16. Uygulama Cevapları
Sayı Kümelerinin Sıralama Özelliklerini İnceleme
Aşağıdaki soruları cevaplayınız
1. Soru:
Doğal sayılar (N), tam sayılar (Z), rasyonel sayılar (Q) ve gerçek sayılar (R) kümelerinde sıralama ile ilgili hangi özelliklerin olduğu söylenebilir?
Cevap:
- Doğal sayılar (N): Doğal sayılar sıralanabilir. Bu küme içerisinde bir sayı, bir diğerinden küçük ya da büyük olabilir. Pozitif ve sıfırdan oluşur, bu nedenle sıralama her zaman pozitiftir veya sıfırdır.
- Tam sayılar (Z): Tam sayılar hem pozitif hem de negatif sayılar içerir, dolayısıyla sıralama zıt işaretli sayılar arasında mümkündür.
- Rasyonel sayılar (Q): Rasyonel sayılar, kesirli ifadelerle sıralanabilir. Pozitif ve negatif rasyonel sayılar arasında sıralama yapılabilir.
- Gerçek sayılar (R): Gerçek sayılar kümesi sıralanabilir. Bu küme, tüm reel sayıları kapsar ve sıralama yapılabilir.
2. Soru:
Tabloda gerçek sayılar kümesinin sıralama özellikleri verilmiştir. Her sayı kümesi için sıralama özelliklerinin geçerli olup olmadığını tabloda belirleyip, örneklerle gösteriniz.
Tablo: Sayı Kümelerinin Sıralama Özellikleri
| Sıralama Özelliği | N | Z | Q | R |
|---|---|---|---|---|
| a ≤ a | 3 ≤ 3 | -2 ≤ -2 | 2/5 ≤ 2/5 | √5 ≤ √5 |
| a ≤ b veya b ≤ a | 3 ≤ 5 veya 5 ≤ 3 | -2 ≤ -1 veya -1 ≤ -2 | 2/5 ≤ 3/5 veya 3/5 ≤ 2/5 | √5 ≤ √7 veya √7 ≤ √5 |
| a ≤ b ve b ≤ a ise a = b dir. | 3 ≤ 3 ve 3 ≤ 3 ise 3 = 3 | -2 ≤ -2 ve -2 ≤ -2 ise -2 = -2 | 2/5 ≤ 2/5 ve 2/5 ≤ 2/5 ise 2/5 = 2/5 | √5 ≤ √5 ve √5 ≤ √5 ise √5 = √5 |
| a ≤ b ve b ≤ c ise a ≤ c dir. | 3 ≤ 5 ve 5 ≤ 7 ise 3 ≤ 7 | -2 ≤ -1 ve -1 ≤ 0 ise -2 ≤ 0 | 2/5 ≤ 3/5 ve 3/5 ≤ 4/5 ise 2/5 ≤ 4/5 | √5 ≤ √7 ve √7 ≤ √9 ise √5 ≤ √9 |
| a ≤ b ise a + c ≤ b + c dir. | 3 ≤ 5 ise 3 + 1 ≤ 5 + 1 | -2 ≤ -1 ise -2 + 2 ≤ -1 + 2 | 2/5 ≤ 3/5 ise 2/5 + 1/5 ≤ 3/5 + 1/5 | √5 ≤ √7 ise √5 + 1 ≤ √7 + 1 |
| a ≤ b ve 0 ≤ c ise a * c ≤ b * c dir. | 3 ≤ 5 ve 0 ≤ 2 ise 3 * 2 ≤ 5 * 2 | -2 ≤ -1 ve 0 ≤ 2 ise -2 * 2 ≤ -1 * 2 | 2/5 ≤ 3/5 ve 0 ≤ 1/5 ise (2/5) * (1/5) ≤ (3/5) * (1/5) | √5 ≤ √7 ve 0 ≤ 2 ise √5 * 2 ≤ √7 * 2 |
| a ≤ b ve c < 0 ise a * c ≥ b * c dir. | 3 ≤ 5 ve c < 0 ise 3 * -2 ≥ 5 * -2 | -2 ≤ -1 ve c < 0 ise -2 * -1 ≥ -1 * -1 | 2/5 ≤ 3/5 ve c < 0 ise (2/5) * (-1) ≥ (3/5) * (-1) | √5 ≤ √7 ve c < 0 ise √5 * -2 ≥ √7 * -2 |
| a < b ise 1/a > 1/b dir. | Geçerli değil | -2 < -1 ise 1/-2 > 1/-1 | 2/5 < 3/5 ise 1/(2/5) > 1/(3/5) | √5 < √7 ise 1/√5 > 1/√7 |
| 0 < a < b ise an < b^n dir. (n ∈ Z⁺) | 2 < 3 ise 2² < 3² | -2 < -1 ise (-2)² < (-1)² | 2/5 < 3/5 ise (2/5)² < (3/5)² | √5 < √7 ise (√5)² < (√7)² |
Açıklamalar:
- N: Doğal sayılar (örnekler: 3 ≤ 3, 3 ≤ 5, 0 < 2 < 3).
- Z: Tam sayılar (örnekler: -2 ≤ -2, -2 ≤ -1, -2 < -1).
- Q: Rasyonel sayılar (örnekler: 2/5 ≤ 2/5, 2/5 ≤ 3/5, 0 < 2/5 < 3/5).
- R: Gerçek sayılar (örnekler: √5 ≤ √5, √5 ≤ √7, 0 < √5 < √7).
Bu tablo, sayı kümelerinin sıralama özelliklerinin nasıl çalıştığını gösteren doğru örneklerle doldurulmuştur.
3. Soru: Tabloda elde ettiğiniz sonuçlardan yararlanarak N, Z, Q ve R kümelerinin sıralama özellikleriyle ilgili genellemelerinizi oluşturunuz.
- N (Doğal Sayılar): Doğal sayılarda sıralama her zaman geçerlidir. Sayılar arasında sıralama yapılabilir çünkü her doğal sayı ya bir diğerinden büyüktür ya da eşittir. Negatif sayılar doğal sayılarda bulunmaz.
- Z (Tam Sayılar): Tam sayılar hem pozitif hem de negatif değerler içerir, dolayısıyla sıralama hem negatif hem de pozitif sayılar arasında yapılabilir. Negatif tam sayılar pozitif tam sayılardan küçüktür.
- Q (Rasyonel Sayılar): Rasyonel sayılar (kesirler) arasında sıralama yapılabilir. Rasyonel sayılar arasında sıralama özellikleri geçerlidir ve her iki kesirli sayı büyüklüklerine göre sıralanabilir.
- R (Gerçek Sayılar): Gerçek sayılar tüm reel sayıları kapsar. Bu nedenle rasyonel ve irrasyonel sayılar da dahil edilerek sıralama yapılabilir. Her reel sayı sıralanabilir.
4. Soru: Varsayımlarınızla genellemelerinizi karşılaştırarak N, Z, Q ve R kümelerinin sıralama özelliklerine dair önermelerinizi oluşturunuz.
- N (Doğal Sayılar): Doğal sayılarda sıralama doğaldır ve sadece pozitif veya sıfır değer alır. Sayılar ya birbirine eşittir ya da sıralama ile ifade edilebilir.
- Z (Tam Sayılar): Tam sayılarda pozitif ve negatif değerler sıralanabilir. Negatif tam sayılar her zaman pozitif tam sayılardan küçüktür. Örneğin, -2 < 0 < 3.
- Q (Rasyonel Sayılar): Rasyonel sayılar arasında sıralama kesirlerin büyüklüğüne göre yapılabilir. Kesirlerin payları ve paydaları dikkate alınarak sıralama yapılır.
- R (Gerçek Sayılar): Reel sayılarda hem rasyonel hem de irrasyonel sayılar arasında sıralama yapılabilir. Bu sıralama reel sayılar kümesinin tamamı için geçerlidir.
5. Soru: A, B ve C bitkilerinin boyları (cm) ile ilgili aşağıdaki bilgiler veriliyor:
- A bitkisinin boyu, C bitkisinin boyundan uzundur.
- B bitkisinin boyu A bitkisine eşit veya C bitkisinin boyundan kısadır.
a) A, B ve C bitkilerinin boylarını karşılaştırarak aralarındaki ilişkiyi eşitsizlik sembolleriyle ifade ediniz.
- A > C
- B ≤ A ve B ≤ C
Bu ifadeye göre, A bitkisinin boyu C'den büyük, B bitkisinin boyu ise hem A'dan küçük veya eşit, hem de C'den küçük veya eşit olabilir.
b) A, B ve C bitkilerinin boyları (cm), hangi sayı kümelerinin elemanı olabilir? Üç bitkinin boyları arasındaki ilişkiler, sayı kümelerinin hangi sıralama özellikleriyle açıklanabilir?
- A, B ve C bitkilerinin boyları doğal sayılar (N), tam sayılar (Z) veya rasyonel sayılar (Q) kümelerinin elemanı olabilir. Örneğin, bir bitkinin boyu tam sayı veya kesirli bir değer olabilir.
- Üç bitkinin boyları arasındaki ilişkiler, bu sayı kümelerinin sıralama özellikleriyle açıklanabilir. Bu özellikler doğal sayılarda, tam sayılarda ve rasyonel sayılarda geçerlidir. Örneğin, A > C ve B ≤ A durumu bu sayı kümelerinde sıralama özellikleri ile açıklanabilir.
6. Soru: Oluşturduğunuz önermeleri matematiksel olarak doğrulayınız. Doğrulama yöntemlerinizi sınıf arkadaşlarınızın kullandığı yöntemlerle karşılaştırarak kullanışlılık açısından değerlendiriniz.
- Matematiksel doğrulama: A > C ve B ≤ A ve B ≤ C eşitsizlikleri doğru sıralama ilişkilerini ifade eder. Bu önermeler matematiksel olarak doğru kabul edilir. Örneğin, eğer A'nın boyu 150 cm, C'nin boyu 140 cm ve B'nin boyu 145 cm ise bu ilişkiler geçerlidir.
- Kullanışlılık değerlendirmesi: Bu tür sıralama ilişkileri günlük hayatta karşılaştırma yaparken kullanılır. Örneğin, farklı yükseklikteki bitkilerin sıralanması veya farklı uzunlukların karşılaştırılması. Sınıf arkadaşlarınızın yöntemleri de benzer şekilde bu sıralama ilişkileriyle doğrulanabilir. Bu tür sıralama ve karşılaştırma problemleri gerçek hayatta pratik sonuçlar sağlar.