Alıştırmalar
1. Soru - A(2a − b, b + 4) noktası orijini belirtirken, B(ab / 2, 2b + 3a) noktası hangi bölgede yer alır?
Verilenler:
A(2a - b, b + 4) noktası orijini belirtmektedir.
Bu durumda:
2a - b = 0 ve b + 4 = 0.
Buradan a ve b değerleri bulunur:
b = -4 ve 2a = b → 2a = -4 → a = -2.
B Noktasının Koordinatları:
B(ab / 2, 2b + 3a) noktası için a = -2 ve b = -4 yerine konur:
x = ab / 2 = (-2)(-4) / 2 = 8 / 2 = 4,
y = 2b + 3a = 2(-4) + 3(-2) = -8 - 6 = -14.
B noktasının koordinatları: B(4, -14).
Bölge Belirleme: x > 0 ve y < 0 olduğundan B noktası IV. bölgede yer alır.
Sonuç: B noktası IV. bölgededir.
2. Soru - A(a², a⁴) noktası III. bölgede ise, B(a³b³, a / b) noktası hangi bölgede yer alır?
Verilenler:
A(a2, b) noktası III. bölgede yer almaktadır.
III. bölgede olması için:
- a2 her zaman pozitif olduğundan, x pozitif olabilir. Ancak III. bölge için x < 0 olmalı.
- y koordinatı için b < 0 olmalıdır (y negatif olmalı).
B Noktasının Koordinatları:
B(a3 * b3, a / b) noktası için:
a3 * b3:
- Eğer a < 0 ve b < 0 ise, bu çarpım pozitif olur.
a / b: Eğer a < 0 ve b < 0 ise, bu bölüm pozitif olur.
Sonuç: B noktası (pozitif, pozitif) şeklindedir ve I. bölgede yer alır.
3. Soru - A(−2, −3) noktasına göre B, C ve D noktalarının koordinatlarını bulunuz.
4- Soru - A(n + 1, 2n − 6) noktası analitik düzlemin IV. bölgesinde ise, n'nin alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?
IV. bölgede x > 0 ve y < 0 olmalıdır.
Eşitsizlikler şu şekilde yazılır: n + 1 > 0, 2n − 6 < 0
Çözüm:
n > −1
n < 3
n = 0, 1, 2 tam sayı değerlerini alabilir.
Bu değerlerin toplamı: 0 + 1 + 2 = 3
5. Soru A(4, 3) ve B(−1, −3) noktaları arasındaki uzaklık nedir?
Uzaklık formülü kullanılır:
d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)
Yerine koyarak:
d = √((−1 − 4)² + (−3 − 3)²) = √((−5)² + (−6)²) = √(25 + 36) = √61
Uzaklık: √61.
6. Soru - Verilen noktalar sırasıyla bir çokgenin köşe noktalarıdır. Uzun kenar nedir?
Verilen Noktalar
A(-3, -2), B(1, -2), C(4, 2), D(1, 5), E(-5, 4).
Uzaklık Hesaplamaları
A- [AB]:
|AB| = √((1 - (-3))² + (-2 - (-2))²)
|AB| = √(4² + 0²)
|AB| = √16
|AB| = 4
B- [BC]:
|BC| = √((4 - 1)² + (2 - (-2))²)
|BC| = √(3² + 4²)
|BC| = √(9 + 16)
|BC| = √25
|BC| = 5
C- [CD]:
|CD| = √((1 - 4)² + (5 - 2)²)
|CD| = √((-3)² + 3²)
|CD| = √(9 + 9)
|CD| = √18
|CD| = 3√2
D- [DE]:
|DE| = √((-5 - 1)² + (4 - 5)²)
|DE| = √((-6)² + (-1)²)
|DE| = √(36 + 1)
|DE| = √37
E- [EA]:
|EA| = √((-3 - (-5))² + (-2 - 4)²)
|EA| = √(2² + (-6)²)
|EA| = √(4 + 36)
|EA| = √40
En Uzun Kenar
Hesaplanan uzaklıklar:
- [AB] = 4
- [BC] = 5
- [CD] = 3√2
- [DE] = √37
- [EA] = √40
En uzun kenar EA (√40) olarak bulunur.
Sonuç Doğru cevap E şıkkı.
7- Soru - A(4, 4) ve B(6, 9) noktaları arasındaki uzaklık 13'tür. n'nin alabileceği değer kümesi nedir?
Bu soruda, A(a, 4) ve B(6, 9) noktaları arasındaki uzaklık 13 birim olarak verilmiştir. Bu durumda aaa'nın alabileceği değerler belirlenmiştir.
Uzaklık Formülü:
İki nokta arasındaki uzaklık:
|AB| = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)
Verilen uzaklık:
|AB| = 13
Hesaplama:
A noktası: (a, 4), B noktası: (6, 9).
Uzaklık formülüne göre:
√((6 - a)² + (9 - 4)²) = 13
√((6 - a)² + 25) = 13
Her iki tarafın karesi alınır:
(6 - a)² + 25 = 169
(6 - a)² = 144
Çözüm:
(6 - a)² = 144 denkleminden 6 - a = ±12 bulunur.
- 6 - a = 12 → a = -6
- 6 - a = -12 → a = 18
Sonuç:
a'nın alabileceği değerler kümesi: {-6, 18}.
Doğru cevap: D şıkkı.
8. Soru - Analitik düzlemde verilen dikdörtgenin alanı nedir?
Verilen Noktalar:
A(2, 0), B(8, 8), C(5, 12) ve D noktasının koordinatları dikdörtgen olduğu için hesaplanabilir.
Kenar Uzunlukları:
[AB]:
Uzaklık formülü:
|AB| = √((8 - 2)² + (8 - 0)²)
|AB| = √(6² + 8²)
|AB| = √(36 + 64)
|AB| = √100
|AB| = 10
[BC]:
Uzaklık formülü:
|BC| = √((5 - 8)² + (12 - 8)²)
|BC| = √((-3)² + 4²)
|BC| = √(9 + 16)
|BC| = √25
|BC| = 5
Alan Hesabı:
Dikdörtgenin alanı:
Alan = |AB| × |BC|
Alan = 10 × 5
Alan = 50
Doğru cevap: C şıkkı (50).
9. Soru: A(2, 3) ve B(1, -2) olmak üzere, y ekseni üzerinde bulunan ve A ile B noktalarına eşit uzaklıktaki noktanın ordinatı nedir?
Çözüm:
Eşit uzaklıktaki nokta y ekseni üzerinde olduğundan, bu noktanın koordinatları (0, y) şeklindedir. Bu noktadan A ve B'ye olan uzaklıkların eşit olduğu şartı uygulanır.
A'ya olan uzaklık:
|A(2, 3) - (0, y)| = √((2 - 0)² + (3 - y)²) = √(4 + (3 - y)²)
B'ye olan uzaklık:
|B(1, -2) - (0, y)| = √((1 - 0)² + (-2 - y)²) = √(1 + (-2 - y)²)
Bu iki uzaklık eşit olduğundan:
√(4 + (3 - y)²) = √(1 + (-2 - y)²)
Her iki tarafın karesi alınır:
4 + (3 - y)² = 1 + (-2 - y)²
Parantezler açılır ve sadeleştirilir:
4 + 9 - 6y + y² = 1 + 4 + 4y + y²
13 - 6y = 5 + 4y
Sadeleştirilir:
8 = 10y → y = 4/5
Sonuç:
Eşit uzaklıktaki noktanın ordinatı y = 4/5’tir. Doğru cevap: D şıkkı.
10. Soru: Kareli zeminde A ve B noktalarının koordinatları ve [AB] uzaklığı bulunacaktır.
Verilenler:
Kareli zeminde her bir karenin bir kenarının uzunluğu 1 birimdir.
a. A ve B Noktalarının Koordinatları:
- A: Noktanın grafikteki yeri x = 4, y = 5 olduğundan, A(4, 5).
- B: Noktanın grafikteki yeri x = 12, y = 1 olduğundan, B(12, 1).
b. [AB] Uzaklığı:
Uzaklık formülü:
|AB| = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)
Yerine koyarak:
|AB| = √((12 - 4)² + (1 - 5)²)
|AB| = √(8² + (-4)²)
|AB| = √(64 + 16)
|AB| = √80
|AB| = 4√5
Sonuç:
- A noktası: (4, 5)
- B noktası: (12, 1)
- [AB] = 4√5 birim.