10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 327-331 Cevapları Meb Yayınları

10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 327 Cevapları MEB Yayınları

7. Uygulama - n Tane Farklı Nesne Arasından r Tane Farklı Nesnenin Seçim Sayısının Belirlenmesi

Soru 1 - Aşağıdaki problem durumlarını inceleyerek verilen soruları cevaplayınız.

Problem 1: Erkan telefonundaki uygulamayı kullanarak pizza siparişi vermek istemektedir. Yanda üç malzemeli pizza seçeneklerini inceleyen Erkan’ın telefonunun görseli verilmiştir. Buna göre Erkan’ın içerdiği malzeme bakımından alabileceği kaç farklı pizza seçeneği olduğunu belirleyiniz.

a) Yukarıda verilen problemdeki sayılacak olan nesneleri verilen görsellerden yola çıkarak belirleyiniz.

Kısa Cevap: Mantar, sucuk, biber ve zeytin sayılacak nesnelerdir.

Detaylı Cevap: Bu problemde pizzaya eklenecek malzemeler sayılmaktadır. Görselde verilen malzemeler mantar, sucuk, biber ve zeytin olduğu için sayılacak nesneler bunlardır.

b) Sayılacak nesneler arasındaki ilişkileri belirleyiniz.

Kısa Cevap: 4 farklı malzemeden 3 tanesi seçilecektir.
Seçim yapılırken 1., 2. ve 3. seçim sırası dikkate alınmaktadır.

Detaylı Cevap: Erkan pizzası için toplam 4 farklı malzeme arasından 3 farklı malzeme seçmektedir. Etkinlikte seçimler 1. seçim, 2. seçim, 3. seçim şeklinde verildiği için malzemelerin seçiliş sırası da dikkate alınır. Bu yüzden aynı malzemeler farklı sırayla yazıldığında ayrı durumlar elde edilir.

c) Erkan’ın alacağı pizza için seçebileceği malzemeleri listeleme yaparak belirleyiniz. Bunun için aşağıdaki tabloyu tüm durumları gösterecek şekilde örnekte verildiği gibi doldurunuz.

Kısa Cevap: Tüm olası durumlar aşağıdaki gibidir:

1. Mantar - Zeytin - Biber
2. Mantar - Zeytin - Sucuk
3. Mantar - Biber - Zeytin
4. Mantar - Biber - Sucuk
5. Mantar - Sucuk - Zeytin
6. Mantar - Sucuk - Biber
7. Zeytin - Mantar - Biber
8. Zeytin - Mantar - Sucuk
9. Zeytin - Biber - Mantar
10. Zeytin - Biber - Sucuk
11. Zeytin - Sucuk - Mantar
12. Zeytin - Sucuk - Biber
13. Biber - Mantar - Zeytin
14. Biber - Mantar - Sucuk
15. Biber - Zeytin - Mantar
16. Biber - Zeytin - Sucuk
17. Biber - Sucuk - Mantar
18. Biber - Sucuk - Zeytin
19. Sucuk - Mantar - Zeytin
20. Sucuk - Mantar - Biber
21. Sucuk - Zeytin - Mantar
22. Sucuk - Zeytin - Biber
23. Sucuk - Biber - Mantar
24. Sucuk - Biber - Zeytin

Detaylı Cevap: Bu soruda 4 malzeme arasından 3 tanesi seçiliyor ve sıralama da önemli kabul ediliyor. Bu nedenle her başlangıç malzemesi için farklı ikili sıralamalar oluşturulur. Böylece toplam 24 farklı durum elde edilir.

ç) Mantar (M), Zeytin (Z), Biber (B), Sucuk (S) ile gösterilmek üzere seçilecek malzemelerin belirlenmesi işlemini aşağıdaki çizge yönteminden faydalanarak verilen örneklerdeki gibi yapınız.

Kısa Cevap: Çizge yöntemine göre seçilen malzemeler şunlardır:

M ile başlayanlar: MBS, MBZ, MSB, MSZ, MZB, MZS

B ile başlayanlar: BMS, BMZ, BSM, BSZ, BZM, BZS

Z ile başlayanlar: ZBS, ZBM, ZSB, ZSM, ZMB, ZMS

S ile başlayanlar: SBM, SBZ, SMB, SMZ, SZB, SZM

Detaylı Cevap: Çizge yönteminde ilk malzeme seçildikten sonra geriye kalan malzemelerden ikinci ve üçüncü seçimler yapılır. Her ilk seçim için 6 farklı sıralama oluşur.
Toplamda:

6 + 6 + 6 + 6 = 24 durum vardır.

Bu nedenle Erkan’ın seçebileceği toplam 24 farklı pizza seçeneği bulunmaktadır.

Sonuç: Erkan, 4 farklı malzeme arasından 3 tanesini seçerek toplam 24 farklı pizza seçeneği oluşturabilir.

10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 328 Cevapları MEB Yayınları

7. Uygulama Devamı

Malzemelerin seçilme sırasının oluşturulan pizzaya nasıl bir etkisi olduğunu tablo ve çizgede elde ettiğiniz bulgulara göre değerlendiriniz.

Kısa Cevap: Malzemelerin seçilme sırası pizzayı değiştirmez. Aynı üç malzeme farklı sırayla yazılsa da pizza aynıdır.

Detaylı Cevap: Tablo ve çizgede MBS, MSB, BMS, SBM gibi farklı sıralamalar görülse de bunların hepsi aynı malzemeleri içerir. Bu nedenle seçim sırası değişse bile içerik aynı kaldığı için pizza çeşidi değişmez.

Elde ettiğiniz eşleşmelere göre her iki yöntemde de içerdiği malzeme bakımından kaç farklı pizza seçeneğinin bulunduğunu hesaplayınız.

Kısa Cevap: 4 farklı pizza seçeneği vardır.

Detaylı Cevap: 4 malzemeden 3’ü seçilmektedir. Aynı malzemelerin kendi içindeki farklı sıralamaları aynı pizza sayıldığı için farklı içerikler şunlardır:

1. Mantar - Sucuk - Biber
2. Mantar - Sucuk - Zeytin
3. Mantar - Biber - Zeytin
4. Sucuk - Biber - Zeytin

Bu yüzden toplam 4 farklı pizza yapılabilir.

d) Tüm malzemelerin üçlü sıralanış sayısı ile her 3 malzemenin kendi aralarındaki sıralanış sayısını kullanarak pizza için kullanılacak malzemelerin kaç farklı şekilde seçilebileceğine dair çözüm stratejileri oluşturunuz.

Kısa Cevap: Toplam üçlü sıralanış sayısı 4 . 3 . 2 = 24 tür.
Her 3 malzemenin kendi içindeki sıralanışı 3 . 2 . 1 = 6 dır.

Detaylı Cevap: Önce 4 malzemeden 3 tanesinin sıralı seçimlerini buluruz:

4 . 3 . 2 = 24

Ancak burada aynı 3 malzeme kendi arasında farklı sıralanabildiği için her grup 6 kez sayılmış olur:

3 . 2 . 1 = 6

Bu nedenle gerçek farklı pizza sayısını bulmak için toplam sıralı durumu 6’ya böleriz.

e) Oluşturduğunuz çözüm stratejisini kullanarak kaç farklı seçim yapılabileceğini bulunuz. Bulduğunuz yöntemle elde ettiğiniz sonucu tablo ve çizge yoluyla elde ettiğiniz sonuçla karşılaştırınız.

Kısa Cevap: 24 / 6 = 4 bulunur. Sonuç tablo ve çizge yöntemiyle aynıdır.

Pizza sayısı: 24 / 6 = 4

Burada:

• 24, 4 malzemeden 3’ünün sıralı seçimi
• 6, seçilen 3 malzemenin kendi içindeki sıralanış sayısıdır.

Böylece 4 farklı seçim olduğu bulunur. Bu sonuç, tablo ve çizge yöntemiyle bulunan sonuçla aynıdır.

f) Yapılan çözüme göre nesnelerin seçim sayısı ile sıralanma sayıları arasında nasıl bir ilişki olduğuna dair sizi çözüme ulaştıran stratejilere yönelik çıkarımlar yapınız.

Kısa Cevap: Seçim sayısı, sıralanma sayısının seçilen nesnelerin kendi içindeki sıralanış sayısına bölünmesiyle bulunur.

Detaylı Cevap: Sıralama önemliyse permütasyon, sıralama önemsizse kombinasyon kullanılır. Aralarındaki ilişki şöyledir:

C(n,r) = P(n,r) / r!

Bu soruda:

C(4,3) = P(4,3) / 3! = (4 . 3 . 2) / (3 . 2 . 1) = 24 / 6 = 4

Yani seçim sayısı, sıralı durumların tekrarlarını ayıklayarak bulunur.

g) Sayma yönteminde çözüme ulaşabileceğiniz stratejilere yönelik çıkarımlarınızı kullanışlılık bakımından değerlendiriniz.

Kısa Cevap: Tablo ve çizge yöntemi küçük veri gruplarında, formül yöntemi ise büyük veri gruplarında daha kullanışlıdır.

Detaylı Cevap: Tablo ve çizge yöntemi

• Görsel olduğu için anlaşılması kolaydır.
• Küçük sayılarda kullanışlıdır.
• Büyük sayılarda uzun ve karışık olabilir.

Formül yöntemi

• Daha hızlıdır.
• Büyük veri gruplarında çok daha pratiktir.
• Matematiksel olarak daha sistemli sonuç verir.

Bu yüzden küçük örneklerde tablo-çizge, büyük örneklerde ise formül kullanmak daha uygundur.

Problem 2 - Bir okulun masa tenisi takımında Ayşe, Banu, Ceyda ve Derya isimli öğrenciler bulunmaktadır. Bedene eğitimi öğretmeni bir çiftler maçında bu dört öğrenciden ikisini seçerek takım oluşturmak istemektedir. Öğretmenin kaç farklı takım oluşturabileceğini hesaplayınız.

a) Yukarıda verilen problemdeki sayılacak olan nesneleri belirleyiniz.

Kısa Cevap: Ayşe, Banu, Ceyda ve Derya isimli öğrenciler sayılacak nesnelerdir.

Detaylı Cevap: Bu problemde takım oluşturmak için seçilecek kişiler öğrenciler olduğu için sayılacak nesneler Ayşe, Banu, Ceyda ve Derya adlı öğrencilerdir.

b) Sayılacak nesneler arasındaki ilişkileri belirleyiniz.

Kısa Cevap: 4 öğrenciden 2 tanesi seçilecektir.

Detaylı Cevap: Takım bir çiftler takımı olduğu için toplam 4 öğrenci arasından yalnızca 2 öğrenci seçilecektir. Burada öğrencilerin seçilme sırası önemli değildir; önemli olan aynı takımda bulunmalarıdır.

c) Öğretmenin oluşturacağı takım için seçeceği öğrencileri listeleme yaparak belirleyiniz.

Kısa Cevap: Oluşabilecek takımlar şunlardır:

1. Ayşe - Banu
2. Ayşe - Ceyda
3. Ayşe - Derya
4. Banu - Ceyda
5. Banu - Derya
6. Ceyda - Derya

Detaylı Cevap: 4 öğrenciden 2 kişi seçilerek kurulabilecek tüm farklı çiftler yukarıdaki gibidir. Buna göre öğretmen toplam 6 farklı takım oluşturabilir.

10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 329 Cevapları MEB Yayınları

7. Uygulama Devamı

ç) Seçilecek öğrencilerin belirlenmesi işlemini aşağıda çizge yöntemi ile gösterilen görselden faydalanarak yapınız.

Kısa Cevap: Çizge yöntemine göre oluşan ikili seçimler şunlardır:
Ayşe-Banu, Ayşe-Ceyda, Ayşe-Derya, Banu-Ayşe, Banu-Ceyda, Banu-Derya, Ceyda-Ayşe, Ceyda-Banu, Ceyda-Derya, Derya-Ayşe, Derya-Banu, Derya-Ceyda

Detaylı Cevap: Çizge yönteminde her öğrenci birinci seçilen kişi kabul edilir ve geriye kalan 3 öğrenciden biri ikinci kişi olur. Buna göre tüm sıralı durumlar şunlardır:

• Ayşe, Banu
• Ayşe, Ceyda
• Ayşe, Derya
• Banu, Ayşe
• Banu, Ceyda
• Banu, Derya
• Ceyda, Ayşe
• Ceyda, Banu
• Ceyda, Derya
• Derya, Ayşe
• Derya, Banu
• Derya, Ceyda

Böylece çizgede 12 sıralı durum elde edilir.

Öğrencilerin seçilme sırasının oluşturulan takıma nasıl bir etkisi olduğunu tablo ve çizgede elde ettiğiniz bulgulara göre değerlendiriniz.

Kısa Cevap: Seçilme sırası oluşturulan takımı etkilemez.

Detaylı Cevap: Örneğin Ayşe-Banu ile Banu-Ayşe aynı takımı gösterir. Çünkü takım oluşturulurken önemli olan öğrencilerin birlikte seçilmesidir, seçilme sırası değildir. Bu nedenle sıralama değişse de takım değişmez.

Elde ettiğiniz eşleşmelere göre her iki yöntemde de kaç farklı takım oluşturma seçeneğinin bulunduğunu hesaplayınız.

Kısa Cevap: 6 farklı takım oluşturulabilir.

Detaylı Cevap: Sıralı durumlarda 12 eşleşme görülür. Ancak bunların her biri ikişer kez tekrar eder:

• Ayşe-Banu = Banu-Ayşe
• Ayşe-Ceyda = Ceyda-Ayşe
• Ayşe-Derya = Derya-Ayşe
• Banu-Ceyda = Ceyda-Banu
• Banu-Derya = Derya-Banu
• Ceyda-Derya = Derya-Ceyda

Bu yüzden farklı takımlar şunlardır:

1. Ayşe - Banu
2. Ayşe - Ceyda
3. Ayşe - Derya
4. Banu - Ceyda
5. Banu - Derya
6. Ceyda - Derya

Sonuç olarak 6 farklı takım vardır.

d) Tüm öğrencilerin ikili sıralanış sayısı ile her 2 öğrencinin kendi aralarındaki sıralanış sayısını kullanarak oluşturulacak farklı takımlar için öğrencilerin kaç farklı şekilde seçilebileceğine dair çözüm stratejileri oluşturunuz.

Kısa Cevap: Toplam ikili sıralanış sayısı 4 . 3 = 12’dir.
Her 2 öğrencinin kendi arasındaki sıralanış sayısı 2 . 1 = 2’dir.

Detaylı Cevap: Önce 4 öğrenciden 2 öğrencinin sıralı seçimini buluruz:

4 . 3 = 12

Fakat her takım kendi içinde iki farklı sırayla yazılabilir:

2 . 1 = 2

Yani her takım iki kez sayılmış olur. Bu yüzden gerçek takım sayısını bulmak için 12 sayısını 2’ye bölmek gerekir.

e) Oluşturduğunuz çözüm stratejisini kullanarak kaç farklı seçim yapılabileceğini bulunuz. Bulduğunuz yöntemle elde ettiğiniz sonucu, tablo ve çizge yoluyla elde ettiğiniz sonuçla karşılaştırınız.

Kısa Cevap: 12 / 2 = 6 bulunur. Sonuç tablo ve çizge yöntemiyle aynıdır.

Detaylı Cevap: Bulduğumuz stratejiye göre:

Farklı takım sayısı = 12 / 2 = 6

Bu sonuç, daha önce tablo ve çizge yöntemiyle bulduğumuz 6 farklı takım sonucu ile tamamen aynıdır.

f) Yapılan çözüme göre nesnelerin seçim sayısı ile sıralanma sayıları arasında nasıl bir ilişki olduğuna dair sizi çözüme ulaştıran stratejilere yönelik çıkarımlar yapınız.

Kısa Cevap: Seçim sayısı, sıralanma sayısının tekrar eden sıralama sayısına bölünmesiyle bulunur.

Detaylı Cevap: Sıralama önemli olduğunda permütasyon, sıralama önemli olmadığında kombinasyon kullanılır. Aralarındaki ilişki:

C(n,r) = P(n,r) / r!

Bu soruda:

C(4,2) = P(4,2) / 2! = (4 . 3) / (2 . 1) = 12 / 2 = 6

Yani seçim sayısı, sıralı durumların tekrarlarını kaldırarak elde edilir.

g) Sayma yönteminde çözüme ulaşabileceğiniz stratejilere yönelik çıkarımlarınızı kullanışlılık bakımından değerlendiriniz.

Kısa Cevap: Tablo ve çizge yöntemi küçük gruplarda, formül yöntemi büyük gruplarda daha kullanışlıdır.

Detaylı Cevap: Tablo ve çizge yöntemi

• Görsel ve anlaşılırdır.
• Küçük örneklerde kolay uygulanır.
• Büyük sayılarda uzun ve karışık olabilir.

Formül yöntemi

• Daha hızlı sonuç verir.
• Büyük veri gruplarında çok daha pratiktir.
• Matematiksel olarak daha düzenli bir çözüm sunar.

Bu nedenle az sayıda nesnede tablo ve çizge, çok sayıda nesnede ise formül kullanmak daha uygundur.

10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 330 Cevapları MEB Yayınları

7. Uygulama Devamı

Problem 3 - Elif özdeş 3 mavi ve özdeş 2 kırmızı bilye ile bilyelerin yerleştirildiği bir stanttan oluşan dekoratif bir obje satın almıştır. Aşağıda da objenin görseli verilmiştir. Elif bilyeleri standa rastgele yerleştirerek birbirinden farklı görseller oluşturuyor. Buna göre Elif’in kaç farklı görsel oluşturabileceğini hesaplayınız.

a) Yukarıda verilen problemdeki sayılacak olan nesneleri belirleyiniz.

Kısa Cevap: Özdeş 3 mavi bilye ve özdeş 2 kırmızı bilye sayılacak nesnelerdir.

Detaylı Cevap: Bu problemde standa yerleştirilecek nesneler bilyelerdir. Bilyeler renklerine göre ayırt edilmektedir. Buna göre sayılacak nesneler 3 mavi bilye ile 2 kırmızı bilyedir.

b) Sayılacak nesneler arasındaki ilişkileri belirleyiniz.

Kısa Cevap: 5 bölmeden 3 tanesine mavi, 2 tanesine kırmızı bilye yerleştirilecektir.

Detaylı Cevap: Stantta toplam 5 yer vardır. Bu yerlere 3 mavi ve 2 kırmızı bilye konulacaktır. Aynı renkteki bilyeler özdeş olduğu için önemli olan hangi yerlere mavi ve hangi yerlere kırmızı bilye geldiğidir.

c) Bilyelerin renklere göre stantta oluşturacağı görselleri belirlemek için aşağıda verilen tabloyu tüm durumları gösterecek şekilde örnekte verildiği gibi doldurunuz.

Kısa Cevap: Oluşabilecek tüm farklı görseller şunlardır:

1. Kırmızı - Mavi - Mavi - Kırmızı - Mavi
2. Kırmızı - Mavi - Mavi - Mavi - Kırmızı
3. Kırmızı - Mavi - Kırmızı - Mavi - Mavi
4. Kırmızı - Kırmızı - Mavi - Mavi - Mavi
5. Kırmızı - Mavi - Kırmızı - Mavi - Mavi
6. Mavi - Kırmızı - Mavi - Kırmızı - Mavi
7. Mavi - Kırmızı - Mavi - Mavi - Kırmızı
8. Mavi - Mavi - Kırmızı - Kırmızı - Mavi
9. Mavi - Mavi - Kırmızı - Mavi - Kırmızı
10. Mavi - Mavi - Mavi - Kırmızı - Kırmızı

Detaylı Cevap: Bu soruda farklı görseller, 5 sıradaki renk dizilişleri ile belirlenir. 3 tane mavi ve 2 tane kırmızı bilye olduğu için tekrar etmeyen tüm renk dizilişleri yazılır. Böylece toplam 10 farklı görsel elde edilir.

Düzenli listeleme şu şekilde de gösterilebilir:

• K K M M M
• K M K M M
• K M M K M
• K M M M K
• M K K M M
• M K M K M
• M K M M K
• M M K K M
• M M K M K
• M M M K K

ç) Standın 5 bölmesinden üçüne mavi, ikisine kırmızı bilyeler konulacaktır. Aşağıda mavi bilyelerin konulacağı 3 bölme için örnek bir durum gösterilmiştir. Mavi bilyelerin bu üç bölmeye hangi sırayla konulduğunu gösteren aşağıdaki tabloyu tüm durumları içerecek şekilde örnekteki gibi doldurunuz.

Kısa Cevap: Mavi bilyelerin yerleştirilme sıraları şunlardır:

1. 1 - 2 - 3
2. 1 - 3 - 2
3. 2 - 1 - 3
4. 2 - 3 - 1
5. 3 - 1 - 2
6. 3 - 2 - 1

Detaylı Cevap: Mavi bilyelerin konulacağı 3 farklı yer belirlendiğinde, bu 3 yere yerleşme sıraları kendi arasında değişebilir.
3 özdeş mavi bilye için örnekte gösterilen bölmelere geliş sırası şu 6 şekilde yazılabilir:

• 1, 2, 3
• 1, 3, 2
• 2, 1, 3
• 2, 3, 1
• 3, 1, 2
• 3, 2, 1

Bu tablo, aynı yerlere konulsa bile yerleştirme sırasının 6 farklı biçimde yazılabileceğini gösterir.

Bilyelerin stanta konulma sırasının oluşan görünüme nasıl bir etkisi olduğunu tablodan elde ettiğiniz bulgulara göre değerlendiriniz. Sadece mavilerin ya da sadece kırmızıların konulacağı yerleri belirlemek, istenenin hesaplanması için yeterli midir? Açıklayınız.

Kısa Cevap: Bilyelerin konulma sırası görünümü etkilemez.
Evet, sadece mavilerin yerlerini belirlemek yeterlidir.

Detaylı Cevap: Mavi bilyeler özdeş, kırmızı bilyeler de özdeş olduğu için aynı renk bilyelerin yerleştirilme sırası değişse bile oluşan görünüm değişmez. Önemli olan hangi bölmelerin mavi, hangi bölmelerin kırmızı olduğudur.

Bu nedenle sadece mavi bilyelerin konulacağı 3 yeri belirlemek yeterlidir. Çünkü 5 yerin 3’ü mavi olursa, kalan 2 yer otomatik olarak kırmızı olur. Aynı şekilde yalnız kırmızıların yerleri seçilse de sonuç bulunabilir.

Sonuç: Elif toplam 10 farklı görsel oluşturabilir.

Çünkü:

C(5,3) = 10
veya
C(5,2) = 10

10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 331 Cevapları MEB Yayınları

7. Uygulama Devamı

Problem 3 Devamı - d) Sayma stratejileri kullanarak mavi bilyelerin standın 5 bölmesinden üçüne konulma sayısı ile mavi bilyelerin kendi arasındaki sıralanış sayısını kullanarak oluşturulacak farklı görseller için çözüm stratejileri oluşturunuz. Sadece mavi bilyelerin oluşturduğu farklı görsel sayısından faydalanarak tüm bilyelerin oluşturacağı farklı görsel sayısına nasıl ulaşabiliriz? Açıklayınız.

Kısa Cevap: 5 bölmeden 3’ü mavi bilyeler için seçilir. Bu seçim sayısı C(5,3) = 10 dur.
Sadece mavilerin yerleri belirlendiğinde kalan 2 yer otomatik olarak kırmızı olur.

Detaylı Cevap: Standta toplam 5 bölüm vardır. Bu bölmelerden 3 tanesine mavi bilye yerleştirilecektir. Mavi bilyelerin konulacağı yerleri seçme sayısı:

C(5,3) = 5! / (2! . 3!) = 10

Burada mavi bilyeler özdeş olduğu için kendi aralarındaki yer değiştirme yeni bir görünüm oluşturmaz. Bu yüzden yalnızca hangi 3 yere mavi bilye geldiği önemlidir. Mavilerin yeri seçildiğinde diğer 2 yer kırmızı olacağı için tüm görsel sayısı da 10 olur.

e) Oluşturduğunuz çözüm stratejisini kullanarak kaç farklı görsel oluşturulabileceğini bulunuz. Bulduğunuz yöntemle elde ettiğiniz sonucu, tablo yoluyla elde ettiğiniz sonuçla karşılaştırınız. Problemi önce kırmızıların yerleştirilmesi şeklinde ele alarak benzer şekilde tekrar çözünüz ve sonuçları karşılaştırınız.

Kısa Cevap: 10 farklı görsel oluşturulabilir.
Bu sonuç tablo yöntemiyle bulunan sonuçla aynıdır.
Kırmızıların yerleri seçilerek de yine 10 bulunur.

Detaylı Cevap: Mavi bilyelerin yerleri seçilirse:

C(5,3) = 10

Kırmızı bilyelerin yerleri seçilirse:

C(5,2) = 10

Her iki durumda da aynı sonuç elde edilir. Çünkü mavilerin yerleri belirlenince kırmızılar, kırmızıların yerleri belirlenince de maviler otomatik olarak belirlenmiş olur. Tabloyla bulunan sonuç da 10 farklı durum olduğundan yöntemler birbiriyle uyumludur.

f) Problemi özdeş nesnelerin sıralanması olarak düşünerek çözünüz ve elde ettiğiniz önceki sonuçların doğruluğunu kontrol ediniz.

Kısa Cevap: Problem özdeş nesnelerin sıralanması şeklinde çözülürse sonuç yine 10 bulunur.

Detaylı Cevap: Elimizde toplam 5 bilye vardır:

• 3 mavi
• 2 kırmızı

Bu durum, tekrar eden elemanların sıralanmasıdır. Buna göre farklı sıralanış sayısı:

5! / (3! . 2!) = 120 / (6 . 2) = 120 / 12 = 10

Böylece önceki yöntemlerle bulunan sonucun doğru olduğu görülür. Yani Elif toplam 10 farklı görsel oluşturabilir.

g) Yapılan çözüme göre nesnelerin seçim sayısı ve sıralanma sayıları arasında nasıl bir ilişki olduğuna dair sizi çözüme ulaştıran stratejilere yönelik çıkarımlar yapınız.

Kısa Cevap: Nesneler farklıysa sıralama sayıları permütasyonla, özdeş nesneler varsa tekrar eden durumlar dikkate alınarak bulunur.

Detaylı Cevap: Bu soruda bazı bilyeler özdeş olduğu için her sıralama farklı bir görünüm oluşturmaz. Aynı renkte olan bilyelerin yer değiştirmesi görünümü değiştirmediğinden, toplam sıralama sayısından tekrar eden durumlar çıkarılır.
Bu nedenle:

• Farklı nesnelerde doğrudan sıralama yapılır.
• Özdeş nesnelerde tekrar eden dizilişler bölünerek ayıklanır.

Buradan seçim ve sıralama arasında güçlü bir ilişki olduğu anlaşılır.

h) Sayma yönteminde çözüme ulaşabileceğiniz stratejilere yönelik çıkarımlarınızı kullanışlılık bakımından değerlendiriniz.

Kısa Cevap: Tablo yöntemi küçük gruplarda, formül yöntemi büyük gruplarda daha kullanışlıdır.

Tablo yöntemi

• Küçük veri gruplarında kullanışlıdır.
• Görsel olarak anlamayı kolaylaştırır.
• Veri sayısı arttıkça karışık hâle gelir.

Formül yöntemi

• Daha hızlı sonuç verir.
• Büyük veri gruplarında daha etkilidir.
• Matematiksel olarak daha sistemlidir.

Bu yüzden az sayıda durumda tablo, çok sayıda durumda ise formül yöntemi tercih edilmelidir.

2. Verilen problem durumlarında seçim sayısının elde edilebilmesi için ortak olarak aşağıda verilen çözüm stratejileri kullanılmıştır.

Buna göre n tane farklı nesne içerisinden r tane farklı nesnenin seçim sayısının belirlenmesi için nasıl bir yol izleneceğini açıklayınız ve cebirsel olarak ifade ediniz.

Kısa Cevap: Önce n nesneden r tanesinin sıralanış sayısı bulunur. Daha sonra aynı seçimin kendi içindeki r! kadar tekrarı olduğu için bu sayı r!’ye bölünür.

Detaylı Cevap: n tane farklı nesneden r tane farklı nesne seçilirken önce sıralı seçim sayısı düşünülür:

P(n,r) = n! / (n-r)!

Ancak seçimde sıra önemli olmadığı için aynı r nesne kendi arasında r! farklı biçimde sıralanabilir. Bu nedenle tekrar eden sıralamalar ayıklanır:

C(n,r) = P(n,r) / r!

Buradan seçim sayısı formülü elde edilir:

C(n,r) = n! / ((n-r)! . r!)

Bu ifade, n tane farklı nesne arasından r tane farklı nesnenin seçim sayısını verir.

Örnekler

1. Örnek: C(10,3) = 10! / (7! . 3!) = (10 . 9 . 8) / (3 . 2 . 1) = 120

2. Örnek: C(17,4) = 17! / (13! . 4!) = (17 . 16 . 15 . 14) / (4 . 3 . 2 . 1) = 2380