ALIŞTIRMALAR
1- Aşağıdaki doğal sayıların en büyük ortak bölenlerini bulunuz.
a. 80 ve 120:
- 80’in bölenleri: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40, 80
- 120’nin bölenleri: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120
- En Büyük Ortak Bölen (EBOB): 40
b. 54 ve 90:
- 54’ün bölenleri: 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54
- 90’ın bölenleri: 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90
- En Büyük Ortak Bölen (EBOB): 18
c. 105 ve 168:
- 105’in bölenleri: 1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105
- 168’in bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 12, 14, 21, 24, 28, 42, 56, 84, 168
- En Büyük Ortak Bölen (EBOB): 21
2- 300 ve 420 sayılarını kalansız bölen en büyük doğal sayıyı bulunuz.
Cevap: 60
(300 ve 420'nin en büyük ortak böleni 60'tır. Ortak bölenler: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60)
3- 36 ve 45 litrelik iki bidon pekmez ile doludur. Bu iki bidonun içindeki pekmezin tamamı en büyük ve eşit ölçüdeki şişelere birbirine karıştırılmadan doldurulacaktır. Doldurma işlemi için en az kaç şişeye ihtiyaç olduğunu bulunuz.
Cevap: 9 şişe
(36 ve 45'in en büyük ortak böleni 9'dur. 36/9 = 4 ve 45/9 = 5. Toplamda 4 + 5 = 9 şişe gereklidir.)
4- Aşağıdaki doğal sayıların en küçük ortak katlarını bulunuz.
a. 18 ve 30
18'in asal çarpanları: 2 · 3²
30'un asal çarpanları: 2 · 3 · 5
EKOK = 2 · 3² · 5 = 90
Sonuç: EKOK(18, 30) = 90
b. 150 ve 240
150'nin asal çarpanları: 2 · 3 · 5²
240'ın asal çarpanları: 2⁴ · 3 · 5
EKOK = 2⁴ · 3 · 5² = 1200
Sonuç: EKOK(150, 240) = 1200
c. 72 ve 90
72'nin asal çarpanları: 2³ · 3²
90'ın asal çarpanları: 2 · 3² · 5
EKOK = 2³ · 3² · 5 = 360
Sonuç: EKOK(72, 90) = 360
5- Dairesel pistte koşan Hale 10, Aydın 16 dakikada turlarını tamamlıyor. Koşuya aynı anda, aynı yönde ve aynı yerden başlayan Hale ve Aydın, koşuya başladıktan sonra ilk kez kaç dakika sonra başlangıç noktasında yana yana gelirler?
Hale ve Aydın'ın başlangıç noktasına tekrar aynı anda gelmeleri için geçen süre, 10 ve 16'nın En Küçük Ortak Katı (EKOK) olacaktır.
10 ve 16'nın asal çarpanları:
- 10 = 2 · 5
- 16 = 2⁴
EKOK = 2⁴ · 5 = 80
Sonuç olarak, Hale ve Aydın 80 dakika sonra başlangıç noktasında tekrar yan yana gelirler.
6- Uzun kenarının uzunluğu 18 cm, kısa kenarının uzunluğu 8 cm olan dikdörtgenleri aralarında boşluk bırakılmadan yan yana ve üst üste koyarak bir kare oluşturmak için en az kaç dikdörtgene ihtiyaç vardır?
Bu soruda, dikdörtgenleri bir kare oluşturacak şekilde yerleştirmek istiyoruz. Dikdörtgenin kısa kenarı 8 cm, uzun kenarı 18 cm olduğuna göre, karenin bir kenarının uzunluğunu bulmak için 8 ve 18’in En Küçük Ortak Katı’nı (EKOK) hesaplarız.
8 ve 18’in EKOK’u 72’dir. Bu durumda, karenin bir kenarı 72 cm olur.
Dikdörtgenin alanı 18 x 8 = 144 cm²
Karenin alanı 72 x 72 = 5184 cm²
Kareyi doldurmak için gerekli dikdörtgen sayısı, karenin alanını dikdörtgenin alanına bölerek bulunur: 5184 ÷ 144 = 36
Sonuç olarak, kare oluşturmak için 36 dikdörtgene ihtiyaç vardır.
7- Aşağıdaki sayı çiftlerinden aralarında asal olanların önündeki kutucuğu işaretleyiniz.
a. 7 ve 12 ✔
b. 48 ve 49 ✔
c. 14 ve 63 ✘
ç. 100 ve 111 ✔
d. 222 ve 315 ✘
e. 540 ve 888 ✘
Aşağıdaki sayı çiftlerinden aralarında asal olanları belirleyelim. İki sayı aralarında asal ise, ortak bölenleri 1'dir.
a. 7 ve 12
- 7 bir asal sayıdır ve 12 ile ortak bir böleni yoktur.
- Aralarında asaldır. İşaretlenir.
b. 48 ve 49
- 48 ve 49’un ortak böleni yoktur.
- Aralarında asaldır. İşaretlenir.
c. 14 ve 63
- 14 ve 63’ün ortak böleni 7’dir.
- Aralarında asal değildir. İşaretlenmez.
ç. 100 ve 111
- 100 ve 111’in ortak böleni yoktur.
- Aralarında asaldır. İşaretlenir.
d. 222 ve 315
- 222 ve 315’in ortak böleni 3’tür.
- Aralarında asal değildir. İşaretlenmez.
e. 540 ve 888
- 540 ve 888’in ortak böleni 2’dir.
- Aralarında asal değildir. İşaretlenmez.
8- Aralarında asal iki doğal sayının EKOK’u 72 olduğuna göre bu sayıları bulunuz.
Cevap: 8 ve 9
(Aralarında asal iki sayının EKOK'u çarpımlarıdır. EKOK(8, 9) = 8 × 9 = 72)
Aralarında asal iki sayının En Küçük Ortak Katı (EKOK), sayıların çarpımına eşittir. Soruda, bu iki sayının EKOK'u 72 olarak verilmiştir. Yani aralarında asal olan bu iki sayının çarpımı 72 olmalıdır.
Şimdi, 72'yi iki çarpana ayırarak aralarında asal olan iki sayıyı bulalım:
- 72 = 1 × 72 (1 ve 72 aralarında asaldır)
- 72 = 2 × 36 (2 ve 36 aralarında asal değildir)
- 72 = 3 × 24 (3 ve 24 aralarında asal değildir)
- 72 = 4 × 18 (4 ve 18 aralarında asal değildir)
- 72 = 6 × 12 (6 ve 12 aralarında asal değildir)
- 72 = 8 × 9 (8 ve 9 aralarında asaldır)
Sonuç olarak, aralarında asal olan iki doğal sayı 8 ve 9'dur.
9- Aralarında asal iki doğal sayının EBOB’u ile EKOK’unun toplamı 649’dur. Sayılardan biri 8 olduğuna göre diğer sayıyı bulunuz.
Cevap: 81
(EBOB(8, n) = 1, EKOK(8, n) = 8n. EBOB + EKOK = 1 + 8n = 649. 8n = 648, n = 81.)
10- 12'ye ve 20'ye bölündüğünde 4 kalanı veren en küçük doğal sayıyı bulunuz.
Cevap: 12 ve 20'ye bölündüğünde 4 kalanı veren sayılar, 12 ve 20'nin ortak katlarına 4 ekleyerek bulunur. Ortak katlarının en küçüğü EKOK(12, 20) = 60 olduğundan:
60 + 4 = 64
11- Bir kümesteki yumurtalar üçer üçer ve beşer beşer sayıldığında hep 2 yumurta artıyor. Yumurtaların sayısı 100'den fazla olduğuna göre kümeste en az kaç yumurta vardır?
Cevap: Yumurta sayısı, 3'e ve 5'e bölündüğünde 2 kalanını verir. Yani, yumurta sayısı 3k + 2 ve 5m + 2 formundadır. Ayrıca yumurta sayısı 100'den fazla olmalıdır.
Bu durumda, 15'in katlarına 2 eklediğimiz sayılar 100'den büyük olmalıdır:
15n + 2 > 100
15n > 98
n ≥ 7
En küçük n değeri 7 olduğunda:
15 × 7 + 2 = 105 + 2 = 107
En az 107 yumurta vardır.
12- Bir doğum salonu çalışanları, davetlilere dağıtmak için aynı sayıda kuru pasta içeren tabaklar hazırlamaktadır. (egitim.net.tr) Her tabakta tek bir tür kuru pasta bulunacak ve aynı tür pasta içeren tabakların sayısı eşit olacak şekilde, mutfakta 1500 tuzlu ve 600 üzüm kuru pasta olduğuna göre, hazırlayabilecekleri en fazla tabak sayısını bulunuz.
Soruda, 1500 tatlı ve 600 tuzlu kuru pastayı eşit sayıda tabaklara dağıtmak istiyoruz. Tabak sayısının en fazla olabilmesi için, tatlı ve tuzlu kuru pastaların her iki çeşidinin de eşit miktarda dağıtılması gerekiyor. Bunun için 1500 ve 600 sayılarının En Büyük Ortak Böleni (EBOB)'unu bulmamız gerekiyor.
1. 1500 ve 600'ün EBOB'unu Bulalım:
- 1500'ün asal çarpanları: 2² * 3 * 5³
- 600'ün asal çarpanları: 2³ * 3 * 5²
Bu çarpanlar birleştirilerek EBOB hesaplanır: EBOB = 2² * 3 * 5² = 300
Sonuç: 1500 ve 600'ün EBOB'u 300'dür.
2. En fazla hazırlanabilecek tabak sayısı:
EBOB sonucuna göre en fazla 300 tabak hazırlanabilir.
3. Her tabakta bulunacak kuru pastaların sayısı:
- Tatlı kuru pasta sayısı: 1500÷300=51500 \div 300 = 51500÷300=5
- Tuzlu kuru pasta sayısı: 600÷300=2600 \div 300 = 2600÷300=2
Sonuç olarak, düğün salonu çalışanları 300 tabak hazırlayabilir. Her tabakta 5 tatlı ve 2 tuzlu kuru pasta bulunacaktır.
13- Efe'nin dikdörtgen şeklindeki yapboz tahtasının kenar uzunlukları 36 cm ve 54 cm'dir. Yapbozu oluşturan parçalar birbirine eş ve kare şeklinde olduğuna göre bu parçaların sayısı en az kaçtır?
Cevap: Efe'nin tahtasının kenar uzunlukları 36 cm ve 54 cm. Bu boyutlardan kare şeklindeki en büyük parçalar oluşturulmalıdır.
36 ve 54'ün EBOB'u = 18 cm
36 / 18 = 2 parça, 54 / 18 = 3 parça, toplamda 2 × 3 = 6 parça.
En az 6 kare parça gereklidir.
14- Bir çiçekçi, elindeki on düzineden az olan papatyaları dörderli ve yedişerli demet yaptığında her defasında 3 papatya artıyor. Çiçekçi bu papatyalarla beşerli en fazla kaç demet yapabilir?
Cevap:
Papatya sayısı, dörderli ve yedişerli demetler halinde sayıldığında her defasında 3 papatya artıyorsa, papatya sayısı 4k + 3 ve 7m + 3 formundadır. Ayrıca papatya sayısı, 12 düzineden azdır.
Dörderli ve yedişerli demetlerin ortak katı olan sayılar üzerinde kontrol yaparsak, 4 ve 7'nin EKOK'u 28'dir.
Papatya sayısı 28n + 3 formundadır ve 144'ten küçük olmalıdır: 28n + 3 < 144
28n < 141
n ≤ 5
En fazla n = 5 olduğunda:
28 × 5 + 3 = 140 + 3 = 143
143 papatya, beşerli demetlere ayrılabilir:
143 / 5 = 28 demet + 3 papatya artar.
En fazla 28 demet yapılabilir.
15- x + 3 ve (2y - 1) sayıları aralarında asaldır. (x + 3) / (2y - 1) = 35 / 95 olduğuna göre x - y kaçtır?
Cevap: (35 / 95) sadeleştirilirse, 7 / 19 olur.
x + 3 = 7k ve 2y - 1 = 19k olmalıdır.
k = 1 olduğunda:
x + 3 = 7 × 1 = 7, dolayısıyla x = 4
2y - 1 = 19 × 1 = 19, dolayısıyla y = 10
x - y = 4 - 10 = -6
x - y = -6
16- Tanılayıcı dallanmış ağaç diagramında ifadeler doğru ise D yönündeki ok, yanlış ise Y yönündeki ok takip edilir.
Soruda verilen ilk ifade "EKOK(20,35) = 280" idi. Ancak, az önce yaptığımız hesaplamaya göre EKOK(20,35) = 140'tır. Bu durumda, ilk ifade yanlış olduğu için Y yönüne gitmeliyiz.
Y yönüne ilerlediğimizde "EBOB(250,240) = 10" ifadesi karşımıza çıkıyor. Bu ifade doğru, çünkü 250 ve 240'ın en büyük ortak böleni 10'dur. Bu yüzden D yönünde ilerlemeliyiz.
Bir sonraki adımda, 24 ve 40 sayılarıyla karşılaşıyoruz. Şimdi EKOK(24, 40)'ı bulalım:
- 24 = 2³ · 3
- 40 = 2³ · 5
EKOK(24, 40) = 2³ · 3 · 5 = 120
Sonuç olarak, sorudaki sayı çiftinin EKOK'u 120'dir.
Doğru cevap: C) 120