18. Uygulama Cevapları
Sayı Kümelerinin Dört İşleme Göre Kapalılığını İnceleme
Aşağıdaki soruları cevaplayınız.
1. Soru: N, Z, Q, Q-{0}, R ve R-{0} kümelerinden alınan herhangi iki eleman ile yapılan bir işlemin (toplama, çıkarma, çarpma, bölme) sonucunun aynı kümenin elemanı olup olmaması durumu ile ilgili varsayımlarımızı oluşturunuz.
- N (Doğal Sayılar): Toplama ve çarpma işlemleri doğal sayılar kümesi için kapalıdır, ancak çıkarma ve bölme işlemleri kapalı değildir. Örneğin, 4 - 7 = -3 doğal sayı değildir ve 4 ÷ 7 doğal sayı değildir.
- Z (Tam Sayılar): Toplama, çıkarma ve çarpma işlemleri tam sayılar kümesinde kapalıdır. Bölme işlemi ise kapalı değildir, çünkü tam sayılar arasındaki bölme işlemi her zaman bir tam sayı vermez (örneğin, 7 ÷ 2 bir tam sayı değildir).
- Q (Rasyonel Sayılar): Toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemleri rasyonel sayılar kümesinde kapalıdır (sıfır hariç). Çünkü rasyonel sayılar arasında yapılan tüm bu işlemler rasyonel sonuçlar verir.
- R (Gerçek Sayılar): Tüm işlemler gerçek sayılar kümesi için kapalıdır (bölme işlemi sıfır hariç).
2. Soru: Tabloda verilen her bir küme için bu kümeye ait herhangi iki eleman seçiniz. Seçtiğiniz elemanlarla toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerini yaparak tabloyu doldurunuz.
| Küme | Elemanlar | Toplama | Çıkarma | Çarpma | Bölme |
|---|---|---|---|---|---|
| N | 4 ve 7 | 4 + 7 = 11 ∈ N | 4 - 7 = -3 ∉ N | 4 * 7 = 28 ∈ N | 4 ÷ 7 = 0.57 ∉ N |
| Z | -2 ve 5 | -2 + 5 = 3 ∈ Z | -2 - 5 = -7 ∈ Z | -2 * 5 = -10 ∈ Z | -2 ÷ 5 = -0.4 ∉ Z |
| Q | 1/2 ve 3/4 | 1/2 + 3/4 = 5/4 ∈ Q | 1/2 - 3/4 = -1/4 ∈ Q | 1/2 * 3/4 = 3/8 ∈ Q | 1/2 ÷ 3/4 = 2/3 ∈ Q |
| Q - {0} | 2/5 ve 3/5 | 2/5 + 3/5 = 1 ∈ Q | 2/5 - 3/5 = -1/5 ∈ Q | 2/5 * 3/5 = 6/25 ∈ Q | 2/5 ÷ 3/5 = 2/3 ∈ Q |
| R | √2 ve 3 | √2 + 3 ∈ R | √2 - 3 ∈ R | √2 * 3 ∈ R | √2 ÷ 3 ∈ R |
| R - {0} | 5 ve √2 | 5 + √2 ∈ R | 5 - √2 ∈ R | 5 * √2 ∈ R | 5 ÷ √2 ∈ R |
3. Soru: N, Z, Q, Q-{0}, R ve R-{0} kümelerinin kapalılık özelliği ile ilgili genellemelerinizi oluşturunuz.
- N (Doğal Sayılar): Doğal sayılar kümesinde toplama ve çarpma işlemleri kapalıdır. Ancak çıkarma ve bölme işlemleri kapalı değildir.
- Z (Tam Sayılar): Tam sayılar kümesi toplama, çıkarma ve çarpma işlemleri için kapalıdır, ancak bölme işlemi için kapalı değildir.
- Q (Rasyonel Sayılar): Rasyonel sayılar toplama, çıkarma, çarpma ve sıfır hariç bölme işlemleri için kapalıdır.
- R (Gerçek Sayılar): Gerçek sayılar toplama, çıkarma, çarpma ve sıfır hariç bölme işlemleri için kapalıdır.
4. Soru: Varsayımlarınızla genellemelerinizi karşılaştırarak N, Z, Q, Q-{0}, R ve R-{0} kümelerinin kapalılık özelliğine dair önermelerinizi oluşturunuz.
Cevap: Varsayımlarımız ve genellemelerimiz birbirini destekler. Doğal sayılarda toplama ve çarpma işlemlerinde kapalılık vardır, ancak çıkarma ve bölme işlemlerinde kapalılık yoktur. Tam sayılar toplama, çıkarma ve çarpma işlemlerinde kapalıdır, fakat bölme işlemi kapalı değildir. Rasyonel sayılar ve gerçek sayılar toplama, çıkarma, çarpma ve sıfır hariç bölme işlemleri için kapalıdır.
5. Soru: Oluşturduğunuz önermeler yardımıyla aşağıda verilen problemi çözünüz. Önermelerin problemin çözümünde ne tür kolaylıklar sağladığını ve başka hangi problem durumlarında kullanılabileceğini yazınız.
Cevap: Problemin çözümü için kümelerin kapalılık özelliklerini kullanabiliriz. Örneğin, gerçek sayılar kümesi toplama, çıkarma, çarpma ve sıfır hariç bölme işlemleri için kapalıdır. Bu nedenle, gerçek sayılardan oluşan bir küme ile çalışırken, bu işlemler sonucunda yine bir gerçek sayı elde edeceğimizden emin olabiliriz. Diğer kümelerde bu özelliklerin sınırlı olması, hangi işlemler için kapalı olup olmadığını anlamada yardımcı olur.
6. Soru: Oluşturduğunuz önermeleri matematiksel olarak doğrulayınız ve doğrulama yöntemlerinizi kullanışlılık açısından değerlendiriniz.
Cevap: Matematiksel doğrulama, her kümenin özelliklerine göre yapılır. Doğal ve tam sayılar için yapılan işlemlerde kapalılık özelliklerini incelemek için sayısal örnekler kullanılır. Rasyonel ve gerçek sayılarda yapılan işlemlerin sonucunda yine rasyonel veya gerçek sayılar elde edildiğinden kapalılık özelliği doğrulanır. Bu doğrulama yöntemi, hangi işlemler için hangi kümelerin kapalı olduğunu hızlıca anlamamızı sağlar.