Sayfa 127 Konuya Başlarken Cevapları
Soru 1 Hesap hareketlerinin ekran görüntüsünde yazan sayıların pozitif veya negatif olmasına karşın para miktarının pozitif olması matematikteki hangi kavramla ilişkilendirilebilir?
Cevap 1 Bu durum matematikte mutlak değer kavramı ile ilişkilidir. Mutlak değer, bir sayının sıfıra olan uzaklığını ifade eder ve her zaman pozitif bir sonuç verir. Hesap hareketlerindeki pozitif ve negatif değerler, paranın yatırılması veya çekilmesi durumunu ifade ederken, toplam para miktarının pozitif olması bu kavramla açıklanabilir.
Soru 2 Hesap hareketlerinin ekran görüntüsünde yazan sayıların x olması durumunda hesaba gelen veya hesaptan gönderilen para miktarı cebirsel olarak nasıl ifade edilebilir?
Cevap 2 Hesap hareketlerindeki xxx sayısı:
- Hesaba yatırılan para için +x,
- Hesaptan çekilen para için −x olarak ifade edilebilir.
Toplam para miktarı ise her iki durumda da mutlak değerle temsil edilir ve şu şekilde ifade edilebilir:
∣±x∣ ile toplam para miktarı bulunur.
Soru 3 Hesap hareketlerinin ekran görüntüsünde yazan sayıların bağımsız, para miktarının bağımlı değişken olması hâlinde ifade edilen fonksiyonun cebirsel temsilinin ne olacağını gerekçelerinizle açıklayınız.
Cevap 3 Hesap hareketlerinde yazan sayılar bağımsız değişken, para miktarı ise bağımlı değişkendir. Bu ilişki mutlak değer fonksiyonu ile gösterilir:
g(x)=∣x∣
Burada:
- x: Hesaba yatırılan veya çekilen miktardır.
- g(x): Hesaptaki toplam para miktarını ifade eder.
Mutlak değer fonksiyonu, negatif değerleri pozitife dönüştürdüğü için toplam para miktarının pozitif olmasını sağlar. Bu fonksiyon, ekran görüntüsündeki durumu doğru şekilde yansıtır.
8. Uygulama
Soru 1 - Aşağıdaki görselde deniz seviyesinin altında ve üstünde yer alan A, B, C, D ve E noktaları gösterilmiştir. Deniz seviyesine göre bu noktaların mutlak değerlerini hesaplayınız.
Cevap 1 Noktaların deniz seviyesine göre konumları ve mutlak değerleri:
- A noktası: -2 → |A| = 2
- B noktası: -1 → |B| = 1
- C noktası: 0 → |C| = 0
- D noktası: 3 → |D| = 3
- E noktası: 5 → |E| = 5
Her noktanın mutlak değeri, deniz seviyesinden olan uzaklığını ifade etmektedir.
Sayfa 128 Konuya Başlarken Cevapları
Soru a: Görselde verilen noktaların k doğrusu üzerindeki sayı değerleri ile deniz seviyesine olan uzaklıklarını gösteren tabloyu doldurunuz.
| Nokta | A | B | C | D | E |
| Noktanın Konumunun k Doğrusunda Karşılık Geldiği Sayı | -2 | -3/2 | 4/5 | 3 | 5 |
| Noktanın Deniz Seviyesine Olan Uzaklığı (birim) | 2 | 3/2 | 4/5 | 3 | 5 |
Soru b: Noktaların k doğrusu üzerindeki karşılık geldiği sayılar bağımsız değişken, aynı noktaların deniz seviyesine olan mesafesi bağımlı değişken olsun. Tablo 1’deki değerlerden yararlanarak görsel üzerinde alınan herhangi bir x değerine karşılık gelen bağımsız değişkenlerin cebirsel temsilini yazınız.
Cevap: Bağımlı değişken, bağımsız değişkenin mutlak değerine eşittir. Bu nedenle cebirsel temsil şu şekilde olur: f(x) = |x|
Soru c: Bağımlı ve bağımsız değişkenler arasındaki bu ilişkiyi gerçek sayılarda tanımlı bir fonksiyon olarak ifade ediniz.
Cevap: Bu ilişki, bağımsız değişkenin mutlak değerini alan bir fonksiyon ile ifade edilir. Fonksiyonun tanımı:
g(x) = |x|
Soru 2: Oluşturduğunuz g fonksiyonuna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.
a) Bağımsız değişkenin hangi değeri için bağımlı değişkenin sıfıra eşit olduğunu bulunuz.
Cevap:
- Eğer x ≥ 0 ise g(x) = x, bu durumda bağımlı değişken pozitiftir.
- Eğer x < 0 ise g(x) = -x, bu durumda bağımlı değişken yine pozitiftir.
Sonuç: Mutlak değer fonksiyonu nedeniyle bağımlı değişkenin aldığı değer her zaman pozitiftir.
b) Bağımsız değişkenin hangi aralıklardaki değerleri için bağımlı değişkenin aldığı değerlerin negatif veya pozitif olduğunu bulunuz.
Cevap: Mutlak değer fonksiyonu olan g(x) = |x|, sadece pozitif değer alır. Negatif değer almaz.
c) Bağımsız değişkenin alabileceği en büyük ve en küçük değerleri bulunuz.
Cevap: Bağımlı değişkenin alabileceği en küçük değer 0'dır. Ancak bağımlı değişkenin en büyük değeri yoktur, çünkü g(x) = |x| fonksiyonunda üst sınır bulunmamaktadır.
ç) Bağımsız değişkenin aldığı değer arttıkça veya azaldıkça fonksiyonun aldığı değerlerin nasıl değiştiğini açıklayınız.
Cevap: Eğer x >= 0 ise, bağımsız değişken x arttığında g(x) de artar.
Eğer x < 0 ise, bağımsız değişken x arttığında (yani sıfıra yaklaştığında) g(x) azalır.
d) Bağımsız değişkenin aldığı iki farklı değer için fonksiyonun aldığı değerler aynı olabilir mi? Bu durumu açıklayınız.
Cevap:
- x = 2 için: g(2) = |2| = 2
- x = -2 için: g(-2) = |-2| = 2
Bu durumda, iki farklı bağımsız değişkenin (x = 2 ve x = -2) g fonksiyonunda aynı görüntüsü vardır.
x = 0 için: g(0) = |0| = 0
Bu örnekten görüldüğü üzere, mutlak değer fonksiyonunda pozitif ve negatif aynı büyüklükteki bağımsız değişkenler için aynı sonuç elde edilir. Ancak x = 0 için tek bir görüntü bulunur.
e) g(x) = |x| fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
Cevap: Fonksiyonun grafiği V şeklindedir ve orijin noktasında birleşir. Sol kolda y = -x, sağ kolda ise y = x doğruları üzerinde ilerler.
Sayfa 129 Konuya Başlarken Cevapları
f) f ve g fonksiyonlarının cebirsel ve grafiksel benzerliklerini, farklılıklarını gözlemleyiniz:
- Benzerlik: f fonksiyonunun mutlak değer alınmış hali, g fonksiyonuna eşittir.
Grafiksel Gözlem:
- x > 0 için f ve g fonksiyonlarının grafikleri aynıdır.
- x < 0 için grafikleri x eksenine göre simetriktir.
g) Gözlemlerinizden yola çıkarak g fonksiyonunun nitel özelliklerini tespit ediniz ve Tablo 2ʼyi doldurunuz
| Fonksiyonun Nitel Özellikleri | f(x) = x | g(x) = |x| |
|---|---|---|
| En Geniş Tanım Kümesi | ℝ | ℝ |
| Görüntü Kümesi | ℝ | ℝ⁺ |
| Fonksiyonun Sıfırı | 0 | 0 |
| Fonksiyonun İşareti | (-∞, 0) negatif (0, ∞) pozitif | [0, ∞) pozitif |
| Maksimum Nokta | Yok | Yok |
| Minimum Nokta | Yok | 0 |
| Bire Birliği | Bire bir | Bire bir değil |
| Artan veya Azalan Olduğu Aralıklar | (-∞, ∞) artan | (-∞, 0) azalan (0, ∞) artan |
ğ) Elde ettiğiniz nitel özelliklerden yararlanarak g mutlak değer fonksiyonunun parçalı gösterimine dair çıkarımlarınızı açıklayınız:
Mutlak değer fonksiyonu için x = 0 kritik bir noktadır. Fonksiyonu x > 0 ve x < 0 aralıklarına göre ayırarak parçalı şekilde ifade edebiliriz. Bu şekilde her bir aralığın özellikleri ayrı ayrı değerlendirilir ve fonksiyonun tam tanımı yapılır.
2. g: R → R, g(x) = |x| şeklinde tanımlı fonksiyonda mutlak değerin katsayısı değiştirilerek gerçek sayılarda h(x) = -|x| şeklinde tanımlı mutlak değer fonksiyonu oluşturuluyor. h fonksiyonuna göre:
a) Bağımsız değişkenin hangi değeri için bağımlı değişkenin sıfıra eşit olduğunu bulunuz.
Cevap: Bağımlı değişkenin sıfıra eşit olması durumu, fonksiyonun sıfır yaptığı noktaları ifade eder:
h(x) = -|x| = 0 olması için mutlak değerli ifade |x| = 0 olmalıdır.
|x| = 0 eşitliği yalnızca x = 0 için sağlanır.
Sonuç: Bağımsız değişken olan x, yalnızca x = 0 olduğunda bağımlı değişken sıfıra eşittir.
b. Bağımsız değişkenin hangi aralıklardaki değerleri için bağımlı değişkenin aldığı değerlerin negatif veya pozitif olduğunu belirtiniz.
Cevap:
- x > 0 için: h(x) = -|x| = -x, bu durumda h(x) < 0, yani bağımlı değişken negatiftir.
- x < 0 için: h(x) = -|x| = x, bu durumda h(x) < 0, yani bağımlı değişken yine negatiftir.
Sonuç: Bağımlı değişken, tüm gerçek sayılar kümesinde (0 hariç) negatiftir.
c. Bağımsız değişkenin alabileceği en büyük veya en küçük değerlerin kaç olduğunu açıklayınız.
- En küçük değer: yoktur (negatif sonsuza kadar gider).
- En büyük değer: 0.
ç. Bağımsız değişkenin aldığı değerler arttıkça fonksiyonun aldığı değerlerin nasıl değiştiğini belirtiniz.
Cevap:
x < 0 için:
- h(x) = -|x| formülüne göre bağımsız değişken arttıkça h(x) artar.
- Örneğin: h(-3) = -3, h(-2) = -2 → artış var.
x ≥ 0 için:
- h(x) = -|x| formülüne göre bağımsız değişken arttıkça h(x) azalır.
- Örneğin: h(2) = -2, h(3) = -3 → azalış var.
d. Bağımsız değişkenin aldığı iki farklı değer için fonksiyonun aldığı değerlerin birbirinden farklı olup olmadığını belirtiniz.
Cevap:
x = -5 için:
- h(-5) = -|x| = -|-5| = -5.
x = 5 için:
- h(5) = -|x| = -|5| = -5.
Sonuç: İki farklı değerin (x = -5 ve x = 5) h fonksiyonundaki görüntüsü aynıdır.
Bu durum, bağımsız değişkenin tüm değerleri için geçerlidir, çünkü mutlak değer fonksiyonunda pozitif ve negatif simetrik değerler aynı sonucu verir.
Sayfa 130 Konuya Başlarken Cevapları
f) f ve h fonksiyonlarının cebirsel ve grafiksel benzerliklerini, farklılıklarını gözlemleyiniz:
Benzerlikler:
- f fonksiyonunun negatif değerlerinin mutlak değeri, h fonksiyonunun görüntüsünü verir.
- x > 0 için grafikler aynıdır.
Farklılıklar: x < 0 için grafikler x eksenine göre simetriktir.
| Fonksiyonun Nitel Özellikleri | f(x) = x | h(x) = -|x| |
|---|---|---|
| En Geniş Tanım Kümesi | R | R |
| Görüntü Kümesi | R | (-∞, 0] |
| Fonksiyonun Sıfırı | 0 | 0 |
| Fonksiyonun İşareti | (-∞, 0) → Negatif (0, ∞) → Pozitif | R - {0} → Negatif |
| Maksimum Nokta | Yok | 0 |
| Minimum Nokta | Yok | Yok |
| Bire Birliği | Bire bir | Bire bir değil |
| Artan veya Azalan Olduğu Aralıklar | (-∞, ∞) → Artan | (-∞, 0) → Artan (0, ∞) → Azalan |
f. Elde ettiğiniz nitel özelliklerden yararlanarak h mutlak değer fonksiyonunun parçalı gösterimine dair çıkarımlarınızı açıklayınız.
Cevap: h(x) fonksiyonu mutlak değer özelliklerine göre parçalı olarak şu şekilde tanımlanır:
- h(x) = x, x ≤ 0 için.
- h(x) = -x, x > 0 için.
Bu tanımlama, mutlak değerin pozitif ve negatif değerler üzerindeki etkisini ifade eder. Negatif değerler için mutlak değer, sayının işaretini değiştirerek pozitif hale getirir. Pozitif değerlerde ise sayı aynen alınır. Bu özellikler, h(x) fonksiyonunun parçalı tanımını oluşturur.
Araştırma Ödevi
Mutlak Değer Fonksiyonu ile Gerçek Yaşamdan Örnek: Asansör Kat Uzaklığı
Durum:
Bir asansör, zemin katın altında ve üstünde bulunan katlara hareket etmektedir. Asansörün bulunduğu kat ile zemin kat arasındaki mesafeler mutlak değer fonksiyonu yardımıyla ifade edilebilir.
1. Bağımlı ve Bağımsız Değişkenler:
- Bağımsız Değişken (x): Asansörün bulunduğu kat (pozitif ve negatif olabilir).
- Bağımlı Değişken (h(x)): Zemin kattan uzaklık.
2. Örnek Tablo:
| Bulunduğu Kat (x) | Zemin Kat Uzaklığı (h(x)) |
|---|---|
| -2 | 2 |
| -1 | 1 |
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
3. Fonksiyonun Cebirsel Temsili:
Asansörün zemin kattan uzaklığı mutlak değer fonksiyonu ile ifade edilir:
- h(x) = |x|
Bu fonksiyon, bulunduğu katın (x) pozitif veya negatif olmasına bakmaksızın zemin kattan olan uzaklığı verir.
4. Fonksiyonun Grafiği:
- Eğer x > 0 ise (asansör zemin katın üstündeyse):
h(x) = x - Eğer x < 0 ise (asansör zemin katın altındaysa):
h(x) = -x
Bu grafik, "V" şeklinde bir yapıya sahiptir ve simetri ekseni y = 0'dır.
5. Tanım ve Değer Aralıkları:
- Tanım Kümesi: Reel sayılar (x∈Rx \in Rx∈R)
- Değer Kümesi: Sıfır ve pozitif sayılar (h(x)≥0h(x) \geq 0h(x)≥0)
Sonuç:
Bu örnek, mutlak değer fonksiyonunun günlük yaşamda nasıl kullanıldığını açık bir şekilde göstermektedir. Asansörün bulunduğu kat ile zemin kattan uzaklığı arasındaki ilişki, fonksiyonel bir yapıyla ifade edilmiş ve grafiği ile desteklenmiştir. Bu tür bir modelleme, hem matematiksel hem de pratik anlamda anlaşılır bir çözüm sunmaktadır.