10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 371 Cevapları Meb Yayınları

10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 371 Cevapları MEB Yayınları

Alıştırmalar

Soru 1: Konumları dik koordinat sistemindeki sıralı ikililerle gösterildiği aşağıdaki haritada A(−1, 3) noktasında bulunan bir araç ile B(6, 4) noktasında bulunan başka bir araç, bulundukları noktalardan eşit hızlarla aynı anda harekete başlayıp doğrusal bir rotada ilerlemektedir. Araçların hareketleri boyunca x ekseni üzerindeki C noktasına aynı anda ulaştıklarına göre C noktasının koordinatlarını bulunuz.

Kısa Cevap: C noktası (3, 0) olur.

Detaylı Cevap: Araçlar eşit hızla ve aynı anda harekete başlayıp C noktasına aynı anda ulaştıklarına göre aldıkları yollar eşittir. Yani:

AC = BC

C noktası x ekseni üzerinde olduğundan koordinatları C(x, 0) biçimindedir.

Uzaklık formülünü kullanalım:

AC = √((x − (−1))² + (0 − 3)²)
BC = √((x − 6)² + (0 − 4)²)

Eşitleyelim:

√((x + 1)² + (−3)²) = √((x − 6)² + (−4)²)

Karelerini alalım:

(x + 1)² + 9 = (x − 6)² + 16

Açalım:

x² + 2x + 1 + 9 = x² − 12x + 36 + 16
x² + 2x + 10 = x² − 12x + 52

Benzer terimleri sadeleştirelim:

2x + 10 = −12x + 52
14x = 42
x = 3

Buna göre:

C = (3, 0)

Soru 2: Hareket hâlindeki bir gezegen ile bu gezegen etrafında dairesel bir yörüngede hareket eden uydusunun iki farklı konumu aşağıda verilen görselle modellenmiştir. Bu modellemede konumlar dik koordinat sistemindeki sıralı ikililerle ifade edilmektedir. Şekil 1’de gezegenin konumu A(0, 0) iken uydusunun konumu B(−3, 11) olarak verilmiştir. Şekil 2’de ise gezegenin konumu C(2, −1) noktasına gelirken uydusunun son bulunduğu konum D(−7, k) noktasında bulunduğu gösterilmiştir. Buna göre uydunun son bulunduğu konumdaki k’nin alabileceği değerleri bulunuz.

Kısa Cevap: k = 6 veya k = −8 olur.

Detaylı Cevap: Uydu, gezegen etrafında dairesel yörüngede hareket ettiğine göre gezegen ile uydu arasındaki uzaklık sabittir.

Şekil 1’de:

A(0, 0)
B(−3, 11)

Bu durumda yarıçap:

AB = √((−3 − 0)² + (11 − 0)²)
AB = √((−3)² + 11²)
AB = √(9 + 121)
AB = √130

Şekil 2’de gezegen C(2, −1), uydu D(−7, k) noktasındadır. Aynı yarıçap korunacağı için:

CD = √130

Yani:

√((−7 − 2)² + (k − (−1))²) = √130

√((−9)² + (k + 1)²) = √130

Karelerini alalım:

81 + (k + 1)² = 130

(k + 1)² = 49

k + 1 = 7 veya k + 1 = −7

Buradan:

k = 6 veya k = −8

Soru 3: Bir cisim herhangi bir noktasından asılmış ise asıldığı noktadan geçen düşey doğrultu, ağırlık merkezinden geçecek şekilde dengede kalır. Dik koordinat sistemiyle modellenen bir ortamda üçgen şeklindeki bir levha Şekil 1’deki gibi bir ip ile tavana asıldığında ip G noktasından geçecek şekilde dik konumda durmuştur. Bu durumda üçgen köşelerinin koordinatları A(0, 40), B(30, 0) ve C(−30, −40) olarak ölçülmüştür. Aynı levha Şekil 2’deki gibi asıldığında da ip yine G noktasından geçecek şekilde dengede kalırken üçgenin diğer iki köşesinin koordinatları D(−24, 32), E(0, −50) olarak ölçülmüştür. Buna göre üçgenin F köşesinin koordinatlarını belirleyiniz.

Kısa Cevap: F köşesinin koordinatları (24, 18) olur.

Detaylı Cevap: Bir üçgenin ağırlık merkezi köşe koordinatları kullanılarak bulunur:

G = ((x₁ + x₂ + x₃) / 3, (y₁ + y₂ + y₃) / 3)

Şekil 1’de üçgenin köşeleri:

A(0, 40), B(30, 0), C(−30, −40)

Ağırlık merkezini bulalım:

G = ((0 + 30 + (−30)) / 3, (40 + 0 + (−40)) / 3)
G = (0 / 3, 0 / 3)
G = (0, 0)

Aynı levha Şekil 2’de de asıldığında ağırlık merkezi değişmez. O hâlde D, E ve F noktalarından oluşan üçgenin ağırlık merkezi de (0, 0) olmalıdır.

Verilenler:

D(−24, 32), E(0, −50), F(x, y)

Ağırlık merkezi formülünü uygulayalım:

((−24 + 0 + x) / 3, (32 + (−50) + y) / 3) = (0, 0)

Buradan:

−24 + x = 0
x = 24

ve

32 − 50 + y = 0
−18 + y = 0
y = 18

Sonuç olarak: F = (24, 18)

Soru 4: Bir piste iniş yapmaya hazırlanan uçak, piste uzaklığı 1800 metre olduğunda anda alçalmaya başlıyor. Bu andan sonra aşağıdaki görselde gibi doğrusal bir rotada piste doğru ilerleyen bu uçağın bulunduğu konumlar dik koordinat sistemiyle modellenen bir programda sıralı ikililerle ifade edilmektedir. Uçağın piste uzaklığı 1800 metre olduğunda hava konumu A(−6, 3) noktası iken 1400 metre olduğunda B(0, −1) noktası olarak ölçülmüştür. Buna göre uçağın piste uzaklığının 800 metre olduğu andaki konumunu gösteren C(x, y) noktasının koordinatlarını belirleyiniz.

Kısa Cevap: C noktası (9, −7) olur.

Detaylı Cevap: Uçak doğrusal bir rotada ilerlediği için noktalar aynı doğru üzerindedir.

Verilenler:

A(−6, 3) → piste uzaklık 1800 m
B(0, −1) → piste uzaklık 1400 m
C(x, y) → piste uzaklık 800 m

Önce uzaklık farklarını bulalım:

1800 − 1400 = 400 m
1400 − 800 = 600 m

Yani A’dan B’ye olan ilerleme ile B’den C’ye olan ilerleme oranı:

400 : 600 = 2 : 3

Şimdi A’dan B’ye koordinat değişimini bulalım:

(0 − (−6), −1 − 3) = (6, −4)

B’den C’ye geçerken bu vektörün 3/2 katı alınır:

(6, −4) · (3 / 2) = (9, −6)

B noktasına ekleyelim:

C = (0 + 9, −1 + (−6))
C = (9, −7)

Sonuç: C(9, −7)