a)
4. Çapraz çarpım:
5(2 - a) = -40
10 - 5a = -40
-5a = -50
a = 10
Sonuç:
a = 10
4. Soru: Bir noktası ve eğimi verilen doğruların denklemlerini yazınız.
a) A(1,1), m = 2 y - 1 = 2(x - 1)
y - 1 = 2x - 2
y = 2x - 1
b) C(2, -6), m = -3 y + 6 = -3(x - 2)
y + 6 = -3x + 6
y = -3x
c) B(-4, -2), m = 1/2 y + 2 = 1/2 (x + 4)
2y + 4 = x + 4
2y = x
y = x / 2
ç) D(0,0), m = 4 y = 4x
Cevap ç) D(0,0), m = 4
5. Soru: A(-2, -1), B(-4, 5) noktalarından geçen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm:
Eğim: m = (5 - (-1)) / (-4 - (-2)) = 6 / -2 = -3
Doğru denklemi:
y - (-1) = -3(x - (-2)) → y + 1 = -3(x + 2)
y + 1 = -3x - 6 → y = -3x - 7
Sonuç: Doğru denklem: y = -3x - 7
Doğru cevap: A şıkkı
6. Soru: A(1, -2), B(a, -4), C(7, -8) noktaları aynı doğru üzerinde olduğuna göre a kaçtır?
Çözüm:
Aynı doğru üzerinde oldukları için AB ve BC eğimleri eşittir.
AB eğimi: m_AB = (-4 - (-2)) / (a - 1) = -2 / (a - 1)
BC eğimi: m_BC = (-8 - (-4)) / (7 - a) = -4 / (7 - a)
Eğimler eşit: -2 / (a - 1) = -4 / (7 - a)
Çapraz çarpım:
-2(7 - a) = -4(a - 1)
-14 + 2a = -4a + 4
6a = 18 → a = 3
Sonuç: a = 3
Doğru Cevap: B şıkkı
7. Aşağıda grafikleri verilen doğruların denklemlerini bulunuz.
a) Doğru, x-eksenini 4'te, y-eksenini 6'da kesiyor.
Denklem: x/4 + y/6 = 1
Her iki tarafı 12 ile çarparak:
3x + 2y = 6
b) Doğru, x-eksenini -2'de, y-eksenini 5/2'de kesiyor.
Denklem: -x/2 + y/(5/2) = 1
Düzenleyelim: -x/2 + 2y/5 = 1
Her iki tarafı 10 ile çarparak:
-5x + 4y = 10
c) Doğru, x-eksenini -4'te, y-eksenini -4'te kesiyor.
Denklem: -x/4 - y/4 = 1
Her iki tarafı 4 ile çarparak:
-x - y = 4
Düzenleyerek:
x + y + 4 = 0
8. Aşağıdaki doğruların eğimlerini bulunuz.
a) 3x + 5y - 3 = 0
5y = -3x + 3
y = -3/5 x + 3/5
Eğim: m = -3/5
b) 2x - 6y + 5 = 0
-6y = -2x - 5
y = 1/3 x - 5/6
Eğim: m = 1/3
c) 8x - 2y + 1 = 0
-2y = -8x - 1
y = 4x - 1/2
Eğim: m = 4
ç) y = -3x + 7
Eğim: m = -3
9. (a - 3)x + y - 8 = 0 denkleminin belirttiği doğru, x-eksenine paralel; 5x + (2a + b + 4)y - 1 = 0 denkleminin belirttiği doğru, y-eksenine paralel ise a·b kaçtır?
(a - 3)x + y - 8 = 0
x-eksenine paralel olduğuna göre, a - 3 = 0.
a = 3
5x + (2a + b + 4)y - 1 = 0
y-eksenine paralel olduğuna göre, 2a + b + 4 = 0.
2(3) + b + 4 = 0
6 + b + 4 = 0
b = -10
a·b = 3 · (-10) = -30
Cevap: D şıkkı
10. A(2k - 4, 8 - k) noktası I. açıortay doğrusu üzerinde ise ve y = 2k, x = -3k doğruları ile eksenler arasında kalan bölgenin alanı kaç b²'dir?
I. açıortay denklemi: y = x
Nokta bu doğru üzerinde olduğuna göre, 8 - k = 2k - 4.
8 + 4 = 3k
k = 4
Alanı bulalım:
y = 2k, x = -3k doğruları arasında kalan üçgenin alanı:
taban = |-3k| = 12, yükseklik = 2k = 8
Alan = 1/2 · taban · yükseklik
Alan = 1/2 · 12 · 8 = 48
Cevap: E) 96 b²
11. d₁: 3x - y + 2 = 0 ve d₂: x + y + 6 = 0 doğrularının kesim noktası (a, b) ise a·b'nin değeri kaçtır?
Doğruları çözümleyelim:
3x - y + 2 = 0 ve x + y + 6 = 0
y = -6 - x değerini birinci denklemde yerine koyalım:
3x - (-6 - x) + 2 = 0
3x + 6 + x + 2 = 0
4x + 8 = 0
x = -2
y = -6 - (-2) = -4
a = -2, b = -4
a·b = -2 · -4 = 8
Cevap: C şıkkı
12. d₁: ax - 3y - 18 = 0 ve d₂: 2x + by - 6 = 0 doğruları veriliyor. d₁ ve d₂ doğruları çakışık ise a ve b'yi bulunuz.
Çakışık doğruların katsayıları orantılıdır:
ax / 2 = -3 / b = -18 / -6
ax / 2 = -18 / -6
ax / 2 = 3
ax = 6
-3 / b = -18 / -6
-3 / b = 3
b = -1
a ve b katsayılarını bulmak için ikinci bir doğrulama yapılabilir.
13. Yanındaki analitik düzlemde verilen OABC karesinin B köşesi d doğrusu üzerindedir. Buna göre A(OABC)'nin kaç b² olduğu bulunuz.
Doğrunun denklemi: x/8 - y/4 = 1
B noktası: (a, -a)
B noktasını denkleme yerleştirelim:
a/8 - (-a)/4 = 1
a/8 + a/4 = 1
a/8 + 2a/8 = 1
3a/8 = 1
a'yı bulalım:
3a = 8
a = 8/3
Sonuç: B noktası (8/3, -8/3).