Alıştırmalar
1. Aşağıda cebirsel gösterimi verilen, gerçek sayılarda tanımlı fonksiyonların grafiklerini f: R --> R, f(x) = x şeklinde tanımlı f doğrusal referans fonksiyonunun grafiğine uygun dönüşümleri yaparak çiziniz.
2. Arzu Hanım, aracının lastiğini 32 psi basınçta şişirmiştir. Sonrasında lastik basıncının her gün 2 psi düştüğünü fark etmiştir. Basınç 32 psi’den 14 psi’ye düşene kadar lastiğe müdahale etmemiştir.
a) Zamana (gün) bağlı lastik basıncını (psi) ifade eden doğrusal fonksiyonun tanım ve görüntü kümelerini bularak cebirsel gösterimini yazınız.
Çözüm:
Başlangıç Değeri: Lastik basıncı başlangıçta 32 psi’dir.
Eğim (m): Her gün 2 psi azaldığı için m=−2
Fonksiyonun Genel Denklemi: f(t)=−2t+32
Tanım Kümesi:
Basınç 32 psi’den 14 psi’ye düşünceye kadar geçen süreyi hesaplayalım:
32−14=18 (toplam azalma)
18/2=9 (9 gün)
Tanım kümesi: t∈[0,9]
Görüntü Kümesi:
Lastik basıncı başlangıçta 32, sonunda 14’tür. Bu nedenle: f(t)∈[14,32]
Cebirsel Gösterim:
Fonksiyon: f(t)=−2t+32 t∈ [0,9]
Görüntü kümesi: f(t)∈[14,32]
b) Cebirsel gösterimini yazdığınız fonksiyonun grafiğini f(x)=x fonksiyonunun grafiğine uygun dönüşümler yaparak çiziniz.
3. Okul çantası üreten bir şirketin günlük sabit üretim maliyeti 40.000 Türk Lirası, her bir okul çantasını üretme maliyeti ise 120 Türk Lirasıdır. xxx adet okul çantası üretildiğinde günlük toplam maliyet, [0, 50] aralığında tanımlı mmm doğrusal fonksiyonu ile ifade ediliyor.
Cebirsel Gösterim:
Fonksiyonun genel formu: f(x)=120x+40.000
- Sabit maliyet: 40.000 TL
- Çanta başına maliyet: 120 TL
Tanım Kümesi: x∈[0,50]
Görüntü Kümesi:
- x=0 için f(0) = 40.000
- x=50 için f(50)=120(50)+40.000=46.000
Görüntü kümesi: f(x)∈[40.000,46.000]
Grafik Gösterimi:
- Grafik y-ekseni üzerinde 40.000’den başlar (sabit maliyet).
- Eğimi 120’dir, bu da her üretilen çanta için maliyetin 120 TL arttığını gösterir.
- Grafik x=50’de y=46.000’de sona erer.
Sonuç: Bu grafik doğrusal bir artış gösterir ve toplam maliyetin çanta üretim miktarına bağlı olarak nasıl değiştiğini açık bir şekilde ifade eder.
4. Bir ortamda bulunan belirli bir maddenin kütle veya hacminin maddenin içinde bulunduğu ortamın kütle veya hacmine oranına derişim denir. Bir ilaç, vücutta belirli bir süre boyunca etkili olup zamanla derişimini kaybetmektedir. Zamana (dk.) bağlı olarak ilacın vücuttaki derişim miktarını (mol/kg) modelleyen fonksiyon f:[0,40]→R,f(x)=−0,2x+8 şeklindedir.
b) İlacın vücuttaki derişim miktarının (mol/kg) zamana (dk.) bağlı olarak nasıl değiştiğini fff fonksiyonunun grafiği yardımıyla açıklayınız.
Çözüm:
Fonksiyon f(x)=−0,2x+8 olarak verilmiştir. Bu fonksiyon grafikten şu şekilde açıklanabilir:
Başlangıçta, yani t=0 anında derişim miktarı 8 mol/kg’dır.
Derişim miktarı her dakika 0,2 mol/kg azalır.
- 10. dakikada derişim: f(10)=−0,2(10)+8=6 mol/kg
- 20. dakikada derişim: f(20)=−0,2(20)+8=4 mol/kg
40. dakikada derişim sıfıra ulaşır.
Sonuç: Derişim miktarı doğrusal bir şekilde her dakika azalmaktadır ve 40 dakika sonra tamamen sıfıra düşer.
c) Vücuttaki derişim miktarı sıfıra eşit olduğunda ilacın etkisi tamamen kaybolmaktadır. İlacın etkisinin tamamen kaybolması için gereken zamanı kaç dakika olduğunu bulunuz.
Çözüm: Fonksiyonun sıfıra eşit olduğu zaman şu şekilde bulunur:
f(x) = −0,2x+8=0
0,2x = 8
x = 40
Sonuç: İlacın etkisinin tamamen kaybolması için 40 dakika geçmesi gerekir.
5. Aşağıda bir hava aracının kalkış, seyir ve iniş süreçlerinde zamana (sn.) bağlı olarak yerden yüksekliğini (m) ifade eden f, g ve h doğrusal fonksiyonlarının grafik temsili verilmiştir.
b) İniş sürecinin kalkış sürecine göre daha uzun sürmesi f ve h fonksiyonlarının hangi nitel özellikleri ile açıklanabilir?
İniş sürecinin kalkış sürecine göre daha uzun sürmesi, inişi temsil eden h(x) fonksiyonunun eğiminin (−5/8) kalkış fonksiyonunun (f(x)) eğiminden (5/6) daha küçük olmasından kaynaklanır. Küçük eğim, daha yavaş bir değişim oranını ifade ettiği için iniş daha uzun sürer.