21. Uygulama
Sayı Kümelerinin İşlem Özellikleri
Aşağıdaki soruları cevaplayınız.
1. a) Tablo 1ʼde verilen toplama ve çarpma işlemlerinin sonuçlarını bulunuz.
Toplama İşlemi Tablosu:
| İşlem | Sonuç |
|---|---|
| 3√5 + (-√5) | 2√5 |
| (-√5) + 3√5 | 2√5 |
| 1/2 + (-3) | -5/2 |
| (-3) + 1/2 | -5/2 |
| (-2√6) + (-3√6) | -5√6 |
| (-3√6) + (-2√6) | -5√6 |
Çarpma İşlemi Tablosu:
| İşlem | Sonuç |
|---|---|
| 3√5 · (-√5) | -15 |
| (-√5) · 3√5 | -15 |
| 1/3 · (-2) | -2/3 |
| (-2) · 1/3 | -2/3 |
| (-2√6) · (-√2) | 2√12 |
| (-√2) · (-2√6) | 2√12 |
b) Aynı satırdaki işlemlerde toplanan veya çarpılan sayıların yerlerinin değişmesi, sonuçları değiştirmiş midir? Açıklayınız.
Cevap: İfadelerin yer değiştirmesi sonucu değiştirmiyor. Çünkü toplama ve çarpmada değişme özelliği vardır.
2. a) Tablo 2ʼde verilen toplama ve çarpma işlemlerinin sonuçlarını bulunuz.
| Toplama İşlemi | Çarpma İşlemi |
|---|---|
| 3√5 + (√5 + 2√5) = 6√5 | 3√5 × (√5 × 2√5) = 30 |
| (3√5 + √5) + 2√5 = 6√5 | (3√5 × √5) × 2√5 = 30 |
| 2,1 + [3,6 + (−2,5)] = 3,2 | 2,5 × (0,5 × 4) = 5 |
| (2,1 + 3,6) + (−2,5) = 3,2 | (2,5 × 0,5) × 4 = 5 |
b) Aynı satırdaki işlemlerde işlem sırasının değişmesi, sonuçları değiştirmiş midir? Açıklayınız.
Cevap: Toplama ve çarpmada birleşme özelliği vardır. Sonuç bu yüzden değişmedi.
3. a) Tablo 3ʼte verilen toplama ve çarpma işlemlerinde verilmeyen sayıları bulunuz.
Toplama İşlemi
| 3√5 + 0 = 3√5 | 0 + 3√5 = 3√5 |
| -2,4 + 0 = -2,4 | 0 + (-2,4) = -2,4 |
| a ∈ R, a + 0 = a | a ∈ R, 0 + a = a |
Çarpma İşlemi
| (-√7) · 1 = -√7 | 1 · (-√7) = -√7 |
| (-1/3) · 1 = -1/3 | 1 · (-1/3) = -1/3 |
| a ∈ R, a * 1 = a | a ∈ R, 1 * a = a |
b) Bulduğunuz sonuçlardan hareketle verilen işlemler, toplama ve çarpmanın hangi özelliği ile ilişkilendirilebilir? Açıklayınız.
Toplamada etkisiz eleman 0'dır.
Çarpmada etkisiz eleman 1'dir
4. Soru: Toplama ve Çarpma İşlemleri
a) Tablo 4’te verilen işlemler:
Toplama İşlemi:
- √5 + (−√5) = 0
- (−2,4) + 2,4 = 0
Çarpma İşlemi:
- 1/√5 × √5 = 1
- (−3/√2) × (−√2/3) = 1
b) Toplama ve Çarpma İşlemleri Arasındaki İlişki:
Toplama işlemi için ters eleman özelliği geçerlidir; bir sayının tersi ile toplamı sıfır olur. Çarpma işleminde ise birim eleman özelliği geçerlidir; bir sayının çarpmaya göre tersi ile çarpımı 1 verir.
5. Soru: Çarpma İşlemleri ve Özellikler
a) Tablo 5’teki Çarpma İşlemleri:
- 1/2 × 0 = 0
- √5 × 0 = 0
- (−√3) × 0 = 0
b) Yutan Eleman Özelliği:
Çarpma işleminde sıfır yutan elemandır; herhangi bir sayının sıfır ile çarpımı her zaman sıfır olur.
6. Soru: Gerçek Sayılar Üzerinde İşlemler
a) Tablo 6’daki İşlemler:
1. Satır: n + n = 2n
2. Satır: 3 × (m + n) = 3m + 3n
b) Dağılma Özelliği: 2. satırdaki işlem, çarpmanın toplama işlemi üzerine dağılma özelliğini gösterir. Yani, bir sayının toplamın her terimi ile ayrı ayrı çarpılması işlemi yapılır.
7. Soru: Gerçek Sayılardaki İşlem Özellikleri
Değişme Özelliği:
a + b = b + a
a × b = b × a
Birleşme Özelliği:
(a + b) + c = a + (b + c)
(a × b) × c = a × (b × c)
Dağılma Özelliği:
a × (b + c) = ab + ac
Ters Eleman Özelliği:
a + (−a) = 0
a × (1/a) = 1 (a ≠ 0)
Birim Eleman:
a × 1 = a
Yutan Eleman:
a × 0 = 0
8. Soru: İşlem Özelliklerinin Cebirsel Gösterimi
Değişme Özelliği:
x + y = y + x
x × y = y × x
Birleşme Özelliği:
(x + y) + z = x + (y + z)
(x × y) × z = x × (y × z)
Dağılma Özelliği:
x × (y + z) = xy + xz
Ters Eleman:
x + (−x) = 0
x × (1/x) = 1
Birim Eleman:
x × 1 = x
Yutan Eleman:
x × 0 = 0
Bu cevaplarda önemli kavramlar vurgulanmıştır.
9. Elde ettiğiniz özelliklerden yararlanarak iki cebirsel ifadenin çarpımının sıfıra eşit olması durumunda çarpılan cebirsel ifadelerle ilgili çıkarımınızı örnek vererek açıklayınız.
Cevap: İki ifadenin çarpımı sıfıra eşitse, bu ifadelerden en az biri sıfıra eşittir. Örneğin:
a × b = 0 ise ya a = 0 ya da b = 0 olmalıdır.
Bu, çarpma işleminin sıfır kuralıdır. Örneğin, (x - 2) × (x + 3) = 0 denklemi için ya x - 2 = 0 ya da x + 3 = 0 olmalıdır. Buradan x = 2 veya x = -3 çözümleri elde edilir.
10. Gerçek sayılarda çıkarma ve bölme işlemlerinin sahip olduğu ya da olmadığı işlem özelliklerini örnekle belirleyiniz.
-
Dağılma Özelliği:
Bölme ve çıkarma işlemleri, dağılma özelliğine sahip değildir:
a ÷ (b + c) ≠ a ÷ b + a ÷ c
a - (b + c) ≠ a - b - c -
Birleşme Özelliği:
Çıkarma ve bölme işlemleri birleşme özelliği göstermez:
(a - b) - c ≠ a - (b - c)
(a ÷ b) ÷ c ≠ a ÷ (b ÷ c) -
Değişme Özelliği:
Bölme ve çıkarma işlemleri değişme özelliğine sahip değildir:
a - b ≠ b - a
a ÷ b ≠ b ÷ a
Bu nedenle çıkarma ve bölme işlemleri, toplama ve çarpmaya göre daha sınırlı özelliklere sahiptir.