6. Uygulama
Aşağıdaki soruları cevaplayınız
2. Tablo 1’de a gerçek sayısının bazı değerleri için oluşturulan gerçek sayılarda tanımlı fonksiyonlar verilmiştir. Verilen fonksiyonların bazı x değerleri için aldığı değerleri bularak tabloda ilgili yere örnekteki gibi yazınız.
| Fonksiyon | x = -2 | x = -1 | x = 0 | x = 1 | x = 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| f(x) = x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
| g(x) = 2x | -4 | -2 | 0 | 2 | 4 |
| h(x) = 2(x - 1) | -6 | -4 | -2 | 0 | 2 |
| k(x) = 1/2(x + 1) | -1/2 | 0 | 1/2 | 1 | 3/2 |
| m(x) = 3(x + 2) - 4 | -4 | -1 | 2 | 5 | 8 |
| n(x) = -1/3(x - 3) + 1 | 8/3 | 7/3 | 2 | 5/3 | 4/3 |
3. Tablo 1’de elde ettiğiniz sonuçlar doğrultusunda.....
1 ile aynı
4. 1. maddede oluşturduğunuz varsayımlarla genellemelerinizi karşılaştırarak ....
1 ile aynı
5. Aşağıdaki dik koordinat sisteminde gerçek sayılarda f(x) = x şeklinde tanımlı f doğrusal referans fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Tablo 1’de elde ettiğiniz bilgilerden yararlanarak g, h, k, m ve n fonksiyonlarının grafiklerini aşağıda verilen dik koordinat sisteminde çiziniz. Çizdiğiniz grafikler yardımıyla Tablo 2’yi örnekteki gibi doldurunuz.
| Fonksiyon | Fonksiyonun Sıfırı | Fonksiyonun Grafiğinin y Eksenini Kestiği Noktanın Ordinatı | Fonksiyonu Temsil Eden Doğrunun Eğimi |
|---|---|---|---|
| f(x) | 0 | 0 | 1 |
| g(x) | 0 | 0 | 2 |
| h(x) | -1 | 2 | 2 |
| k(x) | -3 | 1/2 | 1/2 |
| m(x) | -2/3 | -4 | 3 |
| n(x) | 6 | 2 | -1/3 |
6. Çizdiğiniz grafiklerden ve f: R --> R, f(x) = x şeklinde tanımlı f doğrusal referans fonksiyonunun nitel özelliklerinden yararlanarak g: R --> R, g(x) = a(x ± r) ve v: R --> R, v(x) = a(x ± r) ± k şeklinde tanımlı doğrusal fonksiyonların nitel özellikleri (tanım ve görüntü kümeleri, işareti, artanlığı-azalanlığı, maksimum-minimum noktaları, sıfırı ve bire birliği) ile ilgili varsayımlarınızı oluşturunuz.
7. Tablo 3’te verilen gerçek sayılarda tanımlı fonksiyonların nitel özelliklerini bularak tabloda ilgili yere örnekteki gibi yazınız.
| Fonksiyon | Nitel Özellik | Değer |
|---|---|---|
| f(x) = x | Tanım Kümesi | R |
| Görüntü Kümesi | R | |
| İşareti | (-∞, 0) ve (0, ∞) | |
| Sıfır | 0 | |
| Artanlık-Azalanlık | Artan | |
| Maksimum Noktası | Yok | |
| Minimum Noktası | Yok | |
| Bire Birlik | Bire bir | |
| g(x) = 2x | Tanım Kümesi | R |
| Görüntü Kümesi | R | |
| İşareti | (-∞, 0) ve (0, ∞) | |
| Sıfır | 0 | |
| Artanlık-Azalanlık | Artan | |
| Maksimum Noktası | Yok | |
| Minimum Noktası | Yok | |
| Bire Birlik | Bire bir | |
| h(x) = 2(x - 1) | Tanım Kümesi | R |
| Görüntü Kümesi | R | |
| İşareti | (-∞, 1) ve (1, ∞) | |
| Sıfır | 1 | |
| Artanlık-Azalanlık | Artan | |
| Maksimum Noktası | Yok | |
| Minimum Noktası | Yok | |
| Bire Birlik | Bire bir | |
| k(x) = 1/2(x + 1) | Tanım Kümesi | R |
| Görüntü Kümesi | R | |
| İşareti | (-∞, -1) ve (-1, ∞) | |
| Sıfır | -1 | |
| Artanlık-Azalanlık | Artan | |
| Maksimum Noktası | Yok | |
| Minimum Noktası | Yok | |
| Bire Birlik | Bire bir | |
| m(x) = 3(x + 2) - 4 | Tanım Kümesi | R |
| Görüntü Kümesi | R | |
| İşareti | (-∞, -2) ve (-2, ∞) | |
| Sıfır | -2 | |
| Artanlık-Azalanlık | Artan | |
| Maksimum Noktası | Yok | |
| Minimum Noktası | Yok | |
| Bire Birlik | Bire bir | |
| n(x) = -1/3(x - 3) + 1 | Tanım Kümesi | R |
| Görüntü Kümesi | R | |
| İşareti | (-∞, 3) ve (3, ∞) | |
| Sıfır | 3 | |
| Artanlık-Azalanlık | Azalan | |
| Maksimum Noktası | Yok | |
| Minimum Noktası | Yok | |
| Bire Birlik | Bire bir |
8. Tablo 3’te elde ettiklerinizden yararlanarak g: R --> R, g(x) = a(x ± r) ve v: R --> R, v(x) = a(x ± r) ± k şeklinde tanımlı doğrusal fonksiyonların nitel özellikleri ile ilgili genellemelerinizi oluşturunuz.
6. madde ile aynı
9. 6. maddede oluşturduğunuz varsayımlarla genellemelerinizi karşılaştırarak v: R --> R, v(x) = a(x ± r) ± k şeklinde tanımlı v doğrusal fonksiyonunun nitel özellikleri ile ilgili önermelerinizi oluşturunuz.
6. maddede oluşturduğumuz varsayımlar ile genellemeleri karşılaştırarak doğrusal fonksiyonlar için şu önermeleri yapabiliriz:
Fonksiyon v(x) = a(x + t) + k'nın genel özellikleri:
- Tanım kümesi: R, görüntü kümesi: R.
- Sıfır noktası: x = -t.
- Eğer a > 0, fonksiyon artandır; a < 0 ise fonksiyon azalandır.
- Maksimum ve minimum noktaları yoktur.
- Fonksiyon, a ≠ 0 olduğunda bire birdir.
-
Katsayılar ve sabit terimlerin (t, k) değişimi fonksiyonun grafiğini kaydırır, ancak eğim katsayısına (a) bağlı olarak artan ya da azalan niteliği değişmez.
10. Aşağıdaki problemi inceleyerek soruları cevaplayınız.
Bir ofiste çalışanlar, sıfır atık projesine destek vermek amacıyla plastik şişe kullanımının önüne geçmek için iki farklı musluğa su arıtma cihazı taktırmıştır. Su arıtma cihazlarından birim zamanda elde edilen su miktarları sabittir. Birinci musluktan dakikada 1 litre, ikinci musluktan dakikada 2 litre arıtılmış su akmaktadır. Birinci musluk açılarak 19 litrelik bir kaba su doldurulmaya başlanmıştır. Birinci musluk açıldıktan 2 dakika sonra ikinci musluk açılarak aynı hacimde ve başlangıçta içinde 2 litre su bulunan başka bir kaba su doldurulmaya başlanmıştır.
| Zaman (dakika) | Birinci Kap (litre) | İkinci Kap (litre) |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 2 |
| 1 | 1 | 2 |
| 2 | 2 | 2 |
| 3 | 3 | 4 |
| 4 | 4 | 6 |
| 5 | 5 | 8 |
Açıklamalar:
- 0-2 dakika: Sadece birinci musluk çalışıyor. Dakikada 1 litre ekleniyor.
- 3. dakika: İkinci musluk çalışmaya başlıyor. Dakikada 2 litre ekleniyor.
- Tabloya göre, birinci musluk dakikada 1 litre, ikinci musluk ise dakikada 2 litre eklemeye devam ediyor.
1 ve 2. muslukların doldurduğu kaplardaki su miktarları sırasıyla f ve g fonksiyonlarıyla modellensin.
a) f ve g fonksiyonlarının grafiklerini çiziniz.
b) Gerçek sayılarda tanımlı f ve g fonksiyonlarının cebirsel temsillerini oluşturunuz.
c) 2. musluğun 2 dakika sonra açılmasının g fonksiyonuna etkisinin ne olduğunu fonksiyonların grafik ve cebirsel temsillerinden yararlanarak açıklayınız.
2. dakikaya kadar sabit fark olur.
e) f ve g fonksiyonlarının grafiklerinin y eksenini kestiği noktalar ve sıfırları:
f(t) Fonksiyonu:
- Sıfır noktası: f(t) = t fonksiyonu için sıfır noktası t=0'dır. Bu, birinci musluğun 0. dakikada su miktarının 0 litre olduğunu ifade eder.
- y eksenini kestiği nokta: y ekseni (0,0) noktasında kesilir. Bu da birinci musluğun başlangıçtaki durumunu gösterir: su miktarı 0 litre.
g(t) Fonksiyonu:
- Sıfır noktası: g(t) = 2 fonksiyonu, başlangıçta 2 litre su olduğu için sıfır noktası bulunmaz.
- y eksenini kestiği nokta: g(t) fonksiyonu 2. dakikadan önce tanımlı olmadığı için y eksenini kesmez. Ancak, 2. dakikadan itibaren (2,2) noktasında başlar. Bu, ikinci musluğun 2 litre başlangıç miktarını ifade eder.
İlişkilendirme:
- f(t) fonksiyonunun sıfır noktası ve y ekseni kesişimi, birinci musluğun başlangıçtaki durumunu ve su miktarının zamanla artışını ifade eder.
- g(t) fonksiyonunun sıfır noktası olmaması ve (2,2)'de başlaması, ikinci musluğun 2 litre başlangıç avantajına ve 2. dakikada çalışmaya başladığına işaret eder.
f) Ulaştığınız önermelerin problemin çözümünde ne tür bir kolaylık sağladığını açıklayınız.
- Grafik ve cebirsel temsiller:
f(t) ve g(t) fonksiyonlarının grafik ve cebirsel temsilleri, iki musluğun su doldurma hızını ve zamanla dolan su miktarını net bir şekilde anlamamızı sağlar. - Eğim farkları:
Eğimi daha büyük olan g(t) fonksiyonunun daha hızlı dolum sağladığı kolayca belirlenebilir. Bu, hangi musluğun daha etkili olduğu sorularına yanıt verir. - Başlangıç koşulları:
Başlangıçta g(t)'nin 2 litre suya sahip olması, çözümde avantaj sağlar. Kapların dolma süresini karşılaştırırken bu bilgi kritik önem taşır. - Zaman-su ilişkisi:
Zamanla artan su miktarını görselleştirerek, kapların hangi sürede dolacağını belirlemek mümkün olur. - Problemin modellenmesi:
Matematiksel ifadeler ve grafikler, gerçek yaşam problemlerini soyut bir şekilde ifade etme ve çözme kolaylığı sağlar. Bu, özellikle sınıf arkadaşlarıyla tartışarak farklı çözümleri değerlendirme olanağı sunar.
11. Fonksiyonları temsil eden grafikler ve matematik yazılımlarından yararlanma:
Matematik yazılımlarının kullanımı ve doğrulama adımları:
1. Adım: Giriş bölümüne f(x)=a(x+t)+k yazın ve Enter tuşuna basın.
- Bu adımda yazılım, a,t ve k parametrelerine bağlı olarak f(x) fonksiyonunun grafiğini oluşturacaktır.
- Yazılımda kaydırma çubuklarını (sürgüleri) kullanarak a,ta, ta,t ve kkk değerlerini değiştirebilir ve grafikteki etkilerini gözlemleyebilirsiniz.
2. Adım:
- Oluşan sürgüleri sağa veya sola hareket ettirerek fonksiyon parametrelerini değiştirin.
- aaa değerini değiştirerek eğimin nasıl değiştiğini gözlemleyin. Örneğin, a>0 için fonksiyon artan, a<0 için azalan olur.
- ttt ve kkk parametrelerini değiştirerek grafiğin yatay ve dikey kaymalarını inceleyin.
- Bu değişiklikler, fonksiyonun nitel özelliklerini anlamanızı ve doğrulamanızı sağlar.
Sonuç: Bu süreç, oluşturulan önermeleri görselleştirerek doğrulamanızı ve parametrelerin fonksiyon üzerinde nasıl bir etki yaptığını net bir şekilde anlamanızı sağlar. Yazılım araçları, grafiklerin hızlı ve doğru bir şekilde incelenmesini mümkün kılar.
12. Doğrulama yöntemlerinizin kullanışlılık açısından değerlendirilmesi:
Kolaylık ve hız: Matematik yazılımları, grafikleri manuel olarak çizmek yerine hızlı bir şekilde oluşturmayı ve incelemeyi sağlar. Bu, zamandan tasarruf ettirir.
Hata payını azaltma: Manuel çizimde yapılan hatalar yazılımda oluşmaz. Parametrelerin etkilerini doğru bir şekilde gözlemlemek için daha güvenilirdir.
Görselleştirme: Grafiklerin hareketli sürgülerle dinamik olarak incelenmesi, teorik bilgilerin somutlaşmasını sağlar. Öğrencilerin anlayışını artırır.
Öğrenme sürecine katkı: Parametre değişikliklerinin anlık etkilerinin izlenmesi, fonksiyonların davranışlarını daha iyi anlamayı mümkün kılar.