Sayfa 96 Cevapları
2. Uygulama: Gerçek Sayılarda g(x) = ax Şeklinde Tanımlı Doğrusal Fonksiyonların İncelenmesi
Aşağıdaki soruları cevaplayınız.
1- a ∈ R ve a ≠ 0 olmak üzere f: R → R, f(x) = ax şeklinde tanımlı doğrusal referans fonksiyonunun grafiğinden yararlanılarak g: R → R, g(x) = ax fonksiyonunun grafiği nasıl elde edilebilir?
Varsayımlarınızı sınıf arkadaşlarınızla paylaşarak tartışarak oluşturunuz.
Cevap: g(x) = ax fonksiyonunun grafiği, aynı eksenlerde f(x) = ax fonksiyonuna paralel şekilde çizilir. Eğer a aynı kalırsa grafik eğimi değişmez ve paralel olur. Eğer a'nın işareti değişirse (pozitiften negatife) grafik y eksenine göre simetrik olur.
2- Tablo 1’de verilen fonksiyonların bazı değerlerini doldurunuz.
| Fonksiyon | x = -2 | x = -1 | x = 0 | x = 1 | x = 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| f(x) = 2x | -4 | -2 | 0 | 2 | 4 |
| h(x) = 3x | -6 | -3 | 0 | 3 | 6 |
| k(x) = x/2 | -1 | -0.5 | 0 | 0.5 | 1 |
| m(x) = -2x | 4 | 2 | 0 | -2 | -4 |
| n(x) = -3x | 6 | 3 | 0 | -3 | -6 |
3- Tablo 1’deki değerlere göre doğrusal referans fonksiyon grafikleri hakkında çıkarımlar yapınız.
Cevap:
- Pozitif eğimli fonksiyonlar: f(x) = 2x, h(x) = 3x, k(x) = x/2. Bu fonksiyonlar sağa doğru yükselir.
- Negatif eğimli fonksiyonlar: m(x) = -2x, n(x) = -3x. Bu fonksiyonlar sağa doğru azalır.
4- Pozitif ve negatif eğim durumları için grafiklerin nasıl değiştiğini açıklayınız.
Cevap:
- Pozitif eğim: Grafik sağa doğru yükselir ve artan bir fonksiyon elde edilir.
- Negatif eğim: Grafik sağa doğru azalır ve azalan bir fonksiyon elde edilir.
5- Aşağıdaki grafikte koordinat sisteminde verilen fonksiyonların (f, g, h, k, m, n) eğimlerini ve y eksenini kestikleri noktaları belirleyiniz.
| Fonksiyon | Fonksiyon Sıfırı | Y Eksenini Kestiği Nokta | Eğim |
|---|---|---|---|
| f(x) = 2x | 0 | (0, 0) | 2 |
| h(x) = 3x | 0 | (0, 0) | 3 |
| k(x) = x/2 | 0 | (0, 0) | 0.5 |
| m(x) = -2x | 0 | (0, 0) | -2 |
| n(x) = -3x | 0 | (0, 0) | -3 |
6- Tablo 2’de elde edilen bilgilerle ilgili genellemeler yapınız ve grafikleri karşılaştırınız.
- Tüm fonksiyonlar orijinden geçer ve doğrusal olarak ilerler.
- Eğimi pozitif olan fonksiyonlar sağa doğru yükselir, eğimi negatif olanlar sağa doğru azalır.
- Bu durum, fonksiyonların x ekseni üzerindeki değerlerine göre eğimlerinin işaret değişimi gösterdiğini kanıtlar.
Sayfa 97 Cevapları
6. Soru Çizdiğiniz grafiklerden ve f: R → R, f(x) = x şeklinde tanımlı doğrusal fonksiyonun nitel özelliklerinden yararlanarak a > 0 ve a < 0 durumları için g: R → R, g(x) = ax şeklinde tanımlı doğrusal fonksiyonun nitel özellikleri (tanım ve görüntü kümeleri, işaret, artanlık-azalanlık, maksimum-minimum noktalar, sıfır ve bire birlik) ile ilgili varsayımlarınızı oluşturunuz.
Cevap:
- Tanım ve görüntü kümesi R'dir.
- Maksimum ve minimum nokta yoktur.
- a > 0 ise fonksiyon artandır, a < 0 ise fonksiyon azalır.
- Fonksiyon bire birdir.
7. Soru Tablo 3'te verilen gerçek sayılarda tanımlı fonksiyonların nitel özelliklerini bularak tabloda ilgili yerlere yazınız.
Tablo 3
| Nitel Özellik | f(x) = x | h(x) = 3x | k(x) = x / 2 | m(x) = -2x | n(x) = -3x | p(x) = -2x / 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Tanım Kümesi | R | R | R | R | R | R |
| Görüntü Kümesi | R | R | R | R | R | R |
| İşaret | (0, 0) | (0, 0) | (0, 0) | (0, 0) | (0, 0) | (0, 0) |
| Sıfır Noktası | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| Artanlık-Azalanlık | Artan | Artan | Artan | Azalan | Azalan | Azalan |
| Maksimum Nokta | Yok | Yok | Yok | Yok | Yok | Yok |
| Minimum Nokta | Yok | Yok | Yok | Yok | Yok | Yok |
| Bire Birlik | Bire bir | Bire bir | Bire bir | Bire bir | Bire bir | Bire bir |
8. Soru Tablo 3'te elde ettiğiniz sonuçlardan yararlanarak a > 0 ve a < 0 durumları için g: R → R, g(x) = ax şeklinde tanımlı doğrusal fonksiyonun nitel özellikleri ile ilgili genellemelerinizi oluşturunuz.
Cevap:
- Tanım ve görüntü kümesi R'dir.
- Maksimum ve minimum nokta yoktur.
- a > 0 ise fonksiyon artandır, a < 0 ise fonksiyon azalır.
- Fonksiyon bire birdir.
9. Soru- 6. maddede oluşturduğunuz varsayımları genellemelerinizle karşılaştırarak a > 0 ve a < 0 durumları için g: R → R, g(x) = ax şeklinde tanımlı doğrusal fonksiyonun nitel özellikleri ile ilgili önerilerinizi oluşturunuz.
Cevap:
- Tanım ve görüntü kümesi R'dir.
- a > 0 olduğunda fonksiyon artandır, a < 0 olduğunda azalır.
- Bire bir fonksiyondur. Maksimum ve minimum noktası yoktur.
10. Soru Aşağıdaki problemi inceleyerek soruları cevaplayınız.
Kırmızı ışıkta duran A ve B araçları harekete başladıktan ardından itibaren 20 saniye boyunca sabit ivme ile hızlanmıştır. A ve B araçlarının zamana (sn) bağlı hızlarını (m/sn) gösteren fonksiyonlar sırasıyla f ve g olmak üzere f: [0, 20] → R, f(x) = 2x ve g: [0, 20] → R, g(x) = 3x şeklindedir.
Cevap:
- A ve B araçları hızlandıkça fonksiyon değerleri doğrusal olarak artmaktadır.
- f(x) ve g(x) fonksiyonlarının eğimleri sırasıyla 2 ve 3'tür.
- A aracı daha yavaş hızlanırken, B aracı daha hızlı ivmelenmiştir.
Sayfa 98 Cevapları
a) A ve B araçlarının zamana bağlı hızlarını inceleyiniz. Araçların hızları arasında nasıl bir ilişki bulunduğunu açıklayınız.
Cevap:
Tabloya göre:
- f(x) = 1/2 * x için değerler: 1/2, 1, 3/2, 2, 5/2, 3, 7/2, ...
- g(x) = 2 * x için değerler: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ...
Sonuç: B aracı daha hızlı ivmelenmektedir çünkü eğimi daha büyüktür.
b) A ve B araçlarının zamana (sn.) bağlı hızlarını ifade eden fonksiyonların grafiklerini çiziniz.
Cevap:
- Grafik üzerinde g(x) = 2 * x kırmızı eğimle gösterildi.
- f(x) = 1/2 * x daha yatık eğimde çizildi.
- B aracı, daha dik bir eğime sahip olduğu için daha hızlıdır.
c) Grafiklerin eğimi ile araçların hızları arasında nasıl bir ilişki olduğunu açıklayınız.
Cevap:
Eğimi büyük olan daha çabuk hızlanıyor. Eğimin yüksek olması, aracın ivmesinin yüksek olduğunu gösterir.
d) f ve g fonksiyonlarının minimum ve maksimum değerleri ile araçların hızları arasında nasıl bir ilişki olduğunu açıklayınız.
Cevap:
- Minimum Değer: 0
- Maksimum Değer: f(120) = (1/2) * 120 = 10, g(20) = 2 * 20 = 40
B aracı, A’ya göre maksimumda daha yüksek bir hıza sahiptir.
e) Ulaştığınız önermelerin problemin çözümünde size ne tür kolaylıklar sağladığını açıklayınız.
Cevap:
Eğimi büyük olan grafikteki ani bir yükselme, daha yüksek hızlanmayı gösterir. Bu görsel analiz, araçların hızlarının karşılaştırmasını kolaylaştırır ve daha doğru sonuçlar sağlar.
11. Soru ve Cevap
Fonksiyonları temsil eden grafikler ve bu fonksiyonların nitel özellikleri ile ilgili oluşturduğunuz önermelerin doğruluğunu test etmek için matematik yazılımından nasıl yararlanılabilir?
- Adım: Bilgisayar veya etkileşimli tahtada matematik yazılımını açın ve “Giriş” bölümüne g(x) = ax yazıp Enter tuşuna basın.
- Adım: Ekstradan grafikleri oluşturun ve değişimleri gözlemleyin.
- Adım: Gözlemlerinizden yararlanarak önermelerinizi doğrulayın.
Not: Geogebra gibi yazılımlar ile grafik oluşturup incelemek çok yararlıdır.
12. Doğrulama Yöntemlerinizi Kullanışlılık Açısından Değerlendiriniz
Cevap: Doğrulama yöntemleri, matematiksel problemlerin ve fonksiyonların anlaşılmasını kolaylaştırmak için son derece kullanışlıdır. Özellikle Geogebra gibi dinamik matematik yazılımları, grafiklerin hızlıca oluşturulmasını ve karşılaştırılmasını sağlar. Bu tür yazılımlar sayesinde:
- Hataları erken tespit etme: Fonksiyonların eğimleri, kesişim noktaları ve değişimlerinin anında gözlemlenmesi mümkün olur.
- Zaman kazandırma: Manuel çizimlere göre çok daha hızlı sonuç elde edilir.
- Doğru sonuçlar: Grafiklerin görsel olarak doğrulanması, hesaplamalarda hata payını azaltır.
- Etkili analiz: Öğrencilerin veya araştırmacıların sonuçları görsel olarak yorumlaması daha kolaydır.
- Çoklu fonksiyonları karşılaştırma: Aynı anda birden fazla fonksiyonun analizi yapılarak, aralarındaki farklar net bir şekilde gözlemlenebilir.
Bu doğrulama yöntemleri, özellikle eğimi büyük olan grafikleri inceleyerek ivme ve hız karşılaştırmalarında büyük avantaj sağlar. Böylece problemlerin çözümleri daha doğru, hızlı ve güvenilir hale gelir.