26. Uygulama
Aşağıdaki soruları cevaplayınız.
1. Tabloda kenar uzunlukları gerçek sayı olan karelerin bir kenar uzunluğu, alanı ve bir kenar uzunluğunun farklı gösterimi verilmiştir. Verilmeyen ifadeleri bularak tabloyu örnekteki gibi doldurunuz.
2. Karelerin bir kenar uzunluğunun iki farklı gösterimi arasındaki ilişkiyi belirleyiniz.
Bir kare kenar uzunluğu, sayısal veya köklü ifadelerle ifade edilebilir. Bu tür ifadelerin arasındaki ilişki, özellikle kök ifadelerle çalışırken özdeşlikler yardımıyla belirlenir. Örneğin, kenar uzunluğu a olan bir kare ile aynı uzunluğu farklı bir gösterim olan √(a + b + 2√(ab)) ifadesi ile de ifade edebiliriz. Bu gösterimler arasında özdeşlikler yoluyla bağlantı kurmak mümkündür.
3. Elde ettiğiniz sonuçlardan yararlanarak, a, b ∈ R⁺ ve b < a olmak üzere √(a + b + 2√(ab)) ve √(a + b - 2√(ab)) biçimindeki köklü gösterimlerin eşitlerini bularak özdeşlik biçiminde yazınız.
Bu tür köklü ifadeler, karelerin kenar uzunluklarının toplamı ve farkı olarak düşünülebilir. Aşağıda verilen özdeşlikler, bu ifadeleri sadeleştirir:
Özdeşlikler:
√(a + b + 2√(ab)) = √a + √b
√(a + b - 2√(ab)) = √a - √b
Bu ifadeler, köklerin toplamı ve farkı olarak yorumlanabilir. Örneğin, a ve b pozitif gerçek sayılar olmak üzere, bu özdeşlikler bize kenar uzunluklarının aritmetik işlemlerinin köklü gösterimleri nasıl sadeleştirebileceğimizi gösterir.
4. Bulduğunuz özdeşlikleri farklı gerçek sayılar için doğrulayınız.
Örneğin, a = 9 ve b = 4 seçelim:
- √(9 + 4 + 2 × √(9 × 4)) = √(9 + 4 + 12) = √25 = 5
- √(9 + 4 - 2 × √(9 × 4)) = √(9 + 4 - 12) = √1 = 1
Bu doğrulama sonucunda:
- √9 + √4 = 3 + 2 = 5
- √9 - √4 = 3 - 2 = 1
Bu işlemler, özdeşliklerin doğru çalıştığını ve verilen formüllerin farklı gerçek sayılar için geçerli olduğunu gösterir.
5. Elde ettiğiniz özdeşlikleri karelerin alanlarından yararlanarak geometrik temsillerle gösteriniz.
Kenar uzunluğu √a ve √b olan iki kare düşünelim.
- Toplam ifadesi (√a + √b): Bu ifade, iki karenin kenar uzunluklarının toplamını verir ve geometrik olarak bu iki karenin birleşimi olarak yorumlanabilir.
- Fark ifadesi (√a - √b): Bu ifade ise büyük bir kareden küçük bir karenin çıkarılması anlamına gelir. Alan olarak düşünürsek, büyük karenin alanından küçük karenin alanı çıkarıldığında geriye kalan bölgeyi temsil eder.