5. Uygulama
Gerçek Sayılarda g(x) = ax + b Şeklinde Tanımlı Doğrusal Fonksiyonların İncelenmesi
Aşağıdaki soruları cevaplayınız.
1- a, b ∈ R, a ≠ 0 olmak üzere f: R → R, f(x) = x şeklinde tanımlı f fonksiyonunun grafiğinden yararlanılarak g: R → R, g(x) = ax + b şeklinde tanımlı doğrusal fonksiyonların grafikleri nasıl elde edilebilir? Varsayımlarınızı sınıf arkadaşlarınızla saygı çerçevesinde tartışarak oluşturunuz.
Doğrusal fonksiyonlar g(x) = ax + b şeklinde tanımlanır.
-
Eğim (a): Fonksiyonun grafiğinin eğimini belirler. a değeri arttıkça grafik daha dik hale gelir. a > 0 olduğunda grafik yukarı yönlü artar, a < 0 olduğunda grafik aşağı yönlü azalır.
-
Sabit terim (b): Fonksiyonun y-ekseni üzerindeki kesişim noktasını belirler. b > 0 olduğunda grafik y-ekseni üzerinde yukarıya, b < 0 olduğunda aşağıya kayar.
Sonuç olarak, a katsayısı grafiğin eğimini, b katsayısı ise grafiğin y-ekseni üzerindeki konumunu etkiler.
2. Tablo 1’de a ve b gerçek sayılarının bazı değerleri için oluşturulan gerçek sayılarda tanımlı fonksiyonlar verilmiştir. Verilen fonksiyonların bazı x değerleri için aldığı değerleri bularak tabloda ilgili yerlere örnekteki gibi yazınız.
Tablo 1: Verilen Fonksiyonların Değerleri
| Fonksiyon | x = -2 | x = -1 | x = 0 | x = 1 | x = 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| f(x) = x | f(-2) = -2 | f(-1) = -1 | f(0) = 0 | f(1) = 1 | f(2) = 2 |
| h(x) = 2x - 5 | h(-2) = -9 | h(-1) = -7 | h(0) = -5 | h(1) = -3 | h(2) = -1 |
| k(x) = x/4 + 1 | k(-2) = 1/2 | k(-1) = 3/4 | k(0) = 1 | k(1) = 1 1/4 | k(2) = 1 1/2 |
| m(x) = -x + √3 | m(-2) = 2 + √3 | m(-1) = 1 + √3 | m(0) = √3 | m(1) = √3 - 1 | m(2) = √3 - 2 |
| n(x) = -3x - 4 | n(-2) = 2 | n(-1) = -1 | n(0) = -4 | n(1) = -7 | n(2) = -10 |
Soru 3: Tablo 1’de elde ettiğiniz sonuçlar doğrultusunda g:R→R, g(x)=ax+b şeklinde tanımlı g fonksiyonunun grafiğinin nasıl çizilebileceği ile ilgili genellemelerinizi oluşturunuz.
Cevap 3:
- g(x)=ax+b fonksiyonunun grafiği, eğim (a) ve yyy-eksenini kestiği nokta (b) üzerinden çizilebilir.
- Eğim (a) pozitif ise grafik sağa ve yukarı doğru artar, negatif ise sola ve aşağı doğru azalır.
- y=0 olduğunda x-eksenini kesiş noktası x=−b/a olur.
- Grafik, bu noktalar ve eğim kullanılarak oluşturulabilir.
Soru 4: 1. maddede varsayımlarınızla genellemelerinizi karşılaştırarak g:R→R,g(x)=ax+b şeklinde tanımlı ggg fonksiyonunun grafiğinin nasıl çizilebileceği ile ilgili önermelerinizi oluşturunuz.
- a, fonksiyonun eğimini belirler. aaa değeri büyüdükçe grafik dikleşir, küçüldükçe yatıklaşır.
- b, fonksiyonun yyy-eksenini kestiği noktayı gösterir. Bu, grafiğin dikey eksen üzerindeki konumunu belirler.
- Grafik g(x)=ax+b formülü kullanılarak aaa ve bbb değerlerine göre kolaylıkla çizilebilir.
5. Aşağıdaki dik koordinat sisteminde gerçek sayılarda f(x) = x şeklinde tanımlı doğrusal f fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Tablo 1’den yararlanarak h, k, m ve n fonksiyonlarının grafiklerini aşağıda verilen dik koordinat sisteminde çiziniz. Grafikler yardımıyla Tablo 2’yi örnekteki gibi doldurunuz.
| Fonksiyon | Fonksiyonun Sıfırı | Fonksiyonun Grafiğinin Y Eksenini Kestiği Noktanın Ordinatı | Fonksiyonu Temsil Eden Doğrunun Eğimi |
|---|---|---|---|
| f(x) = x | 0 | 0 | 1 |
| h(x) = 2x - 5 | 5/2 | -5 | 2 |
| k(x) = x/4 + 1 | -4 | 1 | 1/4 |
| m(x) = -x + √3 | √3 | √3 | -1 |
| n(x) = -3x - 4 | -4/3 | -4 | -3 |
6. Çizdiğiniz grafiklerden ve f: ℝ → ℝ, f(x) = x şeklinde tanımlı doğrusal referans fonksiyonunun nitel özelliklerinden yararlanarak g: ℝ → ℝ, g(x) = ax + b şeklinde tanımlı doğrusal fonksiyonunun nitel özellikleri (tanım ve görüntü kümeleri, işareti, artanlık-azalanlık, maksimum-minimum noktaları, sıfırı ve bire birliği) ile ilgili varsayımlarınızı oluşturunuz.
- Tanım Kümesi: ℝ (Tüm gerçek sayılar)
- Görüntü Kümesi: ℝ (Tüm gerçek sayılar)
- Fonksiyonun Sıfırı: ax+b=0 bulunur.
İşaret Analizi:
Eğer a>0 ise:
- x > −b/a için fonksiyon pozitiftir (+).
- x < −b/a için fonksiyon negatiftir (-).
Eğer a < 0 ise:
- x > −b/a için fonksiyon negatiftir (-).
- x < −b/a için fonksiyon pozitiftir (+).
Artanlık-Azalanlık:
- Eğer a > 0 Fonksiyon artandır.
- Eğer a < 0 Fonksiyon azalandır.
Maksimum ve Minimum Noktalar: Doğrusal fonksiyonların maksimum veya minimum noktası yoktur.
Bire Birlik: Fonksiyon bire birdir, çünkü her x değeri için farklı bir y değeri bulunur.
Bu özelliklere göre, g(x) = ax+b fonksiyonunun grafiği eğim a ve y-eksenine kayma b dikkate alınarak çizilebilir.
7. Tablo 3’te verilen gerçek sayılarda tanımlı fonksiyonların nitel özelliklerini bularak tabloyu örnekteki gibi doldurunuz.
Tablo 3’teki gerçek sayılarda tanımlı fonksiyonların nitel özelliklerini bulmak için verilen fonksiyonlar üzerinde yapılan analizler şu şekildedir:
| Fonksiyon | Nitel Özellikler | f(x) = x | h(x) = 2x - 5 | k(x) = x/4 + 1 | m(x) = -x + √3 | n(x) = -3x - 4 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Tanım Kümesi | R | R | R | R | R | R |
| Görüntü Kümesi | R | R | R | R | R | R |
| İşareti | + | (-∞, 0) | (+∞, ∞) | (+∞, ∞) | (-∞, 0) | (-∞, 0) |
| Sıfır | 0 | 0 | 5/2 | 4 | √3 | -4/3 |
| Artanlık-Azalanlık | Artan | Artan | Artan | Azalan | Azalan | Azalan |
| Maksimum Değeri | Yok | Yok | Yok | Yok | Yok | Yok |
| Minimum Değeri | Yok | Yok | Yok | Yok | Yok | Yok |
| Bire Birliği | Bire bir | Bire bir | Bire bir | Bire bir | Bire bir | Bire bir |
8. Tablo 3’te Bulduğunuz Değerlerden Yararlanarak g(x) = ax + b Şeklinde Tanımlı g Fonksiyonunun Nitel Özellikleri ile İlgili Genellemelerinizi Oluşturunuz
Verilen fonksiyonları göz önünde bulundurarak g(x) = ax + b şeklinde tanımlı bir doğrusal fonksiyonun özelliklerini şu şekilde genel bir biçimde ifade edebiliriz:
Tanım Kümesi: R (Gerçek Sayılar)
Doğrusal fonksiyonlar, tüm gerçek sayılar kümesinde tanımlıdır.
Görüntü Kümesi: R (Gerçek Sayılar)
Görüntü kümesi, tüm gerçek sayıları kapsar. Çünkü doğrusal fonksiyonların çıktıları da her gerçek sayıyı alabilir.
İşaret: Fonksiyonun işareti, eğimine bağlıdır. Eğer a > 0 ise fonksiyon artandır, a < 0 ise azalan bir fonksiyondur. a = 0 ise fonksiyon sabittir.
Sıfır: Fonksiyonun sıfır noktası, ax + b = 0 denkleminden bulunabilir. Buradan x = -b/a sonucuna ulaşılır.
Artanlık/Azalanlık: Eğer a > 0 ise fonksiyon artandır, a < 0 ise azalandır. a = 0 ise fonksiyon sabittir.
Maksimum ve Minimum Değer: Doğrusal fonksiyonlar, sabit olmayan eğim değerleriyle çalışırken maksimum veya minimum değere sahip değildir. Yani, doğrusal fonksiyonlarda maksimum ve minimum değer yoktur.
Bire Birlik: Doğrusal fonksiyonlar bire bir fonksiyonlardır. Her x değeri farklı bir y değerine karşılık gelir.
9. 6. Maddede Oluşturduğumuz Varsayımlarla Genellemelerinizi Karşılaştırarak g: R → R, g(x) = ax + b Şeklinde Tanımlı g Fonksiyonunun Nitel Özellikleri ile İlgili Önerilerinizi Oluşturunuz
Varsayımları ve doğrusal fonksiyonun genel özelliklerini göz önünde bulundurarak şunları söyleyebiliriz:
Tanım Kümesi: R
Doğrusal fonksiyonlar tüm gerçek sayılar kümesinde tanımlıdır. Dolayısıyla R'yi kapsar.
Görüntü Kümesi: R
Doğrusal fonksiyonların çıktısı da tüm gerçek sayıları kapsar. Bu nedenle görüntü kümesi R’dir.
Eğim (a):
a > 0 olduğu durumlarda fonksiyon artandır ve a < 0 olduğunda azalandır. Eğer a = 0 ise fonksiyon sabit olur.
Fonksiyonun Sıfırı (x = -b/a):
Eğim ve y-intercept kullanılarak sıfır noktası bulunabilir.
Sıfır noktası: x = -b/a
Bu, doğrusal fonksiyonun x eksenini kestiği noktadır.
Maksimum ve Minimum Değer:
Doğrusal fonksiyonlarda bu değerler yoktur çünkü eğim sabittir ve fonksiyonun herhangi bir tepe veya çukur noktası bulunmaz.
Bire Birlik:
Doğrusal fonksiyonlar, her x için bir y değeri verdiği için bire bir fonksiyonlardır. Bu özellik, doğrusal fonksiyonlar için temel bir niteliktir.
10. Aşağıdaki problemi inceleyerek soruları cevaplayınız.
Görselde bir koşu pistinde antrenman yapan 4 koşucu ve bir hakem verilmiştir.
Bir koşu pistinde, dört sporcu ve bir hakem var. Verilen bilgilerle sorulara şu şekilde cevap verilebilir:
1. Koşucu 120 cm/s, 2. Koşucu 150 cm/s, 3. Koşucu 100 cm/s, 4. Koşucu 50 cm/s hızla koşmaktadır.
Koşucuların Hızları:
-
- Koşucu saniyede 120 cm,
-
- Koşucu saniyede 150 cm,
-
- Koşucu saniyede 100 cm,
-
- Koşucu saniyede 50 cm hızla koşmaktadır.
Koşucuların Mesafe Kat Etme Süreleri:
İlk etapta mesafe hesaplaması: Koşucuların mesafeleri ve süreleri farklı olduğundan her koşucu için mesafe hesabı yapılabilir.
a) Grafiklerin hangi koşuculara ve hakeme ait olduğunu belirtin:
- g(x): 1. Koşucu (Eğim yüksek ve mesafe artışı hızlı.)
- h(x): Hakem (Sabit bir mesafe, eğim sıfır.)
- i(x): 3. Koşucu (Orta eğimle mesafe artışı.)
- m(x): 2. Koşucu (En yüksek eğim, en hızlı mesafe artışı.)
- n(x): 4. Koşucu (En düşük eğim, en yavaş mesafe artışı.)
b) Koşucuların zamana bağlı konumlarındaki değişimi açıklayın:
- 1. Koşucu: Sabit hızla hareket ediyor, mesafesi düzenli artıyor.
- 2. Koşucu: En hızlı hareket eden koşucu, mesafesi en hızlı artıyor.
- 3. Koşucu: Orta bir hızla hareket ediyor, mesafesi makul bir şekilde artıyor.
- 4. Koşucu: En yavaş koşucu, mesafe artışı en düşük.
- Hakem: Sabit bir noktada duruyor, mesafesi değişmiyor.
c) Zamana bağlı konum fonksiyonlarını yazın:
- g(x) = 100x (1. Koşucu)
- m(x) = 150x (2. Koşucu)
- i(x) = 70x (3. Koşucu)
- n(x) = 40x (4. Koşucu)
- h(x) = 10 (Hakem, sabit mesafe)
d) Hangi koşucunun bitiş çizgisine daha önce ulaşacağını belirleyin:
- En hızlı ulaşan: 2. Koşucu (m(x)), çünkü eğimi en yüksek.
- Neden: Eğim, hızın bir göstergesidir. Eğim ne kadar yüksekse, mesafe o kadar hızlı kat edilir.
e) Grafiklerden yararlanarak eğimleri karşılaştırın:
- 1. Koşucu: 100 (Hızlı)
- 2. Koşucu: 150 (En hızlı)
- 3. Koşucu: 70 (Orta hızda)
- 4. Koşucu: 40 (En yavaş)
- Hakem: 0 (Hareketsiz)
Sonuç: 2. Koşucu en hızlı hareket ederken, 4. Koşucu en yavaş ilerliyor. Hakem sabit duruyor ve mesafesi değişmiyor. Grafiklerdeki eğimlerin büyüklüğü, koşucuların hızlarıyla doğru orantılıdır.
e) Hangi koşucu en hızlı, hangisi en yavaş?
Koşucuların hızlarını cebirsel ifadelerle açıklayalım:
- 1. Koşucu: y = 120x (120 cm/sn hız)
- 2. Koşucu: y = 150x (150 cm/sn hız)
- 3. Koşucu: y = 100x (100 cm/sn hız)
- 4. Koşucu: y = 50x (50 cm/sn hız)
Sonuç:
- En hızlı: 2. Koşucu (150 cm/sn)
- En yavaş: 4. Koşucu (50 cm/sn)
f) Koşucuların ve hakemin pozisyonu ile ekseni kestikleri noktalar:
- 1. Koşucu: Doğru başlangıçtan geçer (x=0) ve doğrusal artış gösterir.
- 2. Koşucu: En dik eğime sahiptir, bu da hızının yüksek olduğunu gösterir.
- 3. Koşucu: Eğimi 100 cm/sn olan bir doğrusal grafikle temsil edilir.
- 4. Koşucu: Eğimi en düşük olan doğruya sahiptir (50 cm/sn).
Hakem: Yatay çizgi olduğundan pozisyonu sabittir, ekseni kesmez.
g) Koşucular ve hakem için pozisyon grafiği analizi:
Koşucuların grafikleri doğrusal artış gösterirken, hakemin grafiği yataydır. Artış veya azalma olmaması hakemin sabit durduğunu gösterir.
ğ) Önerme ve kolaylık:
Bu grafikler, hız ve pozisyon değişimlerini net bir şekilde gösterir. Doğrusal ifadeler ve eğimler, kimin daha hızlı ya da daha yavaş olduğunu belirlemeyi kolaylaştırır. Ayrıca, ekseni kesen noktalar başlangıç ve bitiş pozisyonlarını analiz etmek için faydalıdır.
11. Fonksiyonları temsil eden grafikler ve bu fonksiyonların nitel özellikleri ile ilgili oluşturduğunuz önerilerin doğruluğunu göstermek için hangi doğrulama yöntemleri kullanılabilir?
1. Adım: Matematik yazılımını kullanarak fonksiyon grafiğini çizin.
- Örneğin, g(x)=ax+b fonksiyonunu yazın ve Enter tuşuna basın. Yazılım grafiği otomatik olarak oluşturacaktır.
2. Adım: Grafikte eğim, kesişim noktaları ve fonksiyonun artış/azalış durumunu incelemek için grafiği kaydırarak hareket ettirin.
3. Adım: Grafik üzerinde yaptığınız gözlemleri, teorik olarak oluşturduğunuz önerilerle karşılaştırarak doğruluğunu test edin.
Not: Grafik üzerinde yapılan bu gözlemler ile fonksiyonun eğim değerinin işareti ve doğrusal olup olmadığı kolayca anlaşılabilir.
12. R → R, f(x) = x şeklinde tanımlı doğrusal referans fonksiyonu için verilen "Her x₁, x₂ ∈ R için x₁ < x₂, f(x₁) < f(x₂)" biçimindeki artanlık tanımı ile "Her a > 0 için R → R, g(x) = ax + b" şeklinde tanımlı doğrusal fonksiyonun artanlık tanımı arasında nasıl bir ilişki kurulabilir?
- Artanlık tanımı, fonksiyonun pozitif eğim değerine sahip olduğunu ifade eder. Eğer eğim (a) pozitif ise fonksiyon her zaman artan olur.
- f(x) = x fonksiyonu, a = 1 ve b = 0 için bir özel durumdur.
- Sonuç: Hem f(x) = x hem de g(x) = ax + b fonksiyonlarının artanlığı, a > 0 koşuluna bağlıdır. Bu nedenle, artanlık için eğimin pozitif olması yeterli bir koşuldur.
13. Doğrulama yöntemlerinizi sınıf arkadaşlarınızın kullandığı yöntemlerle karşılaştırarak hangi yöntemin daha etkili olduğunu değerlendiriniz.
- Grafiksel Doğrulama: Fonksiyonun davranışını hızlıca görselleştirir ve genel eğilimler hakkında bilgi sağlar.
- Cebirsel Doğrulama: Fonksiyonun nitel özelliklerini matematiksel olarak kesin bir şekilde kanıtlar.
- Sonuç: Grafiksel doğrulama, hızlı ve pratik olsa da hataya açık olabilir. Cebirsel doğrulama ise kesin sonuçlar sunar. Bu nedenle, en etkili yöntem, grafiksel ve cebirsel doğrulamanın birlikte kullanılmasıdır.
Ek Not: Önerilen yöntemler, problemleri görselleştirerek anlamayı kolaylaştırırken, teorik analizlerin doğruluğunu da artırır.