Üçgenlerin Eş Olma Şartları
Aşağıdaki yönergeleri takip ederek soruları cevaplayınız.
1. Verilen Üçgenlerin İncelenmesi
a) ABC ile DEF üçgenine hangi dönüşümler uygulanarak A'B'C' ve D'E'F' üçgeni oluşturulmuştur? Fikirlerinizi açıklayınız.
Cevap: ABC üçgeni yansıtılıp ve ötelenerek, DEF üçgeni ise dönme ve ötelenme işlemleriyle A'B'C' ve D'E'F' üçgenlerine dönüştürülmüştür.
b) ABC üçgeni ile A'B'C' üçgeni ve DEF üçgeni ile D'E'F' üçgeni arasında nasıl bir ilişki vardır? Fikirlerinizi açıklayınız.
Cevap: Eş üçgenlerdir. Çünkü üçgenlerin kenar uzunlukları ve açı ölçüleri birebir aynıdır.
ABC üçgeni ile A'B'C' üçgeni ve DEF üçgeni ile D'E'F' üçgeni arasında eşlik ilişkisi vardır.
Bu üçgenlerin kenar uzunlukları ve açı ölçüleri birebir aynı olduğundan, eş üçgenlerdir.
Eşlik, geometrik dönüşümler (yansıma, dönme veya öteleme) sonucu değişmeyen özelliklerden biridir.
Bu nedenle, ABC ≅ A'B'C' ve DEF ≅ D'E'F' şeklinde ifade edilir.
c) Verilen üçgen çiftlerinin eş olduğunu gösterebilmek için karşılıklı tüm açı ve kenarların eş olduğunu göstermek gerekir mi? Fikirlerinizi açıklayınız.
Cevap: Göstermek gereklidir. Aynı açılara sahip farklı kenar oranlarına sahip üçgenler olabilir. Bu nedenle eş üçgenler için hem açıların hem de kenar uzunluklarının birebir aynı olması gereklidir.
d) İki üçgenin eş olduğunu söyleyebilmek için bu üçgenlerin asgari hangi elemanlarının eş olması gereklidir? Fikirlerinizi açıklayınız.
Cevap: Eş üçgenleri belirlemek için şu üç eşlik kuralından biri sağlanmalıdır:
- Kenar-Açı-Kenar (KAK)
- Açı-Kenar-Açı (AKA)
- Kenar-Kenar-Kenar (KKK)
Bu kurallardan biri sağlanıyorsa üçgenler kesinlikle eş olur.
e) İki üçgenin karşılıklı tüm kenar uzunluklarının eşit olması, üçgenlerin eş olduğunu söylemek için yeterli midir? Düşüncelerinizi farklı arkadaşlarınız ile tartışarak yazınız.
Cevap: İki üçgenin karşılıklı iki kenar uzunluğunun ve herhangi bir açısının eşit olması, eş üçgen olduklarını söylemek için yeterli değildir.
Eş üçgenler için kenarların arasındaki açının da eşit olması gerekir.
Bu nedenle Kenar-Açı-Kenar (KAK) kuralı sağlanmalıdır. Eğer verilen açı eşit kenarların arasında değilse, üçgenlerin eş olup olmadığı kesin olarak belirlenemez.
f) İki üçgenin karşılıklı iki kenar uzunluğunun ve karşılıklı herhangi bir açısının ölçüsünün bilinmesi, üçgenlerin eş olduğunu söylemek için yeterli midir? Fikirlerinizi açıklayınız.
Cevap: Hayır, yeterli değildir. Açının iki kenar arasında olması gerekmektedir. Eğer açı kenarlar arasında değilse, üçgenlerin eş olup olmadığı kesin olarak belirlenemez.
g) İki üçgenin karşılıklı tüm açı ölçülerinin eşit olması, üçgenlerin eş olması için yeterli midir? Fikirlerinizi açıklayınız.
Cevap: Hayır, yeterli değildir. Çünkü aynı açı ölçülerine sahip sonsuz üçgen çizilebilir. Üçgenlerin eş olması için hem açıların hem de kenarların birebir aynı olması gerekir.
2. Tablo İncelemesi ve Üçgen Karşılaştırmaları
Aşağıdaki tabloda üçgen çiftleri ve bu üçgenlerin bazı kenar uzunlukları ile açı ölçüleri verilmiştir. Bu üçgen çiftlerinin eş olup olmadığını belirleyiniz.
Tablo değerlendirmesi yapılarak eş üçgenler belirlenmiştir. Eşleşen üçgenler "+" sembolüyle işaretlenmiştir.
3. Elde Edilen Sonuçlar ve Genel Çıkarımlar
- Kenar uzunlukları bilinen tek bir üçgen çizilebilir.
- İki açısı ve bir kenarı bilinen tek bir üçgen çizilebilir.
- İki kenar uzunluğu ve bu kenarlar arasındaki açısı bilinen tek bir üçgen çizilebilir.
Bu genellemeler, üçgenin oluşumunu belirleyen temel kuralları ifade eder. Eğer verilen bilgiler üçgenin boyutlarını ve açılarını tek bir şekilde belirliyorsa, o üçgen tek bir şekilde çizilebilir.
4. Gruplar Arası Karşılaştırma ve Sonuçlar
- Tüm kenar uzunlukları eşit olan üçgenler, eş üçgenlerdir. (Kenar-Kenar-Kenar (KKK) eşlik kuralı)
- Karşılıklı iki açısı ve bir kenarı eşit olan üçgenler, eş üçgenlerdir. (Açı-Kenar-Açı (AKA) eşlik kuralı)
- İki kenar uzunluğu ve bu kenarlar arasındaki açısı eşit olan üçgenler, eş üçgenlerdir. (Kenar-Açı-Kenar (KAK) eşlik kuralı)
Bu genellemeler, üçgenlerin eş olup olmadığını belirlemek için kullanılan temel eşlik kriterleridir.
5. Sonuçların Değerlendirilmesi
a) Eş üçgenlerin nasıl oluştuğunu ve bu üçgenlere günlük hayatta nerelerde karşılaşılabileceğini açıklayınız.
Cevap: Eş üçgenler doğada, mimaride ve mühendislikte sıkça karşımıza çıkar.
- Binaların temellerindeki destek üçgenleri,
- Trafik levhalarında kullanılan üçgenler,
- Köprülerin taşıyıcı iskeletlerinde üçgen yapılar,
- Mimari tasarımlarda simetri oluşturmak için kullanılan üçgenler eş üçgenlere örnektir.
b) Elde ettiğiniz eşlik koşullarından hareketle ikizkenar bir üçgenin taban açılarının eş olmasının nedenini açıklayınız.
Cevap: İkizkenar bir üçgende iki kenar birbirine eşittir.
Bu durumda, bu kenarların oluşturduğu taban açıları da birbirine eşit olur. Çünkü eşit kenarlar, eşit açılar oluşturur.
c) Karşılıklı kenarları paralel olan bir dörtgenin bir köşegeninin ayırdığı üçgenlerin eş olduğunu eşlik koşullarından yararlanarak açıklayınız.
- Bir dörtgenin köşegenleri, onu iki üçgene ayırır.
- Bu üçgenlerde karşılıklı kenarlar eş olur.
- Ayrıca iç açıları da eşit olacağından bu üçgenler eş üçgenlerdir.
Bu yüzden bir dörtgenin köşegenleri, onu iki eş üçgene bölebilir.