23. Uygulama
İki Gerçek Sayının Farklı Gösterimlerinin
ve İki Farklı Cebirsel İfadenin Birbirine Eşitliğini İnceleme
Verilenlere göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.
Aşağıda kenar uzunlukları a cm ve b cm olan dikdörtgen şeklinde bir karton verilmiştir. Bu dikdörtgenin her köşesinden bir kenar uzunluğu k cm olan kare parçalar kesilerek çıkartılmıştır.
23. Uygulama: İki Gerçek Sayının Farklı Gösterimlerinin ve İki Farklı Cebirsel İfadenin Birbirine Eşitliğini İnceleme
1 - a) Dikdörtgenin kesilmeden önceki çevre uzunluğunu a ve b değerlerine bağlı olarak yazınız.
Cevap: Çevre formülü:
2 × (a + b) = 2a + 2b
b) Dikdörtgen kesildikten sonra oluşan şeklin çevre uzunluğunu a, b ve k değerlerine bağlı olarak yazınız.
Cevap: Yeni şeklin çevresi:
2a - 2k + 2(b - 2k) + 8k = 2a + 2b
c) Bulduğunuz cebirsel ifadelerin birbirine eşit olup olmadığını belirtiniz.
Cevap: Evet, kesilmeden önce ve sonra çevre uzunlukları eşittir. Kesme işlemi çevreyi değiştirmez.
2- a) a, b ve k değişkenlerine k < b < a olacak şekilde pozitif gerçek sayı değerleri veriniz.
Cevap: Örnek: k = 2, b = 4, a = 6
b) Dikdörtgenin kesilmeden önceki ve kesildikten sonraki çevre uzunluklarını hesaplayınız.
Cevap:
- Kesilmeden önce: 2 × (6 + 4) = 20 birim
- Kesildikten sonra: 2 × (6 - 2) + 2 × (4 - 2) + 8 × 2 = 20 birim
c) Bulduğunuz çevre uzunluklarının birbirine eşit olup olmadığını belirtiniz.
Cevap: Evet, çevre uzunlukları birbirine eşittir. Kesme işlemi çevreyi etkilemez.
24. Uygulama
Özdeşliklerin Cebirsel ve Geometrik Temsilleri
Verilen bilgilere göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.
1. Soru ve Cevaplar
a- a ve b pozitif gerçek sayılar olmak üzere (a+b)2(a + b)²(a+b)2 ifadesinin açılımını gerçek sayılarda işlem özelliklerini kullanarak bulunuz.
Cevap:
(a + b)² açılımını yapalım:
(a + b) × (a + b) = a² + 2ab + b²
Bu açılım, dağılım özelliğine dayanmaktadır ve iki sayının toplamının karesi, aralarında iki kez ortak terim çarpımını içerir.
b- Aşağıda bir kenar uzunluğu (a + b) birim olan kare verilmiştir. Kare 1, 2, 3 ve 4 numaralı dört bölüme ayrılmıştır. Bu bölümlerin alanlarını cebirsel olarak ifade ediniz.
Cevap:
- Bölüm: a × a = a²
- Bölüm: a × b = ab
- Bölüm: a × b = ab
- Bölüm: b × b = b²
Toplam alan: a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b²
Bu, karenin tamamının cebirsel ifadesidir.
c) Bulduğunuz cebirsel ifadeleri kullanarak (a + b)² açılımının doğruluğunu gösteriniz.
Cevap: Kareyi parçalara ayırarak bulduğumuz alan toplamı:
a² + 2ab + b²
Bu ifade, (a + b)² açılımına eşittir ve işlemimizin doğru olduğunu kanıtlar.
2. Soru ve Cevaplar
2 - a) a ve b birer pozitif gerçek sayı ve b < a olmak üzere (a - b)² ifadesinin eşitini gerçek sayılarda işlem özelliklerini kullanarak bulunuz.
Cevap:
(a - b)² = (a - b) * (a - b)
Bu ifadeyi açarsak:
(a - b) * (a - b) = a² - 2ab + b²
Burada dağılma özelliği kullanılmıştır.
b) Aşağıda bir kenar uzunluğu a birim olan kare verilmiştir. Kare 1, 2, 3, 4 numaralı dört bölüme ayrılmıştır.
1: Bir kenar uzunluğu (a - b) birim olan kare
2: Kısa kenar uzunluğu b, uzun kenar uzunluğu (a - b) birim olan dikdörtgen
3: Kısa kenar uzunluğu b, uzun kenar uzunluğu (a - b) birim olan dikdörtgen
4: Bir kenar uzunluğu b birim olan kare
1, 2, 3, 4 numaralı bölümlerin alanlarını cebirsel olarak ifade ediniz.
Cevap:
- Bölge: (a - b)2
- Bölge: b * (a - b) = b (a - b)
- Bölge: b * (a - b) = b (a - b)
- Bölge: b²
Toplam alan: (a - b)² + 2 * b(a - b) + b² = a² - 2ab + b²
c) Bulduğunuz cebirsel ifadeleri kullanarak a şıkkında elde ettiğiniz eşitliği doğrulayınız.
Cevap: Elde edilen toplam ifade:
(a - b)² + 2 * b(a - b) + b² = a² - 2ab + b²
Bu, a şıkkındaki ifadeyle aynıdır. Dolayısıyla eşitlik doğru olarak doğrulanmıştır.
3. Soru ve Cevaplar
Soru a) (a - b) * (a + b) ifadesinin eşitliğini gerçek sayılarda işlem özelliklerini kullanarak bulunuz.
Cevap:
(a - b) * (a + b) = a² - b²
Bu işlem, iki kare farkı özdeşliğine göre açılır. Sonuç a² - b² olur.
Soru b) Aşağıda bir kenar uzunluğu (a - b) birim olan kare verilmiştir. Kare 1, 2, 3, 4 numaralı dört bölüme ayrılmıştır:
- Bir kenar uzunluğu (a - b) birim olan kare
- Kısa kenar uzunluğu b, uzun kenar uzunluğu (a - b) birim olan dikdörtgen
- Kısa kenar uzunluğu b, uzun kenar uzunluğu (a - b) birim olan dikdörtgen
- Bir kenar uzunluğu b birim olan kare
Bu bölümlerin alanlarını cebirsel olarak ifade ediniz.
Cevap:
- (a - b)² = a² - 2ab + b²
- (a - b) * b = ab - b²
- (a - b) * b = ab - b²
- b * b = b²
Soru c) Bulduğunuz cebirsel ifadeleri kullanarak a şıkkında elde ettiğiniz eşitliği doğrulayınız.
Cevap:
Bölümlerin alanlarının toplamı:
a² - 2ab + b² + 2(ab - b²) + b²
Bu işlemin sonucunda:
a² - b² bulunur ve a şıkkındaki eşitlik doğrulanır.