10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 55 Cevapları Meb Yayınları

Verilen ifade: (2x² + y³)⁵

Bu ifadenin açılımında, x ve y'nin kuvvetlerinin eşit olduğu terimlerin katsayısını bulmalıyız.

Binom Açılımı kullanarak bu ifadeyi açalım:

(2x² + y³)⁵ = Σ (5 choose k) * (2x²)^(5-k) * (y³)^k

Bu durumda, terimlerin genel biçimi:

T_k = (5 choose k) * (2^(5-k)) * (x^(2(5-k))) * (y^(3k))

Şimdi, x ve y'nin kuvvetlerinin eşit olduğu koşulu sağlayalım:

2(5 - k) = 3k

Bunu çözelim:

10 - 2k = 3k
10 = 5k
k = 2

k = 2 bulunduğunda, x ve y'nin kuvvetleri eşit olacaktır. Şimdi bu k değerini kullanarak terimin katsayısını bulalım.

Katsayı Hesabı:

T_k için k = 2 yerine koyarsak:

T_2 = (5 choose 2) * (2^(5-2)) * (x^(2(5-2))) * (y^(3*2))

= (5 choose 2) * (2³) * (x⁶) * (y⁶)

= 10 * 8 * x⁶ * y⁶

Sonuç:

Katsayı = 80

Yani, ifadenin açılımında x ve y'nin kuvvetlerinin aynı olduğu terimin katsayısı 80'dir.