ALIŞTIRMALAR
1 Aşağıdaki sayı çiftlerinin EBOB ve EKOK’larını bulunuz.
a) 6 ve 9
- EBOB(6, 9) = 3: 6'nın bölenleri 1, 2, 3 ve 6; 9'un bölenleri ise 1, 3 ve 9'dur. Bu iki sayının en büyük ortak böleni 3'tür.
- EKOK(6, 9) = 18: 6 ve 9 sayılarının ortak katları 18, 36, 54... şeklinde gider ve en küçük ortak katları 18'dir.
b) 12 ve 24
- EBOB(12, 24) = 12: 12 ve 24'ün en büyük ortak böleni 12'dir çünkü 12, 24'ün de bir bölenidir.
- EKOK(12, 24) = 24: 24 zaten her iki sayının en küçük ortak katıdır.
c) 27 ve 36
- EBOB(27, 36) = 9: 27 ve 36'nın en büyük ortak böleni 9'dur.
- EKOK(27, 36) = 108: Bu iki sayının en küçük ortak katı 108'dir.
ç) 30 ve 43
- EBOB(30, 43) = 1: 30 ve 43 aralarında asal sayılardır, yani ortak bölenleri sadece 1'dir.
- EKOK(30, 43) = 1290: Bu iki sayının çarpımı, aralarında asal oldukları için en küçük ortak katlarıdır.
d) 52 ve 64
- EBOB(52, 64) = 4: 52 ve 64'ün en büyük ortak böleni 4'tür.
- EKOK(52, 64) = 832: En küçük ortak katları 832'dir.
e) 88 ve 144
- EBOB(88, 144) = 8: 88 ve 144'ün en büyük ortak böleni 8'dir.
- EKOK(88, 144) = 1584: En küçük ortak katları 1584'tür.
f) 120 ve 150
- EBOB(120, 150) = 30: 120 ve 150'nin en büyük ortak böleni 30'dur.
- EKOK(120, 150) = 600: En küçük ortak katları 600'dür.
g) 256 ve 512
- EBOB(256, 512) = 256: 512, 256'nın iki katı olduğu için en büyük ortak bölen 256'dır.
- EKOK(256, 512) = 512: 512, her iki sayının da en küçük ortak katıdır çünkü 512 zaten 256'nın bir katıdır.
2- Kış olimpiyatları için Erzurum’a giden 33 Azerbaycanlı ve 42 Kazakistanlı sporcu bir otele yerleştirilecektir. Aynı ülkeden gelen sporcular aynı odada kalmak şartıyla odalara eşit sayıda dağıtılacaktır. Buna göre sporcuların tamamını istenen şartlarda otele yerleştirmek için en az kaç oda gereklidir?
33 ve 42'nin EBOB'u 3'tür. Yani her odaya 3 sporcu yerleştirilebilir.
- Azerbaycanlılar için: 33 ÷ 3 = 11 oda
- Kazakistanlılar için: 42 ÷ 3 = 14 oda
Toplamda 11 + 14 = 25 oda gereklidir.
3- Bir kitabın sayfa sayısı ile ilgili aşağıdaki bilgiler veriliyor.
• Sayfa sayısı 60 ile 100 arasındadır.
• Sayfa sayısının asal çarpanları 2 ve 3’tür.
• Sayfa sayısını oluşturan rakamlar aralarında asaldır.
Buna göre aşağıdaki boşluklara kitabın sayfa sayısı ile ilgili yargılar doğru ise “D”, yanlış ise “Y” yazınız.
a) 25 ile aralarında asaldır.
Cevap: D (Doğru). 72 ve 25'in ortak böleni yoktur, aralarında asaldır.
b) 73 ile EBOB’u 1’dir.
Cevap: D (Doğru). 72 ve 73 aralarında asaldır, EBOB'ları 1'dir.
c) 5 ile EKOK’u 480’dir.
Cevap: Y (Yanlış). 72 ve 5'in EKOK'u 360’tır, 480 değildir.
ç) Çarpanlarından aralarında asal olanların toplamının en küçük değeri 35’tir.
Cevap: Y (Yanlış). 72’nin çarpanları aralarında asal olan 2 ve 3'tür, toplamları 5'tir, 35 değil.
4- Bir yardım organizasyonu için hazırlanan koliler beşerli ve sekizerli gruplandırıldığında her seferinde 1 koli artmaktadır.
Toplam koli sayısının 3 basamaklı bir sayı olduğu bilindiğine göre en az kaç koli hazırlanmıştır?
Bu tür bir soruyu çözmek için şu adımları izleyelim:
-
5 ve 8’in EKOK’unu bulalım:
- 5 ve 8'in EKOK'u 40'tır.
-
Şimdi, 40'ın katlarından oluşan ve 1 fazlasını eklediğimiz 3 basamaklı en küçük sayıyı bulalım:
- 40 × 1 + 1 = 41 (3 basamaklı değil)
- 40 × 2 + 1 = 81 (3 basamaklı değil)
- 40 × 3 + 1 = 121 (Bu koşullara uyan 3 basamaklı bir sayı)
Sonuç olarak, en az 121 koli hazırlanmıştır.
5 İçinde eşit miktarda su bulunan iki damacana yanda verilmiştir. Damacanalar özdeş ve her birinin hacmi 19 litredir. Kaplar her seferinde tam doldurularak 1. damacanadaki su 370 mililitrelik kapla, 2. damacanadaki su ise 500 mililitrelik kapla boşaltılabilmektedir.
Buna göre başlangıçta bir damacanada en fazla kaç litre su bulunmaktadır?
- 370 ml ve 500 ml'lik kaplarla damacanadaki suyu boşaltıyoruz.
- Her iki damacanada eşit miktarda su olduğundan, bu miktar 370 ml ve 500 ml kaplarının her ikisiyle de tam olarak boşaltılabilmelidir. Bu nedenle, aradığımız miktar bu iki sayının EKOK’u (En Küçük Ortak Katı) kadar olmalıdır.
EKOK(370, 500) hesaplaması:
- 370 = 2 × 5 × 37
- 500 = 22 × 53
EKOK, ortak ve farklı asal çarpanların en büyük üsleriyle hesaplanır:
- EKOK(370, 500) = 22 × 53 × 37 = 2 × 500 × 37 = 18500 ml (18.5 litre)
Sonuç olarak, başlangıçta bir damacanada en fazla 18.5 litre su bulunabilir.
6. Yukarıdaki 180 m ve 150 m’lik iki yolun arasından akarsu geçmektedir. Belediye, bu akarsuyun üzerine eşit aralıklarla ve birbirine paralel çelik halatlar koymak istemektedir. 150 m’lik yolun başına ve sonuna halat konulmak şartıyla bu iş için toplam en az kaç halat
gerekir? (Halatların kalınlığı ihmal edilecektir.)
İki yolun uzunlukları:
- 180 metre ve
- 150 metre.
Bu yolların başına ve sonuna halat konulacak ve halatlar eşit aralıklarla yerleştirilecektir. Eşit aralıkları bulmak için iki uzunluğun EBOB'unu (En Büyük Ortak Bölen) bulmamız gerekiyor.
EBOB(180, 150) hesaplaması:
- 180 = 2² × 3² × 5
- 150 = 2 × 3 × 5²
Bu iki sayının en büyük ortak böleni 30'dur. Yani halatlar her 30 metre arayla yerleştirilecektir.
Şimdi halatların kaç tane olacağını bulalım:
- 150 metre uzunluğundaki yol boyunca: 150 / 30+1= 6 halat
- 180 metre uzunluğundaki yol boyunca: 180 / 30+1 = 7 halat
Her iki yola da en baş ve en sona halat yerleştirildiği için sonuç: 7 halat gereklidir.
7 Dikdörtgen şeklindeki bir bahçenin uzun kenarı 240 m ve kısa kenarı 180 m uzunluğundadır. Bu bahçenin kenarlarına köşeleri de dâhil olacak şekilde eşit aralıklarla aydınlatma direği dikilecektir. Bir direğin fiyatı 300 TL olduğuna göre bu iş için en az kaç TL’ye ihtiyaç vardır?
Dikdörtgen şeklindeki bir bahçenin uzun kenarı 240 metre, kısa kenarı ise 180 metre. Bu bahçenin kenarlarına eşit aralıklarla ve köşeler de dahil olacak şekilde direkler dikilecektir. Direklerin yerleştirileceği eşit aralığı bulmak için 240 ve 180’in EBOB’unu (En Büyük Ortak Bölen) bulmamız gerekiyor.
240 ve 180’in EBOB’u 60 metredir. Bu durumda direkler her 60 metrede bir yerleştirilecektir.
- Uzun kenar için: 240 ÷ 60 + 1 = 5 direk
- Kısa kenar için: 180 ÷ 60 + 1 = 4 direk
Dikdörtgenin köşelerine de direk yerleştirildiği için, toplam direk sayısı şu şekilde hesaplanır:
5 + 5 + 4 + 4 - 4 = 14 direk.
Bir direğin fiyatı 300 TL olduğuna göre, toplam maliyet:
14 × 300 = 4.200 TL.
Sonuç: Bu iş için 4.200 TL'ye ihtiyaç vardır.
8 Aynı güzergâh üzerinde hareket eden metro ve tramvaydan, metro 1 saat çalışıp 20 dakika ara vermekte, tramvay ise 1 saat çalışıp 30 dakika ara vermektedir.
Saat 08.00’de birlikte kalkan bu araçlar 2. kez saat kaçta birlikte harekete geçer?
Metro 1 saat çalışıp 20 dakika ara veriyor, yani bir döngüsü 80 dakika (60 dakika çalışma + 20 dakika ara) sürüyor.
Tramvay ise 1 saat çalışıp 30 dakika ara veriyor, yani bir döngüsü 90 dakika (60 dakika çalışma + 30 dakika ara) sürüyor.
Metro ve tramvay birlikte saat 08.00’de kalkıyorlar. Bu iki aracın tekrar birlikte hareket etmeleri için döngülerinin ortak katı bulunmalıdır. Yani 80 dakika ve 90 dakika için EKOK (En Küçük Ortak Kat) hesaplamamız gerekiyor.
EKOK(80, 90):
- 80 = 24 × 5
- 90 = 2 × 32 × 5
EKOK(80, 90) = 720 dakika.
720 dakika = 12 saat.
Saat 08.00’de birlikte hareket eden metro ve tramvay, 12 saat sonra tekrar birlikte harekete geçerler.
Yani, 20.00'de birlikte tekrar hareket ederler.
9. Sadece pandaların yaşadığı uzun kenar uzunluğu 480 m ve kısa kenar uzunluğu 360 m olan hayvanat bahçesi eş karesel bölgelere ayrılacaktır. Oluşacak bölgelerle ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:
İki bölgenin köşesi olacak noktalara bambu filizi, dört bölgenin köşesi olacak noktalara su ve tek bir bölgenin köşesi olacak noktalara ise balık konarak pandaların beslenme ihtiyaçları karşılanacaktır.
Günlük kendilerine ayrılmış her bir noktaya konacak bambu filizi için 500 TL, su için 40 TL ve
balık için 200 TL gerektiğine göre bir günde pandalar için toplam en az kaç TL harcanır?
Hayvanat bahçesi 120 metre kenar uzunluğuna sahip karelere ayrılıyor. Toplamda 20 köşe oluşur:
- 4 köşe su için (4 × 40 = 160 TL)
- 8 köşe bambu filizi için (8 × 500 = 4.000 TL)
- 8 köşe balık için (8 × 200 = 1.600 TL)
Toplam maliyet:
4.000 TL + 160 TL + 1.600 TL = 5.760 TL.
Sonuç: 5.760 TL harcanır.
10 Yarıçapı r olan çemberin uzunluğu 2πr formülü ile bulunur.
A aracının tekerleklerinin yarıçapı 30 cm ve B aracının tekerleklerinin yarıçapı 36 cm’dir. Şekilde gösterilen biçimde harekete başlayan her iki araç bitiş çizgisine geldiğinde tekerleklerinin tam tur attığı bilinmektedir.
Buna göre başlangıç ile bitiş çizgisi arasındaki mesafe en az kaç metredir? (π = 3 alınız.)
A aracının tekerlek uzunluğu 180 cm, B aracının tekerlek uzunluğu 216 cm’dir. Mesafe her iki tekerleğin de tam tur attığı ortak uzunluk olan EKOK(180, 216) = 1.080 cm’dir.
Bu mesafe 10.8 metredir.