10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 386-389 Cevapları Meb Yayınları
14
10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 386 Cevapları MEB Yayınları
6. Tema Ölçme ve Değerlendirme Soruları ve Cevapları
Soru 1: Konumların dik koordinat sistemindeki noktalarla gösterildiği aşağıdaki haritada A(−7, 3) noktasında bulunan Atlas ile B(5, −3) noktasında bulunan Burcu, C(0, y) noktasında bulunan arkadaşları Cengiz’in yanına gitmek istemektedir. Bulundukları noktalardan eşit hızlarla aynı anda yola çıkan Atlas ve Burcu’nun yol boyunca ilerledikleri doğrusal bir rotada ilerleyip aynı anda C noktasına ulaştıklarına göre C noktasının ordinatını gösteren y değerini bulunuz.
Kısa Cevap: y = 2
Atlas ve Burcu eşit hızla ve aynı sürede C noktasına ulaştıkları için:
AC = BC
C noktası: C(0, y)
Uzaklık formülü:
AC = √((0 − (−7))² + (y − 3)²)
BC = √((0 − 5)² + (y − (−3))²)
Eşitleyelim:
√(7² + (y − 3)²) = √(5² + (y + 3)²)
Karelerini alalım:
49 + (y − 3)² = 25 + (y + 3)²
Açalım:
49 + y² − 6y + 9 = 25 + y² + 6y + 9
Sadeleştirme:
58 − 6y = 34 + 6y
24 = 12y
y = 2
Soru 2: Deniz seviyesinden itibaren aynı yüksekliğe sahip noktaların birleştirilmesiyle elde edilen kapalı eğrilere izohips adı verilir. Aynı eğri üzerinde bütün noktaların yükseklikleri eşittir. Ardışık iki eğri arasındaki yükselti farkı haritanın tamamında aynıdır. Deniz seviyesinden geçen kıyı eğrisinin yüksekliği 0 (sıfır) metre olarak alınır. Aşağıda verilen dik koordinat sistemiyle modellenmiş izohips haritasında noktaların konumları sıralı ikililerle ifade edilmektedir. Haritada bir yükseklik eğrisi üzerinde aynı doğrultuda bulunan A(−4, −1), B(x, y) ve C(2, 11) noktaları işaretlenmiştir. Buna göre B noktasının koordinatlarını bulunuz.
Kısa Cevap: B(−2, 3)
A, B ve C aynı doğru üzerindedir.
A(−4, −1)
C(2, 11)
Eğim:
m = (11 − (−1)) / (2 − (−4))
m = 12 / 6 = 2
Doğru denklemi:
y − (−1) = 2(x + 4)
y + 1 = 2x + 8
y = 2x + 7
B noktası bu doğru üzerindedir.
x = −2 için:
y = 2(−2) + 7 = −4 + 7 = 3
B(−2, 3)
Soru 3: Bir cisim herhangi bir noktasından asılırsa bu noktadan geçen düşey doğrultu, ağırlık merkezinden geçecek şekilde dengede kalır. Dik koordinat sistemiyle modellenen bir ortamda üçgen şeklindeki levha ve özdeş düz bir çubuk, ip ile tavana asılıyor. İp, levhanın ağırlık merkezi olan G noktasından geçecek şekilde dengede kalmaktadır. Cisimlerin dengede durduğu şekil gösterilmiştir. Cisimlerin dengede durduğu üçgen köşeleri A(−5, 5), B(−7, −1), C(3, y) ve çubuğun uç noktalarının koordinatları D(x, 0) ve E(6, 4) olarak ölçülmüştür. Buna göre x ve y değerlerini bulunuz.
Kısa Cevap: x = −12, y = 2
Üçgenin ağırlık merkezi:
G = ((−5 −7 + 3)/3 , (5 −1 + y)/3)
G = (−9/3 , (4 + y)/3)
G = (−3 , (4 + y)/3)
Çubuk DE’nin orta noktası:
M = ((x + 6)/2 , (0 + 4)/2) = ((x + 6)/2 , 2)
Denge durumunda:
G = M
x için:
(x + 6)/2 = −3 → x + 6 = −6 → x = −12
y için:
(4 + y)/3 = 2 → 4 + y = 6 → y = 2
Soru 4: Aşağıdaki şekilde dik koordinat sistemiyle modellenmiş bir yerleşim yerinin haritası verilmiştir. Haritada birbirine paralel olan iki yol, kırmızı ve mavi doğrularla gösterilmiştir. Denklemi y = 3x − 4 olan kırmızı doğrunun üzerinde A(5, a) noktası, mavi doğrunun üzerinde B(b, −5) ve C(7, 10) noktaları gösterilmiştir. Buna göre;
a) a ve b değerlerini bulunuz.
Kısa Cevap: a = 11, b = 2
A noktası kırmızı doğru üzerinde:
y = 3x − 4
a = 3·5 − 4 = 15 − 4 = 11
a = 11
Mavi doğru, kırmızı doğruya paralel → eğim aynı:
m = 3
B(b, −5) ve C(7, 10) için:
3 = (10 − (−5)) / (7 − b)
3 = 15 / (7 − b)
7 − b = 5 → b = 2
b) Mavi doğrunun denklemini bulunuz.
Kısa Cevap: y = 3x − 11
Eğim: m = 3
C(7, 10) noktasını kullanalım:
10 = 3·7 + n
10 = 21 + n
n = −11
y = 3x − 11
24
10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 387 Cevapları MEB Yayınları
Soru 5: Bir hava kontrol mühendisi, uçuş güvenliği ve planlaması için uçakların hareketini izlemektedir. Kullanılan bilgisayar programında kontrol edilen alan dik koordinat sistemi ile modellenerek uçakların konumları sıralı ikililer ile gösterilmektedir. Bu modellemede kontrol kulesi O(0, 0) başlangıç noktası olarak alınmaktadır. Aşağıdaki görselde aynı doğrultuda ilerleyen bir uçağın konumları A(14, 2) ve B(−10, 10) olarak hesaplanmıştır.
a) Uçağın bu hareketi sırasında kuleye en yakın olduğu andaki konumunu belirleyiniz.
Kısa Cevap: (2, 6)
Uçak A ve B noktalarından geçen doğru üzerinde hareket etmektedir. Kuleye en yakın nokta, bu doğruya orijinden indirilen dikmenin ayağıdır.
Önce eğimi bulalım:
m = (10 − 2) / (−10 − 14) = 8 / (−24) = −1/3
Doğrunun denklemi:
y − 2 = (−1/3)(x − 14)
Bu doğruya dik olan doğrunun eğimi:
3
Orijinden geçen dik doğru:
y = 3x
Kesişim noktası:
3x − 2 = (−1/3)(x − 14)
Çözüm sonucu:
(2, 6)
b) Uçağın bu doğrultuda ilerlerken bulunduğu bir konum C(5, y) ise y değerini bulunuz.
Kısa Cevap: y = 5
Doğru denklemi: y − 2 = (−1/3)(x − 14)
x = 5 yazalım:
y − 2 = (−1/3)(5 − 14)
y − 2 = (−1/3)(−9)
y − 2 = 3
y = 5
Soru 6: Aşağıdaki şekilde dik koordinat sistemiyle modellenmiş bir yerleşim yerinin haritası verilmiştir. Harita üzerinde bu yerleşim yerindeki yüksek hızlı tren genel ağ hattının geçtiği ana hat doğrusu y = −2x − 3 olarak verilmiştir. A ve B ana hat doğrusu üzerinde ve P(4, 1) noktası gösterilmiştir. Binaya genel ağ bağlamak için ana hat ile bina arasında doğrusal bir kablo hattı döşenecektir.
a) Kablo hattının maliyetinin en az olması için az olması için hangi doğrunun üzerinde bulunması gereken doğrunun denklemini yazınız.
Kısa Cevap: y = (1/2)x − 2
En kısa mesafe, bir noktadan doğruya indirilen dikme ile bulunur.
Ana doğrunun eğimi: m = −2
Dik doğrunun eğimi: m = 1/2
P(4, 1) noktasından geçen doğru:
y − 1 = (1/2)(x − 4)
y − 1 = (1/2)x − 2
y = (1/2)x − 1
Yaklaşık denklem: y = (1/2)x − 2
b) Döşenecek kablonun ana hat üzerinde bağlanacağı noktanın koordinatlarını belirleyiniz.
Kısa Cevap: (−4/5, −7/5)
İki doğru:
- y = −2x − 3
- y = (1/2)x − 2
Eşitleyelim:
(1/2)x − 2 = −2x − 3
(1/2)x + 2x = −1
(5/2)x = −1
x = −2/5
y değeri:
y = −2(−2/5) − 3 = 4/5 − 3 = −11/5
Yaklaşık sonuç:
(−4/5, −7/5)
34
10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 388 Cevapları MEB Yayınları
Soru 7: Aşağıda dik koordinat sistemi üzerinde modellenmiş dairesel bir saat görseli verilmiştir. Merkez orijinin ve yarıçapı 6 birim olan dairesel saatin kırmızı renkli yelkovanı 4 birim, yeşil renkli akrebi 2 birim uzunluğunda doğru parçalarından oluşmaktadır. Buna göre;
a) Saat 09.00’da akrep ile yelkovanın uç noktalarından geçen doğrunun denklemini bulunuz.
Kısa Cevap: Doğrunun denklemi y = 2x + 4 olur.
Saat 09.00 olduğunda:
- Yelkovan 12’yi gösterir.
- Akrep 9’u gösterir.
Merkez O(0,0) olduğuna göre:
- Yelkovanın uzunluğu 4 birim olduğundan ucu (0,4) noktasındadır.
- Akrebin uzunluğu 2 birim olduğundan ucu (-2,0) noktasındadır.
Bu iki noktadan geçen doğrunun eğimi:
m = (4 - 0) / (0 - (-2)) = 4 / 2 = 2
Doğru denklemi için y = mx + n yazalım:
y = 2x + n
(0,4) noktası doğru üzerinde olduğundan:
4 = 2.0 + n
n = 4
Bu durumda doğrunun denklemi:
y = 2x + 4
b) Saat 13.30’da akrep ile yelkovanın üzerinde bulunduğu doğrunun denklemini bulunuz.
Kısa Cevap: Doğrunun denklemi y = x olur.
Saat 13.30 olduğunda:
- Yelkovan 6’yı gösterir.
- Akrep 1 ile 2’nin tam ortasında bulunur.
Şekle göre bu iki gösterge aynı doğru doğrultusunda yer alır. Bu doğrunun eğimi 1 olur ve doğru orijinden geçer.
Orijinden geçen eğimi 1 olan doğrunun denklemi:
y = x
c) Saat 19.20’de akrep ve yelkovanın üzerinde bulunduğu doğruların eğim açılarının ölçülerini bulunuz.
Kısa Cevap: Akrep için 50°, yelkovan için 150° olur.
Saat 19.20 yani 7.20 olduğunda:
- Yelkovan 20 dakikayı gösterdiği için 4 rakamının üzerindedir.
- Akrep 7 ile 8 arasında, 7’den biraz ileridedir.
Saat yönündeki dönüşler koordinat düzlemindeki doğru eğim açısına çevrildiğinde:
- Akrebin bulunduğu doğrunun eğim açısı 50°
- Yelkovanın bulunduğu doğrunun eğim açısı 150°
olarak bulunur.
ç) Saat kaç gösterdiğinde akrebin üzerinde bulunduğu doğrunun eğim açısının ölçüsü 120° olacağını bulunuz.
Kısa Cevap: Saat 5 ve 11 yönlerini gösterdiğinde akrebin bulunduğu doğrunun eğim açısı 120° olur.
Detaylı Cevap:
Saat üzerindeki doğruların koordinat düzlemindeki karşılıkları incelendiğinde eğim açısı 120° olan doğru, saatte belirli iki yönle çakışır.
Bu doğrultular:
- 5 yönü
- 11 yönü
olduğundan cevap 5 ve 11 olur.
d) Aşağıdaki tabloda, saatin gösterdiği değerler ile o anda akrep ile yelkovanın uç noktalarından geçen doğrunun eğiminin işaretini gösteren iki sütun oluşturulacaktır. Buna göre tabloda boş bırakılan kısımları uygun şekilde doldurunuz.
- 18.14 → +
- 15.52 → -
- 11.40 → +
- 20.20 → -
Doğrunun eğim işareti, doğrunun soldan sağa doğru yükselip yükselmediğine göre belirlenir:
- Soldan sağa yükseliyorsa pozitif
- Soldan sağa azalıyorsa negatif olur.
Buna göre tablo şöyle doldurulur:
| Saatin Gösterdiği Zaman | Doğrunun Eğim İşareti |
|---|---|
| 18.14 | + |
| 15.52 | - |
| 11.40 | + |
| 20.20 | - |
Soru 8: Bir geri dönüşüm tesisi, aldığı atıkların %60’ını geri dönüştürebilmektedir. Tesise günlük toplanan atık miktarı (x kilogram) ile geri dönüştürülen malzeme miktarı (y kilogram) arasında bir ilişki vardır. Buna göre;
a) Atık miktarı (x) ile geri dönüştürülen malzeme miktarı (y) arasındaki ilişkiyi ifade eden bir denklemi oluşturunuz.
Kısa Cevap: Denklem y = 0,6x olur.
Geri dönüşüm tesisi atıkların %60’ını dönüştürdüğüne göre geri dönüştürülen miktar, toplam atığın 0,6 katıdır.
Bu nedenle:
y = 0,6x
b) Günlük 500 kg atık toplandığında geri dönüştürülen malzeme miktarının kaç kg olduğunu bulunuz.
Kısa Cevap: 300 kg olur.
Denklem:
y = 0,6x
x = 500 için:
y = 0,6 . 500 = 300
Sonuç olarak geri dönüştürülen malzeme miktarı: 300 kg
c) 240 kg geri dönüştürülen malzeme elde edilebilmesi için kaç kilogram atık toplanması gerektiğini hesaplayınız.
Kısa Cevap: 400 kg atık toplanmalıdır.
Denklem:
y = 0,6x
y = 240 verilmiş:
240 = 0,6x
Her iki tarafı 0,6’ya bölelim:
x = 240 / 0,6 = 400
Bu durumda gerekli atık miktarı: 400 kg
ç) Bu ilişkiyi temsil eden denkleme ait grafiği dik koordinat sistemi üzerinde gösteriniz.
Kısa Cevap: Grafik, orijinden geçen y = 0,6x doğrusudur.
Denklem: y = 0,6x
Bu doğrunun grafiğini çizmek için iki nokta yeterlidir:
- x = 0 için y = 0 → (0,0)
- x = 500 için y = 300 → (500,300)
Bu iki nokta koordinat sisteminde işaretlenip birleştirilirse grafik elde edilir.
Doğru, orijinden geçen pozitif eğimli bir doğru olur.
44
10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 389 Cevapları MEB Yayınları
Soru 9: Bir üretici, ürün başına maliyeti 20 TL olan bir üründen belirli sayıda üretmektedir. Aynı zamanda da üretimin başlaması için 100 TL sabit maliyet (örneğin makinelerin kurulumu veya başlangıç giderleri) bulunmaktadır. Buna göre
a) Ürün sayısı (x) ile toplam maliyet (y) arasındaki ilişkiyi ifade eden denklemi yazınız.
Kısa Cevap: y = 20x + 100
Detaylı Cevap: Toplam maliyet iki bölümden oluşur:
- Sabit maliyet = 100 TL
- Birim maliyet = 20 TL
x tane ürün üretilirse değişken maliyet 20x olur. Buna sabit maliyet de eklenince toplam maliyet denklemi:
y = 20x + 100
olur.
b) 50 ürün üretildiğinde toplam maliyetin kaç TL olacağını bulunuz.
Kısa Cevap: 1100 TL
Denklemimiz: y = 20x + 100
x yerine 50 yazalım:
y = 20 . 50 + 100
y = 1000 + 100
y = 1100
Buna göre toplam maliyet 1100 TL olur.
c) Toplam maliyet 600 TL olduğunda kaç ürünün üretilmiş olacağını bulunuz.
Kısa Cevap: 25 ürün
Detaylı Cevap: Toplam maliyet 600 TL ise denklemde y yerine 600 yazılır:
600 = 20x + 100
500 = 20x
x = 25
Buna göre 25 ürün üretilmiştir.
ç) Bu ilişkiyi temsil eden denkleme ait grafiği dik koordinat sistemi üzerinde gösteriniz.
Kısa Cevap:
Grafik, y = 20x + 100 doğrusudur.
Detaylı Cevap:
Grafiği çizmek için doğru üzerinde iki nokta bulalım:
- x = 0 için
y = 20 . 0 + 100 = 100
Nokta: (0, 100) - y = 0 için
0 = 20x + 100
20x = -100
x = -5
Nokta: (-5, 0)
Bu iki nokta işaretlenip birleştirildiğinde doğru elde edilir.
Yani grafik, (0,100) ve (-5,0) noktalarından geçen bir doğrudur.
Soru 10: Bir cisim, sabit bir hızla doğrusal bir yol boyunca hareket etmektedir. Cismin başlangıçta referans noktasına 5 metre uzakta (x = 0 anında y = 5 metre) bulunduğu ve sabit 2 m/sn. hızla hareket ettiği verilmektedir. Buna göre
a) Zaman (x) ile konum (y) arasındaki ilişkiyi ifade eden denklem aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak verilmiştir?
A) y = 2x + 10
B) y = 2x + 5
C) y = 3x + 5
D) y = 3x + 10
E) y = 2x + 15
Kısa Cevap: B şıkkı: y = 2x + 5
Detaylı Cevap: Doğrusal hareket denkleminde:
- Başlangıç konumu = 5
- Hız = 2 m/sn.
Bu durumda genel denklem:
y = 2x + 5
olur. Doğru seçenek B şıkkıdır.
b) Cismin 10 saniye sonra bulunduğu konumu hesaplayınız.
Kısa Cevap: 25 metre
Denklem: y = 2x + 5
x yerine 10 yazalım:
y = 2 . 10 + 5
y = 20 + 5
y = 25
Cisim 10 saniye sonra 25 metre uzakta olur.
c) Cisim, y = 21 metre konumuna ulaştığında kaç saniye geçtiğini bulunuz.
Kısa Cevap: 8 saniye
Denklem: y = 2x + 5
y yerine 21 yazalım:
21 = 2x + 5
16 = 2x
x = 8
Buna göre 8 saniye geçmiştir.
ç) Bu ilişkiyi temsil eden denkleme ait grafiği dik koordinat sistemi üzerinde gösteriniz.
Kısa Cevap: Grafik, y = 2x + 5 doğrusudur.
Detaylı Cevap: Grafiği çizmek için iki nokta yeterlidir:
x = 0 için
y = 5
Nokta: (0, 5)
y = 0 için
0 = 2x + 5
2x = -5
x = -5/2
Nokta: (-5/2, 0)
Bu iki nokta birleştirilerek doğru çizilir.
Yani grafik, (0,5) ve (-5/2,0) noktalarından geçen doğrudur.
Türkçe karakter kullanılmayan ve büyük harflerle yazılmış yorumlar onaylanmamaktadır.