2. Uygulama
Öteleme Dönüşümünün Özellikleri
Aşağıdaki yönergeleri takip ederek soruları cevaplayınız.
1. Soru: Verilen şekiller ile öteleme dönüşümü altındaki görüntülerini inceleyerek şekillerin hangi doğrultu (yatay-dikey) ve yönlerde (sağ-sol, yukarı-aşağı) kaç birim ötelenildiğini bulunuz. Hem yatay hem de dikey doğrultuda öteleme dönüşümü uygulanan şekil olup olmadığını belirleyiniz. Cevaplarınıza göre Tablo 1'i doldurunuz.
| Şekil | Öteleme Doğrultusu | Öteleme Yönü | Öteleme Miktarı |
|---|---|---|---|
| ABCD | Yatay ve Dikey | Sağa, Aşağı | 6 birim sağa, 7 birim aşağı |
| EFGH | Dikey | Aşağı | 7 birim aşağı |
| PRS | Yatay ve Dikey | Sola, Yukarı | 8 birim sola, 6 birim yukarı |
Öteleme dönüşümü sonucunda şekillerin boyutları, açılar ve kenar uzunlukları değişmez, ancak konumları değişir ve yeni koordinat düzleminde farklı konumlara taşınır.
2. Soru: Şekillerin belirlediğiniz öteleme dönüşümleri sonrasında değişen ve değişmeyen özelliklerinin neler olabileceğine ilişkin fikirlerinizi yazınız. Fikirlerinizi sınıf arkadaşlarınızla tartışınız.
Değişmeyen Özellikler:
- Şekillerin iç açı ölçüleri değişmez.
- Kenar uzunlukları değişmez.
- Çevre uzunlukları değişmez.
- Alan değişmez.
Değişen Özellikler: İki nokta arasındaki uzaklık değişir, çünkü öteleme ile şeklin konumu farklı bir yere taşınır.
3. Tablo 2’de şekillere ait özellikler verilmiştir. Belirtilen özelliklerin şekillerin öteleme dönüşümü altındaki görüntüleri olan şekillerde değişip değişmediğine ilişkin varsayımlarınızı tablonun ilgili alanına örnekteki gibiyazınız. Şekil üzerindeki noktalar ile bu noktaların görüntülerine uzaklıkları arasında bir ilişki olup olmadığını sözlü olarak ifade ediniz.
| Özellik | Varsayım |
|---|---|
| Şeklin kenar uzunlukları | Değişmez. |
| Şeklin iç açı ölçüleri | Değişmez. |
| Şeklin çevre uzunluğu | Değişmez. |
| Şeklin alanı | Değişmez. |
| Şekil üzerindeki herhangi bir nokta ile bu noktanın görüntüsü arasındaki uzaklık | Bütün noktalar için aynıdır. |
| Şeklin düzlemdeki yeri | Değişir. |
Sonuç: Öteleme dönüşümünde kenar uzunlukları, iç açılar, çevre uzunluğu ve alan değişmez. Ancak, şeklin konumu değişir. Ayrıca, şekil üzerindeki herhangi bir nokta ile bu noktanın görüntüsü arasındaki uzaklık tüm noktalar için aynı olur.
Tablo 3:
| Şekil | Sonuçlar |
|---|---|
| ABCD dörtgeninin kenar uzunlukları ve iç açı ölçüleri | AB = 7 birim, BC = 4√2 birim, CD = 3 birim, AD = 4 birim, m(A) = 90°, m(B) = 45°, m(C) = 135°, m(D) = 90° |
| A'B'C'D' dörtgeninin kenar uzunlukları ve iç açı ölçüleri | AB' = 7 birim, BC' = 4√2 birim, CD' = 3 birim, AD' = 4 birim, m(A') = 90°, m(B') = 45°, m(C') = 135°, m(D') = 90° |
| EFGH dörtgeninin kenar uzunlukları ve iç açı ölçüleri | EF = 7 birim, FG = 3√2 birim, GH = 4 birim, HE = 2 birim, m(E) = 90°, m(F) = 45°, m(G) = 135°, m(H) = 90° |
| E'F'G'H' dörtgeninin kenar uzunlukları ve iç açı ölçüleri | E'F' = 7 birim, F'G' = 3√2 birim, G'H' = 4 birim, H'E' = 2 birim, m(E') = 90°, m(F') = 45°, m(G') = 135°, m(H') = 90° |
| PRS üçgeninin kenar uzunlukları ve iç açı ölçüleri | PR = 4√2 birim, RS = 6 birim, PS = 4 birim, m(P) = 45°, m(R) = 90°, m(S) = 45° |
| P'R'S' üçgeninin kenar uzunlukları ve iç açı ölçüleri | P'R' = 4√2 birim, R'S' = 6 birim, P'S' = 4 birim, m(P') = 45°, m(R') = 90°, m(S') = 45° |
| ABCD dörtgeninin çevre uzunluğu ve alanı | Çevre = (14 + 6√2) br, Alan = 20 br² |
| A'B'C'D' dörtgeninin çevre uzunluğu ve alanı | Çevre = (14 + 6√2) br, Alan = 20 br² |
| EFGH dörtgeninin çevre uzunluğu ve alanı | Çevre = (6 + 6√2) br, Alan = 7 br² |
| E'F'G'H' dörtgeninin çevre uzunluğu ve alanı | Çevre = (6 + 6√2) br, Alan = 7 br² |
| PRS üçgeninin çevre uzunluğu ve alanı | Çevre = (8 + 6√2) br, Alan = 8 br² |
| P'R'S' üçgeninin çevre uzunluğu ve alanı | Çevre = (8 + 6√2) br, Alan = 8 br² |
| ABCD dörtgeni üzerindeki A, B, C, D noktalarının görüntüleri olan noktalar arasındaki uzaklıklar | 6 birim |
| EFGH dörtgeni üzerindeki E, F, G, H noktalarının görüntüleri olan noktalar arasındaki uzaklıklar | 7 birim |
| PRS üçgeni üzerindeki P, R, S noktalarının görüntüleri olan noktalar arasındaki uzaklıklar | 10 birim |
Tablo 3 Sonuçlarının Değerlendirilmesi ve Genelleme
Tablo 3’e yazdığınız sonuçları arkadaşlarınızla karşılaştırarak tartışınız. Şekillerin öteleme dönüşümü altındaki görüntüleri ile ilgili özellikleri değerlendirerek, ötelemenin koruduğu geometrik özelliklere dair genellemeler yapınız.
Genelleme: Öteleme dönüşümünde şeklin tüm özellikleri korunur.
- Kenar uzunlukları, öteleme öncesi ve sonrası aynıdır.
- İç açılar, herhangi bir değişikliğe uğramaz ve eşit kalır.
- Çevre uzunluğu, öteleme ile değişmez.
- Alan, öteleme sonucunda korunur.
- Noktalar arası uzaklık, öteleme dönüşümünde eşit kalır.
| Özellikler | Öteleme Dönüşümü Sonrası Durum |
|---|---|
| Kenar uzunlukları | Değişmez, aynı kalır |
| İç açılar | Değişmez, açı ölçüleri korunur |
| Çevre uzunluğu | Aynı kalır, değişmez |
| Alan | Korunur, eşittir |
| Noktalar arası uzaklık | Eşittir, uzaklık korunur |
Bu genellemeler, ötelemenin şeklin temel ölçüsel özelliklerini koruduğunu ve yalnızca konum değişikliği sağladığını göstermektedir.
5. Aşağıdaki birim kareli zeminde farklı şekiller oluşturunuz. Oluşturduğunuz şekillere belirlediğiniz yön, doğrultu ve uzaklıkta öteleme dönüşümü uygulayınız. Şekilleri ve şekillerin görüntülerini inceleyerek varsayımlarınızı genellemelerinizle karşılaştırınız. Genellemelerinizin oluşturduğunuz şekiller ve öteleme dönüşümleri için doğru olup olmadığını açıklayınız.
Genelleme:
- Öteleme dönüşümü, şeklin boyutlarını, açılarını ve alanını korur.
- Noktalar arası uzaklıklar öteleme sonrası değişmez.
- Öteleme sadece konum değişikliği sağlar, şeklin yönünü değiştirmez.
6. 5. adımda yaptığınız incelemelerden hareketle genellemelerinizin her birini bir önerme olarak örnekteki gibi yazınız.
Önerme:
"Öteleme dönüşümü, noktalar arasındaki uzaklıkları korur."
Korunan Özellikler:
- İç açı ölçüleri: Öteleme dönüşümü sonucunda şeklin iç açı ölçüleri değişmez.
- Kenar uzunlukları: Şeklin öteleme öncesi ve sonrası kenar uzunlukları aynıdır.
- Çevre: Şeklin çevre uzunluğu öteleme ile değişmez.
- Alan: Öteleme dönüşümü sonucunda şeklin alanı korunur.
7. Önermelerinizi değerlendirerek bir şekle ait geometrik özelliklerden öteleme dönüşümünün koruduğu özellikleri yazınız. Öteleme dönüşümünün koruduğu özellikler ve elde ettiğiniz diğer önermeler sonucunda bir şekil ile bu şeklin öteleme dönüşümü altındaki görüntüsünün eş olup olmadığına ilişkin fikirlerinizi yazarak sınıf arkadaşlarınızla paylaşınız.
Korunan Özellikler:
- İç açı ölçüleri: Öteleme dönüşümü sonucunda şeklin iç açı ölçüleri değişmez.
- Kenar uzunlukları: Şeklin öteleme öncesi ve sonrası kenar uzunlukları aynıdır.
- Çevre: Şeklin çevre uzunluğu öteleme ile değişmez.
- Alan: Öteleme dönüşümü sonucunda şeklin alanı korunur.
8. Öteleme dönüşümünün özelliklerine ilişkin önermelerinizi yansıma dönüşümünün özellikleri ile karşılaştırarak bu dönüşümlerin özellikleri arasındaki benzerlik ve farklılıkları Tablo 4’ün ilgili alanına yazınız.
Tablo 4: Yansıma ve Öteleme Dönüşümlerinin Benzer ve Farklı Özellikleri
| Yansıma ve Öteleme Dönüşümlerinin Benzer Özellikleri | Yansıma ve Öteleme Dönüşümlerinin Farklı Özellikleri |
|---|---|
| - İç açı ölçüleri değişmez. | - İki nokta arası uzaklık değişir. |
| - Kenar uzunlukları korunur. | - Şeklin yönü değişir. |
| - Çevre uzunluğu değişmez. | |
| - Alan korunur. |
Bu tablo, öteleme ve yansıma dönüşümlerinin ortak ve farklı özelliklerini vurgulamaktadır.
9. Soru: Tablo 4'ten hareketle bir şekil ve şeklin dönüşümü altındaki görüntüsünün kenar uzunlukları veya iç açı ölçüleri eşit ise, şekle uygulanan dönüşümün yansıma mı yoksa öteleme mi olduğunu anlaşılıp anlaşılamayacağına dair fikirlerinizi yazınız.
Cevap: Kenar uzunlukları ve iç açı ölçüleri hem yansıma hem de öteleme dönüşümlerinde korunur. Bu nedenle, yalnızca bu verilere dayanarak dönüşümün türünü kesin olarak belirlemek mümkün değildir. Ancak, şeklin yönünün değişip değişmediğine bakılarak yansıma mı yoksa öteleme mi olduğu anlaşılabilir.
10. Soru: Şekil üzerindeki tüm noktalar ile bu noktaların görüntüleri arasındaki uzaklık eşit ise şekle hangi dönüşümün uygulandığına karar verilip verilemeyeceğine dair fikirlerinizi yazınız.
Cevap: Eğer şekil üzerindeki tüm noktalar ile bu noktaların görüntüleri arasındaki uzaklıklar eşitse, dönüşümün öteleme olduğu söylenebilir. Çünkü öteleme dönüşümünde her nokta belirli bir doğrultuda eşit mesafede taşınır, ancak yansımada bu durum her zaman geçerli olmaz.
11. Soru: Bir şekle yansıma ve öteleme dönüşümlerinden hangisinin uygulandığını nasıl tespit edilebileceğine ilişkin fikirlerinizi açıklayınız.
Cevap: Bir dönüşümün yansıma mı yoksa öteleme mi olduğunu anlamak için:
- Şeklin yönü kontrol edilmelidir: Yansımada şeklin yönü tersine döner, ötelemede ise yön değişmez.
- Noktaların yansıma doğrusuna olan uzaklıkları incelenmelidir: Yansımada şeklin noktaları yansıma doğrusuna eşit mesafede olurken, ötelemede belirli bir doğrultuda aynı uzaklıkta taşınır.