Alıştırmalar
1. Soru: Cetveller birleştirilerek aşağıdaki üçgen şekli oluşturulmuştur.
1 ve 2 numaralı cetveller üzerindeki hangi sayılar arasına bir doğru parçası yerleştirilirse mevcut üçgene benzer bir üçgen elde edilebileceğini bulunuz.
Cevap: Mevcut üçgene benzer bir üçgen oluşturabilmek için orantılı kenarlar belirlenmeli ve benzerlik oranı korunmalıdır.
Verilen çözümde:
- 6 / 8 = 3 / 4 oranı sağlanmıştır.
Bu orana uygun şekilde sayılar belirlenmelidir.
Önerilen kombinasyonlar:
- 1. cetvelde 3 → 2. cetvelde 4
- 1. cetvelde 4 → 2. cetvelde 5
- 1. cetvelde 8 → 2. cetvelde 2
Bu sayılar kullanılarak benzer üçgenler elde edilir.
2. Soru: Aşağıdaki şekilde [LP] ve [MN], KLM üçgeninin kenarortaylarıdır.
[LP] ∩ [MN] = {G} olduğuna göre 2|GP| = |PG| eşitliğinin doğruluğunu gösteriniz.
Cevap:
Benzerlik Kullanımı:
- NPG ve MLG üçgenleri açı-açı-açı (AAA) benzerliği ile benzerdir.
- Benzerlik oranı kullanılarak uzunluk ilişkileri oluşturulabilir.
Temel Orantı Teoremi Uygulaması:
- KN = NL ve KP = PM olduğundan,
- NP ve LM paraleldir, yani [NP] // [LM] olur.
Temel Orantı Teoremi gereği:
|NP| / |LM| = |KN| / |KL| = |KP| / |KM|
ve
|NP| / |LM| = 1/2
Sonuç:
- |GP| / |GL| ≠ 1/2
- |GL| = 2 |GP| olarak bulunur.
- Böylece 2|GP| = |GL| olduğu gösterilmiş olur.
3. Soru: Aşağıdaki ABC ve DCE üçgenlerinde [AB] ⊥ [BC], [AD] = [DC] ve m(ÂBC) = m(ĎEC), [BC] = 2 birim, [CE] = 8 birimdir.
Buna göre |AB| uzunluğunu bulunuz.
Verilen Bilgiler:
- |BC| = 2 birim
- |CE| = 8 birim
- |AB| uzunluğu bulunacak.
Oran Kullanımı:
- a / (a + b) = 1 / 10 oranı kullanılarak,
- a = k ve b = 9k olduğu belirlenmiş.
Çözüm:
- 18k = 18 * 1/3
- 18 / 3 = 6 birim
Sonuç: |AB| = 6 birim olarak bulunur.
4. Soru: Aşağıdaki görselde duvara belli bir açı ile dayanmış merdivene çıkan bir kişi yer almaktadır.
- Birbirine eşit mesafede toplam 15 basamağı bulunan bu merdivenin duvara dayandığı noktanın yerden yüksekliği 4 metre olarak verilmiştir.
-
- basamakta bulunan bir kişinin yerden yüksekliğini bulunuz.
Verilen Bilgiler:
- Merdivenin tamamı 16k birimdir.
- 7. basamak 7k yükseklikte bulunmaktadır.
- Duvar yüksekliği 4 birimdir.
Orantıyı Kullanarak Çözüm:
7k / 16k = x / 4
İçler dışlar çarpımı yapılır: x = 7 / 4
Sonuç: Kişinin yerden yüksekliği 7/4 birimdir.
5. Soru: Aşağıda ABC dik üçgeni verilmiştir.
D ∈ [AC] ve m(ÂBD) = m(ĎBC) olacak şekilde B köşesinden [BD] çiziniz.
a) Hangi üçgenlerin benzer olduğunu nedenleri ile yazınız.
b) |BD| uzunluğunun kaç birim olduğunu bulunuz.
c) |BC| uzunluğunun kaç birim olduğunu bulunuz.
a) Üçgenlerin benzerlik nedenleri:
- ∆ABC ve ∆BDC açı-açı-açı benzerlik kriterine göre benzerdir.
- ∆ABD ve ∆ACD de açı-açı-açı benzerliğine sahiptir.
- BD || AC olduğu için benzerlik sağlanır.
b) |BD| uzunluğunu bulalım:
vBenzerlik oranı kullanılarak:
x / 12 = 3 / x
x² = 36
x = 6 birim
c) |BC| uzunluğunu bulalım:
Benzerlik oranı kullanılarak:
y² = 180 = 36 × 5
y = 6√5 birim