10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 85-86 Cevapları Meb Yayınları

25. Uygulama – Teorem İspatı (Kosinüs Teoremi) Sayfa 85–86 Cevapları

Soru 1:

Verilen eşitliğe ulaşabilmek için ne tür bir ek çizim yapılması gerektiğine dair fikirlerinizi paylaşınız.

Cevap: ABC üçgeninde B köşesinden AC kenarına bir dikme indirilmelidir. Bu çizim, üçgeni iki dik üçgene ayırır ve Pisagor teoremi ile trigonometrik oranların kullanılmasına imkân sağlar.

Soru 2:

Pisagor teoremi ve trigonometrik oranlardan yararlanarak bu üçgende ne gibi eşitlikler yazılabilir?

Cevap: B noktasından AC kenarına indirilen dikme ile üçgen iki dik üçgene ayrılır:

• ABH üçgeninde: c² = h² + x²
• BHC üçgeninde: a² = h² + (b−x)²

Ayrıca, cos = x / c olduğundan x = c·cos eşitliği yazılabilir.

Soru 3:

1. Adım: [BH] ⟂ [AC] olacak şekilde B köşesinden dikme indiriniz.

a) Üçgenin B köşesinden dikme indirilmesinin sebebini açıklayınız.
Cevap: Kosinüs teoremi A açısına göre yapılacağı için, A açısının karşısındaki kenara bağlı bir dikme indirilmesi gerekir. Böylece A açısı dışında kalan kenarlar üzerinden işlem yapılabilir.

b) Dikme herhangi bir köşeden indirilebilir mi?
Cevap: Evet, dikme farklı köşelerden indirilebilir; ancak A açısı dışındaki bir köşeden dikme indirmek ispatı güçleştirir. Bu durumda cos oranı doğrudan elde edilemez.

Soru 4:

|BH| = h, |AH| = x şeklinde adlandırarak |HC| uzunluğunu b ve x türünden yazınız.
Cevap:
|HC| = b − x

Soru 5:

ABH dik üçgeninde h²’yi c ve x türünden elde ediniz.
Cevap: c² = h² + x²
h² = c² − x²

Soru 6:

BHC dik üçgeninde h²’yi a, b ve x türünden elde ediniz.
Cevap: a² = h² + (b−x)²
h² = a² − (b−x)²

Soru 7:

3. ve 4. adımlarda elde edilen eşitlikleri kullanarak a²’yi b, c ve x türünden bulunuz.
Cevap:
c² − x² = a² − (b−x)²
c² − x² = a² − (b² − 2bx + x²)
c² − x² = a² − b² + 2bx − x²
a² = b² + c² − 2bx

Soru 8:

AHB dik üçgeninde x’i c ve cos türünden bulunuz.
Cevap: cos = x / c
x = c·cosÂ

Soru 9:

5 ve 6. adımlarda bulduklarınızı kullanarak a²’yi b, c ve cos türünden yazınız.
Cevap: a² = b² + c² − 2b·(c·cosÂ)
a² = b² + c² − 2bc·cosÂ

Sonuç: Kosinüs teoremi ispatlanmıştır.