10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 108 Cevapları Hecce Yayıncılık

Soru: f: R → R, f(x) = (2x + 1) / 3 olmak üzere, f fonksiyonunun bire bir ve örten olduğunu gösteriniz.

Çözüm: 1. Bire bir (injektif) olduğunu göstermek için f(x1) = f(x2) olduğunda x1 = x2 olduğunu ispatlamamız gerekir. Fonksiyon tanımına göre, f(x) = (2x + 1) / 3’tür.

Öncelikle, f(x1) = f(x2) olduğunu varsayalım:
(2x1 + 1) / 3 = (2x2 + 1) / 3
Her iki tarafı 3 ile çarparak paydadan kurtulalım:
2x1 + 1 = 2x2 + 1
Her iki taraftan 1 çıkaralım:
2x1 = 2x2
Her iki tarafı 2’ye bölelim:
x1 = x2

Bu nedenle, fonksiyon bire birdir.

2. Örten (surjektif) olduğunu göstermek için, hedef kümesindeki her y değeri için f(x) = y denklemini sağlayan bir x bulunmalıdır. Fonksiyon tanımına göre, f(x) = (2x + 1) / 3’tür.
f(x) = y olduğunu varsayalım:
y = (2x + 1) / 3
Her iki tarafı 3 ile çarparak:
3y = 2x + 1
Her iki taraftan 1 çıkaralım:
3y - 1 = 2x
Her iki tarafı 2’ye bölelim:
x = (3y - 1) / 2

Bu sonuç, her y eleman R için bir x eleman R bulunduğunu gösterir. Bu nedenle fonksiyon örtendir.

Sonuç: Fonksiyon hem bire bir hem de örten olduğu için bijektiftir.