10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 72 Cevapları Hecce Yayıncılık

Soru 1

f: R⁺ → R, f(x) = x - 1 kuralı ile verilen f fonksiyonunun örten olup olmadığını bulunuz.

Çözüm: Bir fonksiyonun örten (surjective) olabilmesi için hedef kümedeki her elemanın, tanım kümesindeki en az bir elemana karşılık gelmesi gerekir.

Fonksiyonumuz f(x) = x - 1 ve tanım kümesi R⁺ (pozitif reel sayılar), değer kümesi ise R (tüm reel sayılar) olarak verilmiştir.

• x pozitif bir reel sayı olduğunda f(x) = x - 1 ifadesi negatif değerler de alabilir. Örneğin, x = 2 için f(x) = 2 - 1 = 1 veya x = 0.5 için f(x) = 0.5 - 1 = -0.5.
• Bu durumda, hedef küme olan R'deki her reel sayı f(x) tarafından kapsanabilir.

Sonuç olarak, f(x) = x - 1 fonksiyonu örten bir fonksiyondur.

Soru 2

f: R⁺ → R, f(x) = x⁴ + 2 kuralı ile verilen f fonksiyonunun bire bir olup olmadığını bulunuz.

Çözüm: Bir fonksiyonun bire bir (injective) olabilmesi için tanım kümesindeki farklı iki elemanın, farklı görüntülere sahip olması gerekir. Yani x₁ ≠ x₂ ise f(x₁) ≠ f(x₂) olmalıdır.

Fonksiyonumuz f(x) = x⁴ + 2 olarak tanımlanmıştır. Bu fonksiyon, x pozitif reel sayılar kümesinden (R⁺) tüm reel sayılar kümesine (R) tanımlanmıştır.

• f(x) = x⁴ + 2 ifadesinde, x⁴ terimi her zaman pozitiftir ve x pozitif olduğundan f(x) sürekli olarak artar. Bu, fonksiyonun aynı değeri iki farklı x için alamayacağını gösterir.

Bu nedenle, f(x) = x⁴ + 2 fonksiyonu bire bir (injective) bir fonksiyondur.

Sonuçlar:

1. f(x) = x - 1 fonksiyonu örten (surjective) bir fonksiyondur.
2. f(x) = x⁴ + 2 fonksiyonu bire bir (injective) bir fonksiyondur.