ALIŞTIRMALAR
1. Aşağıdaki üslü ifadelerin değerlerini bulunuz.
- a) 3⁰ = 1
- b) 5² = 25
- c) 1¹⁷ = 1
- ç) (-2)⁶ = 2⁶ = 64
- d) (-3)⁵ = -243
- e) 7² = 49
- f) (-4)³ = -64
- g) -10² = 100
- ğ) 8-² = (1/8)² = 1/64
- ı) (-2)-⁴ = = (1/2)⁴ = 1/64
- i) 9-³ = (1/9)³ = 1/729
- j) (-6)-³ = (-1/6)³ = -1/216
2. Aşağıdaki işlemlerin sonuçlarını üslü ifade olarak yazınız.
- a) 3³ · 3⁷ = 3¹⁰
- b) 2⁵ · 2¹⁰ = 2¹⁵
- c) 5³ · 5⁸ = 5¹¹
- ç) 4⁷ · 4⁻⁸ = 4⁻¹
- d) 9⁵ · 4⁵ = 36⁵
- e) 6⁷ · 7⁷ = 42⁷
- f) (-2)-³ · (-2)-⁵ = (-2)-⁸
- g) 3¹² · 5¹² = 15¹²
- h) (-10)⁶ · 5⁶ = -50⁶
3. Aşağıdaki işlemlerin sonuçlarını üslü ifade olarak yazınız.
- a) 2⁸ ÷ 2⁵ = 2³
- b) 7¹² ÷ 7⁹ = 7³
- c) 6¹⁰ ÷ 6-³ = 6¹³
- ç) 11-⁴ ÷ 11² = 11-⁶
- d) 5-¹ ÷ 5-⁷ = 5⁶
- e) 9⁵ ÷ 3⁵ = 3⁵
- f) 14⁴ ÷ 7⁴ = 2⁴
- g) 25-⁵ ÷ 5-⁵ = 5⁵
- h) (-64)³ ÷ 8³ = (-8)³
4. Aşağıdaki işlemlerin sonuçlarını üslü ifade olarak yazınız.
- a) (2³)⁴ = 2¹²
- b) (3⁵)³ = 3¹⁵
- c) (5-²)-⁶ = 5¹²
- ç) (7-³)⁵ = 7-¹⁵
- d) (8-⁸)-² = 8¹⁶
- e) (6⁷)-⁸ = 6-⁵⁶
5. Verilen ifade: 81⁵ · (-729)⁻² · 3⁷
Öncelikle, 81 ve -729'u ortak tabanlarına ayıralım:
- 81 = 3⁴ olduğundan, 81⁵ = (3⁴)⁵ = 3²⁰
- -729 = -3⁶ olduğundan, (-729)⁻² = (-3⁶)⁻² = 3⁻¹² (negatif işaret üsse göre belirlenir, burada işaret + olur çünkü çift kuvvet var)
Şimdi elimizdeki ifadeler:
3²⁰ · 3⁻¹² · 3⁷
Bu ifadeleri aynı tabanlı üslü sayıların toplama kuralıyla birleştirelim:
= 3²⁰⁺⁻¹²⁺⁷
= 3¹⁵
Sonuç olarak, verilen işlemin en sade hali: 3¹⁵
6 Aşağıdaki işlemlerle karşılarındaki ifadeleri bir eşitlik oluşturacak şekilde eşleştiriniz.
a) 2⁻¹² · 4³
4 = 2² olduğuna göre:
= 2⁻¹² · (2²)³
= 2⁻¹² · 2⁶
= 2⁻⁶
Bu ifade 2⁻⁶ ile eşleşir.
b) (-5)²
Bu işlem zaten direkt olarak açılır:
(-5)² = 25
Bu ifade 5² ile eşleşir.
c) 3⁷ · (-4)⁷
Bu işlemde ortak kuvvet kullanılır:
= (3 · -4)⁷
= (-12)⁷
Bu ifade (-12)⁷ ile eşleşir.
ç) 2⁻² · (2⁷ ÷ 2⁶)
Parantez içini sadeleştirirsek:
= 2⁻² · 2¹
= 2⁻¹
= 1 ÷ 2
Bu ifade 1/2 ile eşleşir.
d) (1⁸)⁹
1'in herhangi bir kuvveti 1'dir:
= 1
Bu ifade 1 ile eşleşir.
e) 125⁵ ÷ 5⁷
125 = 5³ olduğuna göre:
= (5³)⁵ ÷ 5⁷
= 5¹⁵ ÷ 5⁷
= 5⁸
Bu ifade 5⁸ ile eşleşir.
Eşleştirme Sonuçları:
- a) 2⁻¹² · 4³ → 2⁻⁶
- b) (-5)² → 5²
- c) 3⁷ · (-4)⁷ → (-12)⁷
- ç) 2⁻² · (2⁷ ÷ 2⁶) → 1/2
- d) (1⁸)⁹ → 1
- e) 125⁵ ÷ 5⁷ → 5⁸
7. Aşağıdaki işlemlerin sonuçlarının en sade hâlini üslü ifade olarak yazınız.
a) 25⁴ · 8³ ÷ 5⁻¹
25 = 5² olduğuna göre:Sonuç: 5⁹ · 8³
- 25⁴ = (5²)⁴ = 5⁸
- 5⁸ · 8³ ÷ 5⁻¹ = 5⁸ · 5¹ · 8³ = 5⁹ · 8³
b) 9³ · (-25)⁴ ÷ 27 · (-5)²
9 = 3², 27 = 3³ ve 25 = 5² olduğuna göre:Sonuç: 3³ · 5⁶
- 9³ = (3²)³ = 3⁶, (-25)⁴ = (5²)⁴ = 5⁸
- 3⁶ · 5⁸ ÷ 3³ · 5² = 3⁶ ÷ 3³ · 5⁸ ÷ 5² = 3³ · 5⁶
c) 2⁶ · 8⁻⁴ ÷ 16⁴ · 128⁻²
8 = 2³, 16 = 2⁴ ve 128 = 2⁷ olduğuna göre: Sonuç: 2⁻⁸
- 8⁻⁴ = (2³)⁻⁴ = 2⁻¹², 16⁴ = (2⁴)⁴ = 2¹⁶, 128⁻² = (2⁷)⁻² = 2⁻¹⁴
- 2⁶ · 2⁻¹² ÷ 2¹⁶ · 2⁻¹⁴ = 2⁶⁻¹² ÷ 2¹⁶⁻¹⁴ = 2⁻⁶ ÷ 2² = 2⁻⁶⁻² = 2⁻⁸
ç) 81² · 3⁻⁵ ÷ 36 · (1 ÷ 32)⁴
81 = 3⁴, 36 = 6², 32 = 2⁵ olduğuna göre:Sonuç: 3³ ÷ 6² · 2⁻²⁰
- 81² = (3⁴)² = 3⁸, (1 ÷ 32)⁴ = (2⁵)⁻⁴ = 2⁻²⁰
- 3⁸ · 3⁻⁵ ÷ 6² · 2⁻²⁰ = 3³ ÷ 6² · 2⁻²⁰
Bu ifadeler en sade üslü ifadelerle gösterilmiştir.
8. 2ᵃ = 1/32 ve 3⁻ᵇ = 1/27 olmak üzere 10ᵇ⁻ᵃ üslü ifadesinin değeri kaç basamaklı doğal sayıdır?
- 2ᵃ = 1/32 ifadesinde 32 = 2⁵ olduğundan a = -5'tir.
- 3⁻ᵇ = 1/27 ifadesinde 27 = 3³ olduğundan b = 3'tür.
Bu durumda b - a = 3 - (-5) = 3 + 5 = 8'dir.
Sonuç: 10ᵇ⁻ᵃ = 10⁸. Bu sayı 9 basamaklıdır.
9. Soru: Uzun kenar uzunluğu 32 cm, kısa kenar uzunluğu 16 cm olan dikdörtgen şeklinde bir karton 6 adım boyunca kesiliyor. 6. adım sonunda elde edilen karton parçasının bir yüzünün alanı kaç santimetrekaredir?
-
adımda karton dikey olarak ikiye bölündüğünde uzun kenar yarıya iner. Sonraki adımlarda bu işlem dönüşümlü olarak uzun ve kısa kenar için tekrarlanır.
-
adımda:
- Uzun kenar: 32 ÷ 2 = 16 cm
- Kısa kenar: 16 cm (değişmedi)
- adımda:
- Uzun kenar: 16 cm
- Kısa kenar: 16 ÷ 2 = 8 cm
- adımda:
- Uzun kenar: 16 ÷ 2 = 8 cm
- Kısa kenar: 8 cm
- adımda:
- Uzun kenar: 8 cm
- Kısa kenar: 8 ÷ 2 = 4 cm
- adımda:
- Uzun kenar: 8 ÷ 2 = 4 cm
- Kısa kenar: 4 cm
- adımda:
- Uzun kenar: 4 cm
- Kısa kenar: 4 ÷ 2 = 2 cm
Sonuç olarak, 6. adımda elde edilen karton parçasının bir yüzünün alanı:
4 cm × 2 cm = 8 cm²
Elde edilen karton parçasının alanı 8 cm² olacaktır.