Sorular ve Cevaplar
a) f: R → R, f(x) = x şeklinde tanımlı doğrusal referans fonksiyonunun grafiğinden yararlanarak m, n ve k fonksiyonlarının grafiklerini aşağıda verilen dik koordinat sistemine çiziniz.
Cevap: Grafikler şu şekilde çizilir:
- f(x) = x: Eğim a = 1, y-eksenini 0'da keser.
- m(x) = -1/2x + 1/3: Eğim a = -1/2, y-eksenini 1/3'te keser.
- n(x) = 6x: Eğim a = 6, y-eksenini 0'da keser.
- k(x) = √3: Sabit bir fonksiyondur ve grafiği y = √3 doğrusu olarak çizilir.
b) Çizdiğiniz grafiklerden yararlanarak m, n ve k fonksiyonlarına ait grafiklerin eğimini bulunuz. Bulduğunuz eğim değerlerini f fonksiyonuna ait grafik eğimi ile karşılaştırınız.
- m(x): Eğimi -1/2 olup, bu negatif bir eğimdir. Grafiği x eksenine daha yakındır.
- n(x): Eğimi 6 olup, pozitif bir eğimdir. Grafiği y eksenine daha dik bir şekilde yaklaşır.
- k(x): Sabit bir fonksiyon olduğu için eğimi 0'dır. x eksenine pareleldir.
Karşılaştırma:
- f(x) fonksiyonunun eğimi diğer fonksiyonlarla karşılaştırıldığında pozitif ve orta bir eğime sahiptir.
- m(x) grafiği negatif eğimli olup x eksenine daha yakın ilerler.
- n(x) grafiği ise pozitif ve oldukça dik bir eğime sahiptir.
- k(x) grafiği sabit olduğundan eğimi yoktur.
Eğrilerin özelliklerini anlamak için grafiklerin x ve y eksenine olan uzaklıklarını göz önünde bulundurabilirsiniz.
c) m, n ve k fonksiyonlarının sıfırını, fonksiyonların temsil eden grafiklerin y-eksenini kestikleri noktaları, maksimum ve minimum değerlerini bulunuz.
m(x):
- Sıfır: m(x) = 0 için x = 2/3.
- Y-eksenini kestiği nokta: (0, 1/3).
- Maksimum ve minimum değer: Yok.
n(x):
- Sıfır: n(x) = 0 için x = 0.
- Y-eksenini kestiği nokta: (0, 0).
- Maksimum ve minimum değer: Yok.
k(x):
- Sabit fonksiyon olduğu için sıfır yoktur.
- Y-eksenini kestiği nokta: (0, √3).
- Maksimum ve minimum değer: Sabit olduğundan √3.
ç) Fonksiyonların artan veya azalan olduğu aralıkları bulunuz.
- f(x): Tüm gerçek sayılarda artandır.
- m(x): Tüm gerçek sayılarda azalır.
- n(x): Tüm gerçek sayılarda artandır.
- k(x): Sabit fonksiyon olduğundan artma ya da azalma durumu yoktur.
d) Fonksiyonların bire bir olup olmadıklarını belirleyiniz.
- f(x): Bire birdir.
- m(x): Bire birdir.
- n(x): Bire birdir.
- k(x): Sabit fonksiyon olduğundan bire bir değildir.
e) Fonksiyonların artanlık-azalanlık ve bire birliği ile ilgili ulaştığınız sonuçları bire birlik ve artanlık-azalanlık tanımlarından yararlanarak cebirsel olarak doğrulayınız.
Artanlık-Azalanlık:
- f(x) = x ve n(x) = 6x: Türevleri pozitif olduğundan artandır.
- m(x) = -1/2x + 1/3: Türevi negatif olduğundan azalandır.
- k(x) = √3: Türev sıfır olduğundan sabittir.
Bire Birlik:
- Bire bir fonksiyonlarda, her x1 ≠ x2 için f(x1) ≠ f(x2) sağlanmalıdır.
- k(x): Sabit olduğundan bire bir değildir. Diğer fonksiyonlar bire birdir.