Alıştırmalar
1. Soru: A(-1, 1) ve C(4, -3) noktaları arasında B noktası, |AB| = 3|BC| şartını sağlıyor. B'nin koordinatları hangisidir?
Çözüm:
B noktası, A ve C arasında |AB| = 3|BC| oranını sağlar. Bu oran, B'nin x ve y koordinatlarının A ve C koordinatları ile ilişkisini belirler.
B'nin koordinatları:
x_B = x_A + (3/4) * (x_C - x_A)
y_B = y_A + (3/4) * (y_C - y_A)
Yerine koyarsak:
x_B = -1 + (3/4) * (4 - (-1)) = -1 + (3/4) * 5 = -1 + 15/4 = 11/4
y_B = 1 + (3/4) * (-3 - 1) = 1 + (3/4) * -4 = 1 - 3 = -2
B'nin koordinatları: (11/4, -2)
Cevap: A şıkkı.
2. Soru: A(1, 10), B(-3, -2), C(7, 4) noktalarında, [AD] kenarı [BC] kenarına paraleldir. [AD] uzunluğunu bulunuz.
Bu soruda üçgenin köşe koordinatları A(1, 10), B(-3, 2) ve C(7, 4) olarak verilmiştir. [AD], [BC] kenarına ait dikmedir. [AD] uzunluğu bulunacaktır.
1. D noktasının koordinatları:
D noktası, [BC] kenarının orta noktasıdır. Orta nokta formülü:
D = ((x_B + x_C) / 2, (y_B + y_C) / 2)
D = ((-3 + 7) / 2, (2 + 4) / 2)
D = (2, 3)
2. [AD] uzunluğu:
Uzaklık formülü:
|AD| = √((x_D - x_A)² + (y_D - y_A)²)
Yerine koyarsak:
|AD| = √((2 - 1)² + (3 - 10)²)
|AD| = √(1² + (-7)²)
|AD| = √(1 + 49)
|AD| = √50
|AD| = 5√2
Sonuç:
[AD] uzunluğu 5√2 birimdir.
3. Soru: A(-2, -2), B(6, 4), C(3, 7), D(-1, 5) noktaları ile:
- [AB]'nin orta noktası,
- [CD]'nin orta noktası,
- [EF] uzunluğu bulunacaktır.
Verilen Noktalar:
A(-2, 2), B(6, 4), C(3, 7), D(-1, 5) noktaları. [EF] uzunluğu sorulmaktadır.
1. E ve F Noktalarının Koordinatları:
E Noktası:
E noktası [AB] kenarının orta noktasıdır. Orta nokta formülü:
E = ((x_A + x_B) / 2, (y_A + y_B) / 2)
E = ((-2 + 6) / 2, (2 + 4) / 2)
E = (2, 3)
F Noktası:
F noktası [CD] kenarının orta noktasıdır. Orta nokta formülü:
F = ((x_C + x_D) / 2, (y_C + y_D) / 2)
F = ((3 + (-1)) / 2, (7 + 5) / 2)
F = (1, 6)
2. [EF] Uzunluğu:
Uzaklık formülü:
|EF| = √((x_F - x_E)² + (y_F - y_E)²)
Yerine koyarsak:
|EF| = √((1 - 2)² + (6 - 3)²)
|EF| = √((-1)² + 3²)
|EF| = √(1 + 9)
|EF| = √10
Sonuç:
- E Noktası: (2, 3)
- F Noktası: (1, 6)
- [EF] Uzunluğu: √10 birim.
4. Soru: A(x, y), C(1, 2), D(5, -6) veriliyor. [BC] / [AB] = 4 / 3 ise x + y değerini bulunuz.
Verilenler:
B(5, -6),
C(1, 2),
|BC| / |AB| = 4 / 3.
A Noktasının Koordinatları:
Doğru üzerindeki oranlara göre koordinatların değişimi:
A noktasının koordinatlarını, açıortaydan gelen oran doğrultusunda belirleriz.
x_A = x_B + (3/4)(x_C - x_B)
y_A = y_B + (3/4)(y_C - y_B)
Hesaplama:
x koordinatı:
x_A = 5 + (3/4)(1 - 5) = 5 + (3/4)(-4) = 5 - 3 = 8
y koordinatı:
y_A = -6 + (3/4)(2 - (-6)) = -6 + (3/4)(8) = -6 + 6 = -12
Sonuç: A noktası: A(8, -12)
x + y:
x + y = 8 + (-12) = -4
Cevap: -4.
5. Soru: Aslı A(-1, 2), Tarkan B(3, 4) noktalarından yürümeye başlıyor. Karşılaştıkları noktanın apsis ve ordinat toplamı nedir?
Bu soruda Aslı ve Tarkan'ın A(-1, 2) ve B(3, 4) noktalarından başlayarak aynı anda ve aynı hızla birbirine doğru yürüdüğü belirtilmiştir. Karşılaştıkları noktanın apsis ve ordinat toplamı sorulmaktadır.
1. Orta Nokta Formülü:
İki nokta arasındaki orta nokta formülü:
M = ((x_A + x_B) / 2, (y_A + y_B) / 2)
2. Hesaplama:
A noktası: (-1, 2), B noktası: (3, 4).
M_x = (-1 + 3) / 2 = 2 / 2 = 1
M_y = (2 + 4) / 2 = 6 / 2 = 3
Karşılaştıkları nokta: M(1, 3).
3. Apsis ve Ordinat Toplamı:
Apsis ve ordinat toplamı:
1 + 3 = 4
Sonuç: Cevap: 4 (B şıkkı).
6. Soru:
Köşe koordinatları A(3, 4), B(-2, 1), C(a, b) olan üçgenin ağırlık merkezinin koordinatları G(-1, 3) olarak verilmiştir. Buna göre a⋅ba \cdot ba⋅b değerini bulunuz.
Çözüm:
Ağırlık merkezi formülü:
G = ((x_A + x_B + x_C) / 3, (y_A + y_B + y_C) / 3)
Yerine koyarak:
-1 = (3 + (-2) + a) / 3 ve 3 = (4 + 1 + b) / 3
x koordinatı için:
-1 = (3 - 2 + a) / 3
-1 = (1 + a) / 3
-3 = 1 + a → a = -4
y koordinatı için:
3 = (4 + 1 + b) / 3
3 = (5 + b) / 3
9 = 5 + b → b = 4
a · b:
a · b = (-4) · 4 = -16
Cevap: -16
7. Soru:
A(-1, 1), B(-9, 9) noktaları verilmiştir. C, [AB] üzerinde ve |AC| = |BC| ise C'nin koordinatlarının çarpımı nedir?
Cevap: A) -9
8. Soru:
A(1, 2), B(-1, -6) noktaları verilmiştir. C noktası |AB| = 3|BC| oranına göre bulunacaktır. C'nin koordinatlarının toplamı nedir?
Cevap: B) 8