22. Uygulama
Önermelerin Sembolik Dille İfade Edilmesi
Verilenlere göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.
Gerçek sayılarda bazı işlemlerle ilgili sözel önermeler aşağıda verilmiştir.
a- Her a, b gerçek sayısı için a > b olduğunda, a - b sıfırdan büyük müdür?
Cevap: Evet, her zaman sıfırdan büyüktür. Örneğin, a = 5 ve b = 3 olduğunda, 5 - 3 = 2 > 0’dır.
b- Sıfırdan farklı her a gerçek sayısı için, a · b = 1 eşitliğini sağlayacak bir b gerçek sayısı var mıdır?
Cevap: Evet, vardır. Burada b sayısı, b = 1/a şeklinde tanımlanır. Örneğin, a = 2 için b = 1/2’dir ve 2 · (1/2) = 1 olur.
c- İki gerçek sayının çarpımı sıfırsa, bu sayıların en az birinin sıfır olması gerekir mi?
Cevap: Evet, gerekir. a · b = 0 olduğunda ya a = 0 ya da b = 0 olmalıdır. Örneğin, 3 · 0 = 0’dır.
ç- Bir gerçek sayı sıfırdan küçükse ve diğeri sıfırdan büyükse, çarpımları sıfırdan küçük olur mu?
Cevap: Evet, olur. Örneğin, a = -4 ve b = 5 olduğunda, -4 · 5 = -20’dir.
d- İki gerçek sayının çarpımı sıfırdan farklıysa, bu sayıların ikisi de sıfırdan farklı mıdır?
Cevap: Evet, ikisi de sıfırdan farklı olmalıdır. Örneğin, 2 · 3 = 6’dır ve bu durumda her iki çarpan da sıfırdan farklıdır.
e- İki sayının çarpımının negatif olması için yalnızca birinin negatif olması yeterli midir?
Cevap: Evet, yeterlidir. Örneğin, a = -2 ve b = 4 için -2 · 4 = -8’dir. Sadece bir çarpan negatif olduğu için sonuç negatiftir.
2. Soru Aşağıda sembolik dil kullanılarak verilen önermeleri inceleyiniz. 1. maddede verilen sözel önermelerin karşılıkları aşağıdakilerden hangisi ya da hangileri olabilir? Gerekçeleriyle açıklayınız.
f) ∀ a, b ∈ ℝ için a > b ⇒ b – a > 0’dır.
Doğrudur. Örneğin, eğer a = 3 ve b = 2 ise, 3 > 2 ve b - a = 2 - 3 = -1 < 0 olur. Burada sonuç önermeyle uyuşmamakta, bu ifade hatalıdır.
g) ∃ a ∈ ℝ, a ≠ 0 için ∀ b ∈ ℝ vardır. Öyle ki a · b = 1’dir.
Yanlıştır. Çünkü her a ve b reel sayısı için a · b = 1 olması mümkün değildir. Örneğin a = 0 için b tanımsız olur.
ğ) a ∈ ℝ için a ≤ 0 ∧ a ≥ 0 ⇒ a = 0’dır.
Doğrudur. Bir reel sayı hem sıfırdan küçük hem sıfırdan büyük olamaz. Dolayısıyla a sadece 0 olabilir.
h) a, b ∈ ℝ için a · b = 0 ⇒ a = 0 ∨ b = 0’dır.
Doğrudur. Bir çarpımın sonucu 0 ise çarpanlardan en az biri mutlaka 0 olmalıdır.
ı) ∀ a, b ∈ ℝ için a < b ∧ a – b < 0’dır.
Doğrudur. Eğer a < b ise, farkları olan a - b mutlaka negatif olacaktır.
i) a, b ∈ ℝ olmak üzere a · b ≠ 0 ⇔ a ≠ 0 ∧ b ≠ 0’dır.
Doğrudur. İki reel sayının çarpımı sıfırdan farklıysa, her iki çarpan da sıfırdan farklı olmalıdır.
j) a, b ∈ ℝ olmak üzere a ≠ 0 ⇔ a < 0 ∨ a > 0’dır.
Doğrudur. Bir reel sayı sıfırdan farklıysa ya negatif ya da pozitif olmalıdır.
k) ∀ a ∈ ℝ, a · b ≠ 0 için ∃ b ∈ ℝ vardır. Öyle ki a · b = 1’dir.
Yanlıştır. Her reel sayı için böyle bir b bulmak mümkün olmayabilir, özellikle a = 0 için b tanımsızdır.
Soru 3: Elde ettiğiniz sonuçlardan yararlanarak sembolik dille farklı matematiksel önermeler yazınız. Yazdığınız önermelerin sözel karşılıklarını bulunuz. Hangi gösterimlerin daha kullanışlı olduğuna dair fikirlerinizi sınıf arkadaşlarınızla paylaşınız.
-
∀a, b ∈ ℝ için a < 0 ve b ≥ 0 ise a * b ≤ 0.
Sözel karşılık: Negatif bir sayıyla pozitif veya sıfır olan bir sayının çarpımı sıfır veya negatif olur. -
∀a ∈ ℝ için a + 0 = a.
Sözel karşılık: Bir sayıya sıfır eklemek, o sayıyı değiştirmez (toplamada etkisiz eleman).