Alıştırmalar
1. Bir yüzme yarışmasında farklı yaş gruplarında en hızlı yüzen üç yüzücünün kronometre ile elde edilen yarışı tamamlama süreleri aşağıdaki tabloda verilmiştir.
a) 18-25 yaş aralığındaki yüzücülerden birinci olanı belirlemek için gerçek sayılarda sıralamanın özelliklerinden hangisinin kullanılabileceğini bulunuz.
Cevap: Gerçek sayılarda sıralama için büyüklük sırası kullanılır. Bu yüzücüler arasındaki sıralama, tamamladıkları sürelerin büyüklüğüne göre yapılır. En küçük süreye sahip olan yüzücü birinci olur. Buna göre Barış 57,32 saniye ile birinci olur.
Sıralama işlemi yapılır ve en küçük değer birinci olur. a ≤ b ve b ≤ c ise a ≤ c özelliği kullanılır.
b) 18-25 yaş aralığındaki yüzücülerin her biri yarışı ikişer saniye geç tamamlansaydı sıralama değişir miydi? Bu durumu gerçek sayılarda sıralamanın hangi özelliği ile açıklanabilir?
Cevap: İkişer saniye eklenmesi durumunda sıralama değişmez, çünkü sıralama gerçek sayılarda dengeli artış özelliğine bağlıdır. Herkesin süresi aynı miktarda artarsa, sıralama aynı kalır.
c: 26-35 yaş aralığındaki yüzücülerin dereceleri arasında sadece saniyeler dikkate alınsaydı sıralamanın nasıl değişeceğini açıklayınız.
Cevap:Saniyelerle işlem yapılırsa sıralamada üçüncü sıradaki yüzücünün sırası aynı olurdu.
ç: 36-45 yaş aralığındaki yüzücülerin dereceleri yardımıyla “a ≤ b ve b ≤ c ise a ≤ c” özelliğini doğrulayınız. Doğrulama sırasında 1, 2 ve 3. olan sporcuların derecelerinin cebirsel temsillerinin yapılıp yapılmayacağını açıklayınız.
Cevap: "a ≤ b ve b ≤ c ise a ≤ c" özelliği doğrulanır çünkü, örneğin, Engin ≤ Uğur ≤ Esra olduğu için bu özellik geçerlidir. Cebirsel temsiller kullanılabilir çünkü bu durum, derecelerin karşılaştırılmasında matematiksel sıralama kurallarına uygun olur.
2. Soru: Herhangi iki farklı irrasyonel sayının arasında yer alan beş tane irrasyonel sayı bulunuz. Bulduğunuz sayıların arasında başka irrasyonel sayılar olup olmadığını inceleyiniz.
Cevap: Örneğin, √2 ve √3 irrasyonel sayıları arasına yerleştirebileceğiniz irrasyonel sayılar şunlar olabilir: √2,1, √2,2, √2,3, √2,4, √2,5. İki irrasyonel sayı arasında sonsuz sayıda irrasyonel sayı bulunur.
3. Soru: Soru: A = {x | x = 2 * k + 1, k ∈ Z} kümesinin dört işleme göre kapalı olup olmadığını inceleyiniz.
- Toplama: İki tek sayının toplamı çift sayı olacağından toplama işlemine göre kapalı değildir.
- Çıkarma: İki tek sayının farkı çift sayı olacağından çıkarma işlemine göre de kapalı değildir.
- Çarpma: İki tek sayının çarpımı tek sayı olduğundan çarpma işlemine göre kapalıdır.
- Bölme: İki tek sayının bölümü genellikle tam sayı olmadığı için bölme işlemine göre kapalı değildir.