Alıştırmalar
1. ‟Çarpımı sıfır olan iki gerçek sayıdan en az biri sıfırdır.” önermesi veriliyor.
a) Önermenin doğruluğunu ispatlayınız.
İspatın Açıklaması:
- a, b ∈ ℝ (a ve b gerçek sayılar)
- Verilen: a · b = 0
- İstenen: a = 0 ∨ b = 0 (yani a sıfır ya da b sıfırdır – en az biri sıfır)
Mantıksal İfade: a · b = 0 → a = 0 ∨ b = 0
İspat Adımları:
1- a · b = 0 durumu veriliyor.
2- Bu çarpımın sıfır olması için iki ihtimal vardır:
- a = 0 ve b ≠ 0
- a ≠ 0 ve b = 0
- a = 0 ve b = 0
3- Bu üç durumda da en az bir çarpan sıfır olduğundan,
sonuç olarak: a = 0 ∨ b = 0 elde edilir.
b) Cebirsel ispatın her bir adımını sözel olarak ifade ediniz.
İfade: a ve b gerçek sayılarının çarpımı 0 ise;
- Ya a sıfıra eşittir ve b sıfıra eşit değildir
- Ya a sıfıra eşit değildir ve b sıfıra eşittir
- Ya da her ikisi de sıfıra eşittir
Sonuç: Bu üç durumdan da görüleceği gibi a veya b sıfırdır.
Kullanılan Mantık Bağlaçları ve Niceleyiciler:
- ∨ (veya) bağlacı: En az birinin sıfır olduğunu belirtir.
- ∧ (ve) bağlacı: İki koşulun birlikte sağlandığı durumlar için kullanılır.
- ∀ (her) niceleyicisi örtük olarak kullanılmıştır: “Her a, b ∈ ℝ için” anlamında.
c) Sözde Kod, Algoritmik Doğal Dil ve Akış Şeması ile ifade ediniz.
Girdi: a, b
Çıktı: Sonuç
Başla
Eğer a = 0 veya b = 0 ise
Yazdır: "a veya b sıfıra eşittir. Çarpımları sıfırdır."
Değilse
Yazdır: "a veya b sıfıra eşit değildir. Çarpımları sıfıra eşit değildir."
Bitir
Algoritmik Doğal Dil:
1. adım: Başla
2. adım: Girdilerin alınması
- a ve b gerçek sayılarını kullanıcıdan al
3. adım: a ve b değerlerinin kontrolü
- a veya b'nin sıfıra eşit olup olmadığını kontrol et
4. adım: Sonucun yazdırılması
- a veya b sıfıra eşitse, "a veya b sıfıra eşittir. Çarpımları sıfırdır."
- Aksi halde, "a ve b sıfıra eşit değildir. Çarpımları sıfır değildir."
5. adım: Bitir