10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 42-44 Cevapları Meb Yayınları

10. Sınıf Meb Matematik Sayfa 42 Sıra Sizde 7 Cevapları

7. Sıra Sizde

Yandaki görselde dairesel bir saat ile saatin bir kısmını kapatan dikdörtgen biçiminde bir kâğıt bulunmaktadır. Evren, saatin O noktasında bulunan ve dakikayı gösteren kadranının kâğıdın
kenarı ile kesiştiği noktaları onar dakikalık aralıklarla A, B ve C olarak işaretlemiştir. Evren daha sonra O noktasının A, B ve C noktalarına uzaklıklarını hesaplamış ve |OA| = 15 cm, |OC| = 10 cm olarak bulmuştur.
Buna göre |OB| nun kaç santimetre olduğunu bulunuz.

Çözüm- 60 dakika → 360° olduğundan 10 dakika → 60°. Yani ∠AOB = ∠BOC = 60° ve OB açıortaydır.

Açıortay teoremi: AB / BC = OA / OC = 15 / 10 = 3 / 2.

Kosinüs teoremi ile:
AB² = 15² + x² - 2·15·x·cos60 = 225 + x² - 15x
BC² = 10² + x² - 2·10·x·cos60 = 100 + x² - 10x

Oran: (225 + x² - 15x) / (100 + x² - 10x) = 9 / 4

Denklem: 4(225 + x² - 15x) = 9(100 + x² - 10x)
900 + 4x² - 60x = 900 + 9x² - 90x
5x² - 30x = 0
x(x - 6) = 0 → x = 6

Cevap: |OB| = 6 cm

11. Uygulama — Üçgenin İki Dış Açıortayı ile Diğer Köşesinden Çizilen İç Açıortayın Kesişimi

1. Soru: Bir üçgende iki köşeden çizilen dış açıortular ile diğer köşeden çizilen iç açıortı aynı noktada kesişir mi? Kesişiyorsa bu noktanın özelliği nedir?

Cevap: Evet, aynı noktada kesişir. Bu nokta, üçgenin **karşı köşesine ait dış teğet çemberinin merkezi (excenter)**dir. Bu merkezden üçgenin BC kenarına ve AB ile AC kenarlarının uzantılarına indirilen dik uzaklıklar birbirine eşittir. Böylece bu merkezden çizilen çember, BC kenarına ve AB ile AC uzantılarına teğet olur.

Soru 2 - Bir üçgenin iki köşesinden çizilen dış açıortılar ile diğer köşesinden çizilen iç açıortı aynı noktada kesişip kesişmediğini ve kesişiyorsa bu noktanın özelliğini tartışınız.

Cevap:
Evet, aynı noktada kesişirler. Bu nokta üçgenin **dış teğet çemberinin merkezi (excenter)**dir. Bu merkezden üçgenin kenarına ve diğer kenarların uzantılarına indirilen dik uzaklıklar eşittir. Bu özellik, üçgenin her türlüsü için geçerlidir.

Soru 3 – 9. adım soruları

a) Her durumda çember ile üçgenin ilişkisini inceleyiniz.
Cevap: Çember, üçgenin bir kenarına ve diğer iki kenarın uzantılarına teğettir. Üçgenin şekli değişse bile bu teğetlik özelliği her zaman korunur.

b) Her durumda |KD|, |KE| ve |KF| arasındaki ilişkiyi inceleyiniz.
Cevap: |KD| = |KE| = |KF|. Çünkü bu uzaklıklar dış merkezden kenarlara ve kenar uzantılarına indirilen dikmelerin uzunluklarıdır. Hepsi çemberin yarıçapına eşittir.

c) Bir üçgenin dış teğet çember merkezi nedir, özellikleri nelerdir?

• İki dış açıortı ile diğer köşeden çizilen iç açıortının kesişim noktasıdır.
• Bu noktadan kenarlara ve kenar uzantılarına indirilen dik uzaklıklar eşittir.
• Merkezden çizilen çember üçgenin bir kenarına ve diğer kenarların uzantılarına teğettir.
• Bu nokta üçgenin dış merkezidir (excenter).

Soru 4 - Oluşan her üçgen için 3. maddede elde edilen sonuçlarla genellemelerinizi karşılaştırınız.

Cevap: Her üçgende sonuç aynıdır. Dış merkez her zaman açıortıların kesişiminde oluşur ve kenarlara olan uzaklıklar eşit kalır. Bu, üçgenin şekline bağlı olmayan genel bir kuraldır.

Soru 5 - Bir üçgenin iki köşesinden çizilen dış açıortılar ile diğer köşesinden çizilen iç açıortı aynı noktada kesişir mi, kesişirse bu noktanın özelliği nedir?

Cevap: Kesişir. Bu nokta üçgenin dış merkezidir. Bu merkezden kenarlara indirilen dikmeler eşit uzunluktadır ve merkezle çizilen çember kenarlara teğettir.

Soru 6 (Problem)

Bir salonda sahneye çıkan bir oyuncunun üç seyirci bölümüne eşit uzaklıkta olması istenmektedir. Oyuncunun sahnede bulunması gereken konumu belirlemek için hangi yöntemi kullanırsınız?

Cevap: Oyuncunun duracağı yer, üç seyirci bölümüne eşit uzaklıkta olan noktadır. Bu nokta, üç bölüm doğrusu için çizilen **dış merkez (excenter)**dir. İki dış açıortı ile bir iç açıortı çizilerek bu nokta bulunur. Oyuncu bu noktada durursa seyirci bölümlerinin üçüne de eşit uzaklıkta olur.