Soru : İrrasyonel sayılar kümesinin bölme işlemine göre kapalı olup olmadığını gösteriniz.
Ödev cevabı kısaca : İrrasyonel sayılar kümesi, bölme işlemine göre kapalı değildir. Örneğin, iki irrasyonel sayı olan √2 ve √2'yi böldüğümüzde sonuç 1 olur, bu ise rasyonel bir sayıdır. Bu yüzden irrasyonel sayılar bölme işleminde her zaman irrasyonel sonuç vermez.
İrrasyonel sayılar kümesinin bölme işlemine göre kapalı olup olmadığını inceleyelim:
Bir kümenin bir işlem altında kapalı olması, bu işlemle iki eleman seçildiğinde sonuç yine aynı kümenin bir elemanı olmalıdır. Yani, iki irrasyonel sayının bölümü yine bir irrasyonel sayı olmalıdır ki, küme bölme işlemine göre kapalı olsun.
İrrasyonel Sayılar: İrrasyonel sayılar, tam olarak ifade edilemeyen, yani kesirli ve sonsuz sayı dizisi olan sayılardır. Örneğin, √2, π gibi sayılar irrasyoneldir.
Örnek:
- İki İrrasyonel Sayı:
√2 ve √2 gibi iki irrasyonel sayı seçelim. - Bölme İşlemi:
√2 ÷ √2 = 1
Sonuç:
Bölme işleminin sonucu 1'dir ve 1 bir irrasyonel sayı değildir, tam sayıdır (rasyonel sayı).
Sonuç ve Yorum:
Bu örnek, irrasyonel sayılar kümesinin bölme işlemine göre kapalı olmadığını gösterir. Çünkü iki irrasyonel sayının bölümü her zaman irrasyonel olmaz. Dolayısıyla irrasyonel sayılar bölme işlemine karşı kapalı değildir.