Soru : İrrasyonel sayılar kümesinin bölme işlemine göre kapalı olup olmadığını gösteriniz.
Ödev cevabı kısaca : İrrasyonel sayılar kümesi, bölme işlemine göre kapalı değildir. Örneğin, iki irrasyonel sayı olan √2 ve √2'yi böldüğümüzde sonuç 1 olur, bu ise rasyonel bir sayıdır. Bu yüzden irrasyonel sayılar bölme işleminde her zaman irrasyonel sonuç vermez.
İrrasyonel sayılar kümesi bölme işlemine göre kapalı değildir.
Bunu göstermek için bir karşıt örnek kullanabiliriz.
√3 ve √12 irrasyonel sayılar olsun.
Bu iki sayıyı birbirine bölelim:
√12 ÷ √3 = √(12/3) = √4 = 2
Sonuç 2, yani bir rasyonel sayıdır.
Bu durumda irrasyonel ÷ irrasyonel = rasyonel olabildiği için
irrasyonel sayılar kümesi bölmeye göre kapalı değildir.
Matematiksel Gösterim:
√3, √12 ∈ Q′
√12 ÷ √3 = 2 ∉ Q′
Dolayısıyla, a, b ∈ Q′ için (a ÷ b) ∉ Q′ olabilir.
Bu yüzden Q′ kümesi (irrasyonel sayılar kümesi) bölme işlemine göre kapalı değildir.
Kısa Bilgi:
Bir küme kapalı olsaydı, o kümedeki herhangi iki elemanın bölümü yine aynı kümede olmalıydı.
Ancak burada sonucu irrasyonel olmayan bir sayı (2) elde ettik, bu nedenle kapalılık bozuldu.