9. Sınıf Meb Yayınları Matematik 1. Ders Kitabı Sayfa 202-203-204 Alıştırmalar Cevapları

ALIŞTIRMALAR

1. Soru: Aşağıdaki şekilde ABC üçgeni verilmiştir. MLC üçgeni eşkenar üçgen olup, [KL] // [BC] ve m(∠LMA) = x olarak verilmektedir. Ayrıca, m(∠AKL) = m(∠KAM) = m(∠LAM) olup, K, L ve M noktaları ABC üçgeninin kenarları üzerindedir. Buna göre, m(∠LMA) açısının değeri kaç derecedir?

Cevap: Üçgenin iç açılarının toplamı 180 derece olduğundan, verilen eşit açılar için denklem kurulabilir.

3α + 60 = 180
3α = 120
α = 40

Elde edilen α değeri yerine konularak,

x + 40 = 60
x = 20

Sonuç olarak, m(∠LMA) açısının değeri 20 derecedir.

2. Soru: Aşağıdaki şekilde ECF üçgeni verilmiştir. E, C [AB] üzerinde, F ise [CD] üzerinde yer almaktadır. Verilen bilgilere göre m(EFD) = 160° ve 5m(AEF) = 6m(ECF) olduğuna göre m(FCB) açısının değeri kaçtır?

Cevap: Verilen eşitlikten hareketle:

5m(AEF) = 6m(ECF) olduğuna göre,
AEF açısı 5 birim ve ECF açısı 6 birim olarak oranlanmıştır.

α = 20° olarak verilmiş ve bu durumda:

5α = 100° ve 6α = 120° olur.

EFD açısı 160° olduğundan dolayı üçgenin dış açılar toplamı kuralına göre:

180 - 100 = 80°

Sonuç olarak, FCB açısı 80° bulunur.

3. Soru: Aşağıdaki ABC üçgeninde m(B) = 2x + 5°, m(C) = x + 15° ve |AC| > |AB| verilmiştir. Buna göre m(A) açısının alabileceği en büyük tam sayı değerini bulunuz.

Çözüm: Üçgenin iç açılar toplamı kuralına göre:

m(A) + m(B) + m(C) = 180°
m(A) = 180° - (m(B) + m(C))
m(A) = 180° - (2x + 5 + x + 15)
m(A) = 180° - (3x + 20)
m(A) = 160° - 3x

|AC| > |AB| koşulundan dolayı açı karşısındaki kenar uzunlukları arasındaki ilişkiye göre, m(C) > m(B) olmalıdır:

x + 15 > 2x + 5
x > -10

3x > 30 olmalıdır, buradan x > 10 elde edilir.

5. Soru: Aşağıdaki şekilde BC kenarı üzerinde |AF| = |FC| olacak şekilde bir F noktası işaretlenmiştir. m(EAF) = 24° ise m(BAC) açısını bulunuz.

Çözüm: Üçgenin iç açılar toplamı kuralına göre:
2x + 2y + 24 + 24 = 180
2x + 2y = 156
x + y = 78

Bu durumda,

m(BAC) = x + y + 24
m(BAC) = 78 + 24
m(BAC) = 102

Cevap: m(BAC) = 102°.

5. Soru: ABE bir üçgen olmak üzere özdeş kibrit çöpleri aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi yerleştirildiğinden m(BAC) = a, m(CBD) = b, m(DEC) = c, C ∈ [AE] ve D ∈ [BE] olur.

Buna göre:
I. a/3 = c
II. b = 2c
III. b + c = a

İfadelerinden hangilerinin doğru olduğunu bulunuz? (Kibrit çöplerinin kalınlığı dikkate alınmayacaktır.)

Cevap: Verilen bilgiler doğrultusunda:
a = 3c, b = 2c olduğundan;

I. a/3 = c ifadesi doğrudur.
II. b = 2c ifadesi doğrudur.
III. b + c = a ifadesi doğrudur.

Doğru ifadeler: I, II ve III.

6. Soru: Aşağıda verilen ABC üçgeninde D ∈ [BC], m(BAD) = 80°, m(BDA) = 60° ve m(DAC) = 20° dir.

Buna göre b, c, m, n ve p kenar uzunluklarını büyükten küçüğe doğru sıralayınız.

Cevap: Verilen açı ölçülerine göre üçgenlerde karşı kenar uzunlukları büyük açıya sahip olan kenardan küçüğe doğru sıralanır.

ΔABD üçgeninde: m > c > n

ΔADC üçgeninde: b > n > p

b = c olduğundan genel sıralama şu şekilde olur:

m > b = c > n > p

7. Soru: Emblem tasarımı yapan Hikmet, Şekil 1'de gösterilen ikizkenar üçgen biçimindeki dört özdeş kartonu bir masa üzerinde aralarında boşluk bırakmadan birleştiriyor. Tepe açısı 22° olan dört kartonu birleştirdiğinde meydana gelen boşluğa ise taban açılarının ölçüsü x olacak şekilde kırmızı renkli ikizkenar üçgeni yerleştiriyor ve Şekil 2'deki deseni elde ediyor.

Buna göre x'in değerini bulunuz.

Cevap: Şekilde görüldüğü üzere, birleşen dört üçgenin tepe açıları toplamı 88° olur. Bir çemberin toplam iç açısı 360° olduğuna göre, kalan açı 44° olarak bulunur.

İkizkenar üçgenin iç açıları toplamı 180° olduğundan,

2x + 44 = 180
2x = 136
x = 68

Sonuç: x = 68°

8. Soru: Aşağıda verilen ABC üçgeninde BC = 11 cm, AC = 8 cm ve m(BAC) > m(ACB) dir.
Verilenlere göre AB uzunluğunun alabileceği kaç farklı tam sayı değeri olduğunu bulunuz.

Çözüm: Üçgen eşitsizliği kuralına göre, bir üçgende herhangi iki kenarın toplamı üçüncü kenardan büyük, farkı ise üçüncü kenardan küçük olmalıdır.

11 - 8 < x < 11 + 8
3 < x < 19

Soruda m(BAC) > m(ACB) şartı verildiğinden dolayı, x değeri 11’den küçük olmalıdır.

Bu durumda:
3 < x < 11

Bu aralıktaki tam sayılar: 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10’dur.

Cevap: AB uzunluğunun alabileceği 7 farklı tam sayı değeri vardır.

9. Soru: Şekil 1'de ABC üçgeni olarak gösterilen üçgen biçimindeki kağıdın ön yüzü sarı, arka yüzü turuncu renklidir. ABC üçgeninde m(∠BAC) = 70°, m(∠ABC) = 50° ve m(∠ACB) = 60° dir. Bu kağıdın B köşesinin A köşesinin üzerine gelecek şekilde katlanmasıyla oluşan görüntü Şekil 2'de verilmiştir.

Buna göre |AC|, |AE| ve |BD| uzunluklarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

Şekil 1'de verilen üçgende açılar şu şekildedir:

m(∠BAC) = 70°,
m(∠ABC) = 50°,
m(∠ACB) = 60°.

Üçgende karşı kenarların uzunluklarını sıralamak için açıların büyüklüklerine bakılır. Üçgende bir kenarın uzunluğu, karşısındaki açıyla doğru orantılıdır.

Şekil 2'de katlama sonrası oluşan üçgende:

Katlama işlemi sonucunda ∠AEB açısı, ∠ACB açısına eşittir ve 60°'dir.
∠ABE açısı 50° olduğundan, karşısındaki |AE| kenarı en küçük kenar olur.
∠ABD = 40°, yani BD kenarının karşısında 40° olduğu için |BD|, |AE|'den büyüktür.
|AC| kenarının karşısında 70° bulunduğundan, en büyük kenar |AC| olur.

Sonuç olarak:

Karşısındaki açıların büyüklüğüne göre sıralama: |AE| < |BD| < |AC|

Bu sıralama, açıların karşısındaki kenarların uzunluklarına göre yapılmıştır.

10. Afrika’da gece safarisine çıkan bir grup; A noktasındaki kamp alanından başlayarak sırasıyla B noktasındaki filleri, ardından C noktasındaki aslanları görmüş ve tekrar kamp alanına dönmüştür. Grubun safaride izlediği yol Şekil 1’de ABC üçgeninin kenarları olarak belirlenmiştir.

Grup, safari boyunca yönünü pusula ile belirlemiştir. A noktasından B noktasına, B noktasından C noktasına gidilirken pusulanın daima kuzeyi gösteren ibresi ile grubun izlediği yol arasındaki açılar Şekil 2’de gösterilmiştir.

Verilen Açılar: