9. Sınıf Matematik 1. Ders Kitabı Sayfa 62-63 Cevapları Meb Yayınları

17. Uygulama Cevapları

Sayı Kümelerinin Arada Olma Özelliğini İnceleme
Aşağıdaki soruları cevaplayınız.

1. Soru: Doğal sayılar (N), tam sayılar (Z), rasyonel sayılar (Q) ve gerçek sayılar (R) kümelerinde arada olma özelliği ile ilgili varsayımlarınızı oluşturunuz.

• N (Doğal Sayılar): Doğal sayılar arasında ardışık iki sayı arasında başka bir doğal sayı bulunmaz. Bu yüzden arada olma özelliği sınırlıdır.
• Z (Tam Sayılar): Tam sayılarda da ardışık iki tam sayı arasında başka bir tam sayı bulunmaz. Dolayısıyla arada olma özelliği sınırlıdır.
• Q (Rasyonel Sayılar): Rasyonel sayılar arasında iki sayı arasında her zaman başka rasyonel sayılar bulunur. Bu yüzden arada olma özelliği sonsuzdur.
• R (Gerçek Sayılar): Gerçek sayılar arasında da iki sayı arasında her zaman başka bir gerçek sayı bulunabilir. Bu nedenle arada olma özelliği sonsuzdur.

2. Soru: Tabloda N, Z, Q ve R kümelerindeki bazı elemanlar verilmiştir. Sayı kümelerine ait elemanların arasında o sayı kümesine ait başka bir eleman var ise yazınız ve tabloyu örnekteki gibi doldurunuz.

Açıklama:

• Doğal sayılar (N): İki ardışık doğal sayı arasında başka doğal sayılar bulunmaz (örneğin 45 ile 46 arasında doğal bir sayı yoktur). Ancak daha geniş aralıklarda (örneğin 1 ile 3 arasında) başka doğal sayılar bulunabilir.
• Tam sayılar (Z): Benzer şekilde, iki ardışık tam sayı arasında başka bir tam sayı yoktur, ancak geniş aralıklarda arada başka tam sayılar bulunabilir (örneğin -11 ile 1 arasında 0 bulunur).
• Rasyonel sayılar (Q): Rasyonel sayılar arasında her iki sayı arasında her zaman bir başka rasyonel sayı bulunabilir (örneğin 1/8 ile 1/4 arasında 3/16).
• Gerçek sayılar (R): Gerçek sayılar arasında da her iki sayı arasında sonsuz sayıda başka gerçek sayı bulunabilir (örneğin 2 ile 3 arasında 2.5 bulunur).

Bu şekilde, aradaki sayı örnekleri her sayı kümesine uygun olarak düzeltilmiştir.

3. Soru: Tabloda elde ettiğiniz sonuçlardan yararlanarak verilen sayı kümelerinde arada olma özelliği ile ilgili genellemelerinizi oluşturunuz.

Sayı kümelerinde arada olma özelliği şu şekildedir:

• N (Doğal Sayılar): Doğal sayılarda iki ardışık sayı arasında başka bir doğal sayı bulunmaz. Örneğin, 3 ve 4 arasında doğal bir sayı yoktur.
• Z (Tam Sayılar): Tam sayılarda da ardışık sayılar arasında başka bir tam sayı bulunmaz. Örneğin, -2 ve -1 arasında başka bir tam sayı yoktur.
• Q (Rasyonel Sayılar): Rasyonel sayılarda iki sayı arasında her zaman sonsuz sayıda rasyonel sayı bulunur. Örneğin, 1/2 ve 1 arasında birçok kesirli sayı vardır.
• R (Gerçek Sayılar): Gerçek sayılarda da iki sayı arasında sonsuz sayıda başka gerçek sayı bulunabilir. Örneğin, √2 ile √3 arasında birçok gerçek sayı vardır.

4. Soru: Varsayımlarınızla genellemelerinizi karşılaştırarak N, Z, Q ve R kümelerinin arada olma özelliğine dair önermelerinizi oluşturunuz.

• N (Doğal Sayılar): Arada olma özelliği sınırlıdır. İki ardışık doğal sayı arasında başka doğal sayı yoktur.
• Z (Tam Sayılar): Benzer şekilde, tam sayılar arasında da ardışık sayılar arasında başka tam sayı bulunmaz.
• Q (Rasyonel Sayılar): Arada olma özelliği sonsuzdur. Her iki rasyonel sayı arasında sonsuz sayıda başka rasyonel sayı vardır.
• R (Gerçek Sayılar): Gerçek sayılar da sonsuz arada olma özelliği taşır. Her iki gerçek sayı arasında başka gerçek sayılar bulunur.

5. Soru: Dünyanın en ağır kitaplarından birisinin kütlesi 8 kg ile 9 kg arasındadır. Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a) Kitabın kütlesi (kg) doğal sayı veya tam sayı olabilir mi? Nedenleriyle açıklayınız.

Cevap: Kitabın kütlesi doğal sayı veya tam sayı olamaz, çünkü kütle 8 kg ile 9 kg arasında olduğundan kesirli bir sayı olmak zorundadır. Doğal sayılar ve tam sayılar kesirli değerleri içermez.

b) Kitabın kütlesi (kg) rasyonel sayı veya gerçek sayı olarak ifade edilebilir mi? Nedenleriyle açıklayınız.

Cevap: Evet, kitabın kütlesi rasyonel veya gerçek sayı olarak ifade edilebilir. Çünkü 8 kg ile 9 kg arasındaki herhangi bir değer rasyonel veya reel bir sayı olabilir. Örneğin, kitabın kütlesi 8.5 kg olabilir.

c) Kitabın kütlesinin (kg) bazı sayı kümeleri ile ifade edilip bazı sayı kümeleri ile ifade edilememesi bu sayı kümelerinin hangi özelliği ile ilişkilidir?

Cevap: Bu durum, sayı kümelerinin arada olma özelliği ile ilgilidir. Doğal ve tam sayılarda arada olma özelliği sınırlıdır, ancak rasyonel ve gerçek sayılarda arada olma özelliği sonsuzdur. Bu nedenle kitabın kütlesi kesirli olduğu için doğal veya tam sayı ile ifade edilemez, ancak rasyonel veya gerçek sayılarla ifade edilebilir.

6. Soru: Oluşturduğunuz önermeleri matematiksel olarak doğrulayınız ve doğrulama yöntemlerinizi kullanışlılık açısından değerlendiriniz.

Cevap: Matematiksel doğrulama, arada olma özelliğinin her sayı kümesinde farklı olduğunu gösterir. Rasyonel ve gerçek sayılar kümesinde arada sonsuz sayıda sayı bulunabilirken, doğal ve tam sayılarda bu özellik sınırlıdır. Bu nedenle, arada olma özelliği sayı kümelerinin sonsuzluk yapısını açıklar. Doğal ve tam sayılarda ardışık sayılar arasında başka sayı bulunmazken, rasyonel ve reel sayılarda iki sayı arasında her zaman başka sayılar bulunur. Bu doğrulama, arada olma özelliğinin sayılar arasındaki farkları anlamada kullanışlı olduğunu göstermektedir.