10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 384-385 Cevapları Meb Yayınları

10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 384 Cevapları MEB Yayınları

Alıştırmalar Cevapları

Soru 1: Bir kayak merkezinde teleferik kabinlerinin hareketi, dik koordinat sistemiyle modellenen bir bilgisayar programı tarafından takip edilmektedir. Teleferik, yandaki görseldeki gibi eğimli düz bir hat boyunca ilerlemektedir. Kabinlerin konumları (x, y) koordinatları ile ifade edilirken x kabinin aldığı yatay mesafeyi, y ise kabinin aldığı dikey mesafeyi göstermektedir. Program; teleferikteki üç kabinin koordinatlarını A(16, −5), B(10, −3) ve C(x, 1) olarak belirlemiştir.

a) C noktasındaki kabinin apsisini gösteren x değerini bulunuz.

Kısa Cevap: x = −2

A, B ve C noktaları aynı doğru üzerinde olduğundan eğimleri eşittir.

A(16, −5), B(10, −3)

Eğim:

m = (−3 − (−5)) / (10 − 16)
m = 2 / (−6) = −1/3

Şimdi B ve C için:

m = (1 − (−3)) / (x − 10)
−1/3 = 4 / (x − 10)

Çözelim:

−1/3 = 4 / (x − 10)
−(x − 10) = 12
−x + 10 = 12
−x = 2
x = −2

b) B noktasındaki kabin, A noktasına gelinceye kadar yatayda 24 metre ilerleyeceğine göre B noktasındaki kabinin C noktasına geldiğinde kaç metre yükseleceğini bulunuz.

Kısa Cevap: 16 metre yükselir

Eğim: m = −1/3

Bu, yatayda 3 birim ilerlerken dikeyde 1 birim değişim demektir.

Yatay değişim: 24 metre

Oranlayalım:

3 birimde → 1 birim
24 metrede → 8 birim

Ancak yön yukarı olduğundan:

yükseklik artışı = 16 metre

c) x ile y arasındaki ilişkiyi ifade eden denklemi yazınız.

Kısa Cevap: 3y + x = 1

Eğim: m = −1/3

Doğru denklemi: y = mx + n

B(10, −3) noktasını yerine yazalım:

−3 = (−1/3).10 + n
−3 = −10/3 + n
n = 1/3

Denklem: y = −1/3 x + 1/3

Her iki tarafı 3 ile çarpalım:

3y = −x + 1
3y + x = 1

ç) Bu ilişkiyi temsil eden denklemi alt grafiği dik koordinat sistemi üzerinde gösteriniz.

Kısa Cevap: Grafik, 3y + x = 1 doğrusudur.

Denklem: 3y + x = 1

İki nokta bulalım:

• x = 0 → y = 1/3 → (0, 1/3)
• y = 0 → x = 1 → (1, 0)

Bu iki nokta işaretlenip birleştirilir.

Grafik negatif eğimli bir doğrudur.

Soru 2: Bir tabloyu duvara asmak için tabloya bağlı ip dengeli bir şekilde çiviye takılmalıdır. İpin uçları, tablonun üst köşelerinde bulunan iki sabit noktaya takılır. İp çiviye takılarak denge noktası bulunur. Ece, yukarıda verilen tablonun duvarda dengeli ve düzgün durabilmesini sağlayan doğru konumu matematiksel olarak bulmak istemektedir. Bunun için dik koordinat sistemiyle modellenmiş programa değerler girmiş ve ipin tabloya takıldığı noktaları A(2, 3) ve B(8, 7) olarak belirlemiştir. Buna göre çivinin A ve B noktalarına göre hangi doğrunun üzerinde olması gerektiğini ve bu doğrunun denklemini bulunuz.

Kısa Cevap: Doğru denklemi: 3x + 2y − 25 = 0

Çivi, ipin orta dikmesi üzerinde olmalıdır.

1. Orta nokta:

M = ((2 + 8)/2 , (3 + 7)/2)
M = (5, 5)

2. AB eğimi:

m = (7 − 3) / (8 − 2) = 4/6 = 2/3

Dik doğrunun eğimi:

−3/2

3. Denklem: y − 5 = (−3/2)(x − 5)

Açalım:

y − 5 = −3/2 x + 15/2
y = −3/2 x + 25/2

Her iki tarafı 2 ile çarpalım:

2y = −3x + 25
3x + 2y − 25 = 0

10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 385 Cevapları MEB Yayınları

Soru 3: Güneş enerjisinden azami şekilde faydalanmak için güneş panellerinin yerleştirileceği eğim açısı doğru bir şekilde belirlenmelidir. Yandaki eğim açısının ölçüsü 0° olan bir panel görseli verilmiştir. Ekvator’da panel eğim açısı 3° olarak ayarlanırken enlem değerindeki her bir birimlik artış panelin eğim açısı ölçüsünde 0,9°’lik bir artışa sebep olmaktadır.

a) Enlem değeri (x) ile panel eğim açısı ölçüsü (y) arasındaki ilişkiyi temsil eden denklemi yazınız.

Kısa Cevap: y = 0,9x + 3

Ekvator’da (x = 0) eğim açısı 3° olduğuna göre başlangıç değeri 3’tür.
Her 1 birim enlem artışında eğim 0,9° artar.

Doğru denklemi: y = mx + n

Burada:

• m = 0,9
• n = 3

Sonuç:

y = 0,9x + 3

b) Bu ilişkiyi temsil eden denkleme ait grafiği dik koordinat sisteminde gösteriniz.

Kısa Cevap: Grafik, y = 0,9x + 3 doğrusudur.

Grafik için iki nokta yeterlidir:

• x = 0 → y = 3 → (0, 3)
• y = 0 için:
  0 = 0,9x + 3
  x = -10/3

Noktalar: (0, 3) ve (-10/3, 0)

Bu iki nokta birleştirilerek grafik çizilir.
Doğru pozitif eğimlidir (yükselen doğru).

c) 36-42 kuzey enlemleri arasında Türkiye’deki şehirlerde güneş paneli eğim açısı ölçüsünün hangi değerler arasında olması gerektiğini belirleyiniz.

Kısa Cevap: 35,40 ≤ y ≤ 40,80

Denklem: y = 0,9x + 3

Sınırlar:

x = 36 için:
y = 0,9·36 + 3 = 32,4 + 3 = 35,4

x = 42 için:
y = 0,9·42 + 3 = 37,8 + 3 = 40,8

Sonuç: 35,4° ile 40,8° arasında olmalıdır.

Soru 4: Bir sporcu, antrenman yaparken zamana bağlı olarak kalori harcamaktadır. Dakikada 12 kalori harcayan sporcunun antrenmanın başlangıcında metabolik faaliyetler nedeniyle 30 kalori harcadığı kabul edilmektedir.

a) Dakikalar (x) ile toplam harcanan kalori (y) arasındaki ilişkiyi temsil eden denklemi yazınız.

Kısa Cevap: y = 12x + 30

• Dakikada harcanan kalori: 12 → eğim (m)
• Başlangıç kalorisi: 30 → sabit terim (n)

Denklem: y = 12x + 30

b) Sporcunun 45 dakika süren antrenman sonunda toplam kaç kalori harcadığını bulunuz.

Kısa Cevap: 570 kalori

y = 12x + 30

y = 12·45 + 30
y = 540 + 30
y = 570

c) Sporcu, toplamda 150 kalori harcamışsa antrenman süresinin kaç dakika sürdüğünü bulunuz.

Kısa Cevap: 10 dakika

150 = 12x + 30
120 = 12x
x = 10

ç) Bu ilişkiyi temsil eden denkleme ait grafiği dik koordinat sistemi üzerinde gösteriniz.

Kısa Cevap: Grafik, y = 12x + 30 doğrusudur.

İki nokta:

• x = 0 → y = 30 → (0, 30)
• y = 0 için:
  0 = 12x + 30 → x = -5/2

Noktalar: (0, 30) ve (-5/2, 0)

Bu noktalar birleştirilerek doğru çizilir.
Grafik pozitif eğimli bir doğrudur.

Farklı Kaydet (Kısa Notlar)

Kısa Cevap: Bu temada eğim, doğru denklemi ve iki nokta arası uzaklık konularını öğrendim. Doğruların paralel, dik ve kesişen olma durumlarını ayırt edebilirim.

Detaylı Notlar:

Eğim (m):
m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)
Doğrunun ne kadar eğimli olduğunu gösterir.

Doğru Denklemi:
y = mx + n
m = eğim, n = y eksenini kestiği nokta.

İki Nokta Arası Uzaklık: |AB| = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)

Orta Nokta: M = ((x₁ + x₂)/2 , (y₁ + y₂)/2)

Ağırlık Merkezi: G = ((x₁ + x₂ + x₃)/3 , (y₁ + y₂ + y₃)/3)

Doğruların Durumları:

• Paralel doğrular → eğimleri eşittir (m₁ = m₂)
• Dik doğrular → eğim çarpımı −1 (m₁ · m₂ = −1)
• Kesişen doğrular → eğimleri farklıdır

Genel Özet: Eğim ve doğru denklemi sayesinde gerçek hayattaki birçok problemi (yol, hız, sıcaklık, yükseklik vb.) matematiksel olarak modelleyebilirim.