9. Sınıf Meb Yayınları Matematik 1. Ders Kitabı Sayfa 205-206-207-208-209 3. Ünite Ölçme ve Değerlendirme Cevapları

3. Ünite Ölçme ve Değerlendirme

1. Soru: Şekil 1'de verilen üçgende, m(A'B'B) = 24° olarak verilmiştir. Şekil 2'de ise üçgenin konumu değiştirilmiş ve A, C, B' noktaları doğrusal hale getirilmiştir. Buna göre, m(CBB') açısını bulunuz.

Cevap: Üçgenin iç açılarının toplamı 180° olduğuna göre verilen açıları kullanarak çözüm yapabiliriz.

Şekil 1'e göre üçgenin iç açılarının toplamı:
3x + 48° + 90° = 180°
138° + 3x = 180°
3x = 42°
x = 14°

Şekil 2'de ise m(A'B'B) açısı 24° olarak verildiğine göre:
m(CBB') = x + 24°
14° + 24° = 38°

Sonuç olarak, m(CBB') açısı 38° bulunur.

2. Soru: |AB| = |AC| ve |BC| > |AB| olduğuna göre ABC üçgeninin iç açı ölçülerini büyükten küçüğe doğru sıralayınız.

Cevap: Bir üçgende, en büyük açı her zaman en uzun kenarın karşısında yer alır. Verilen bilgilere göre |BC| kenarı en uzun olduğu için karşısındaki açı olan ∠A en büyüktür. Ayrıca, |AB| ve |AC| kenarları eşit olduğundan karşılarındaki açılar da eşit olur.

Bu durumda iç açıların sıralaması: m(Â) > m(Ĉ) = m(̂B)

Sonuç olarak, iç açılar büyükten küçüğe doğru A > C = B şeklinde sıralanır.

3 Soru a: ABC üçgeninde en uzun kenarı bulunuz.

Cevap: Bir üçgende en büyük açı, her zaman en uzun kenarın karşısında yer alır. ABC üçgeninde en büyük açı 75° olarak verilmiştir. Bu açının karşısındaki kenar BC olduğundan, BC en uzun kenardır.

3. Soru b: DEF üçgeninde hangi açının ölçüsünün en büyük olduğunu bulunuz.

Cevap: Bir üçgende en uzun kenarın karşısındaki açı en büyük açıdır. DEF üçgeninde en uzun kenar 200 m uzunluğundaki DF kenarıdır. Bu nedenle en büyük açı, m(Ê) açısıdır.

4. Soru: Çeşme'den Mykonos'a kuş uçuşu uzaklığın alabileceği değer aralığını bulunuz.

Cevap: Üçgen eşitsizliğine göre, bir üçgendeki herhangi bir kenar uzunluğu, diğer iki kenarın toplamından küçük, farkından ise büyük olmalıdır.

Verilen uzaklıklar:

Çeşme - Mykonos: |AB|
Çeşme - Sisam: 130 km
Mykonos - Sisam: 230 km

Üçgen eşitsizliğini uygulayarak:

230 - 130 < |AB| < 230 + 130

100 < |AB| < 360

Sonuç olarak, Çeşme'den Mykonos'a kuş uçuşu uzaklığı 100 km ile 360 km arasında olabilir.

5. Soru: Gemi, A noktasındayken [AC] ile [AB] arasındaki dar açının ölçüsünü 18° olarak hesaplıyor. Gemi, 2 saat boyunca doğrusal yol alarak C noktasına vardığında, [CB] ile [CD] arasındaki dar açının ölçüsünü 36° olarak hesaplıyor.
Buna göre, gemi C noktasından deniz fenerine doğru saatte ortalama 10 deniz mili hızla doğrusal hareket ederse deniz fenerine kaç saat sonra ulaşır?

Cevap: Gemi A noktasından C noktasına 15 deniz milini 2 saatte katetmiştir. C noktasından B noktasındaki deniz fenerine olan mesafe 10 deniz milidir. Geminin hızı saatte 10 deniz mili olduğuna göre, aşağıdaki orantıyı kurabiliriz:

15 deniz mili → 2 saat
10 deniz mili → x saat

10x = 30
x = 3

Sonuç olarak, gemi C noktasından deniz fenerine 3 saat sonra ulaşır.

6. Soru: Görselde 3/21 pisti olarak adlandırılan pistin kuzeyle yaptığı açıların ölçülerinin modellemesi verilmiştir. Modellemeye göre pistin 3 yazan tarafı, kuzey yönü ile saat yönünde 30°’lik bir açı yapmaktadır. 21 yazan tarafı ise 210°’lik bir açı yapmaktadır ve 8/26 pisti ile x/y pistinin arasında kalan dar açının ölçüsü 70°’dir.
Buna göre görseldeki havaalanında bulunan x/y pistinin adlandırılmasında kullanılan x ve y sayıların toplamını bulunuz.

Cevap: Havaalanı pist numaraları, pistin kuzeyle yaptığı açının saat yönündeki derecesinin 10’a bölünmesiyle belirlenir. Verilen bilgilere göre:

Pist kuzey yönü ile 30° açı yapmaktadır, dolayısıyla 3 numaralı pistin karşı yönü 210° olacaktır.
8/26 pistinin x/y pistinin arasında kalan dar açının ölçüsü 70° olarak verilmiştir.

Bu bilgilere dayanarak x ve y pist numaralarının toplamı hesaplanır:

Pist yönü 30° olduğuna göre:

x numarası: 8
y numarası: 26

Bu durumda x ve y sayıların toplamı: 8 + 26 = 34

Sonuç: x ve y sayıların toplamı 34’tür.

7. Soru: Erkan’ın Şekil 1’de verilen renkli kalemlerinin uzunlukları sırasıyla 3, 5, 6, 8 ve 12 cm’dir.

a) Erkan’ın bu kalemlerden herhangi üçünü kullanarak kaç farklı üçgen oluşturabileceğini bulunuz.

Cevap: Üçgen oluşturabilmek için üçgen eşitsizliği kuralına göre, herhangi iki kenarın toplamı üçüncü kenardan büyük olmalıdır. Verilen uzunluklar 3, 5, 6, 8 ve 12 cm'dir. Bu uzunluklarla üçerli kombinasyonlar oluşturulup üçgen eşitsizliği kuralına göre değerlendirildiğinde:

3, 5, 6 → 3 + 5 > 6 ✔
3, 6, 8 → 3 + 6 > 8 ✔
5, 6, 8 → 5 + 6 > 8 ✔
3, 8, 12 → 3 + 8 > 12 (üçgen olmaz)
5, 8, 12 → 5 + 8 > 12 ✔
6, 8, 12 → 6 + 8 > 12 ✔

Toplamda 5 farklı üçgen oluşturulabilir.

b) Erkan, kahverengi ve mavi kalemleri Şekil 2’deki gibi α ≤ 90° olacak biçimde düz bir zemine yerleştirmiştir. Erkan’ın Şekil 2’deki üçgeni tamamlayabilmesi için Şekil 1’deki kalemlerden kaç tanesini kullanabileceğini bulunuz.

Cevap: Verilen kahverengi ve mavi kalemlerin uzunlukları sırasıyla 8 cm ve 12 cm’dir. Üçgen oluşturabilmek için seçilecek kalemin uzunluğu şu şartları sağlamalıdır:

Üçgen eşitsizliği: 8 + 12 > x ve x + 8 > 12 ve x + 12 > 8

20 > x
x > 4
Herhangi bir uzunluk 4 ile 20 arasında olmalıdır.

Verilen uzunluklardan 3, 5, 6, 8 ve 12 cm olduğu için, 5 cm ve 6 cm uzunlukları üçgen oluşturabilir.

Sonuç olarak, 2 kalem kullanılabilir.

8. Soru: Görselde |AC| = 12 m, |CB| = 20 m ve toplama kafesi su yüzeyinde olduğuna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.

a) Toplama kafesi suyun içine girerken AB arasındaki çelik halatın uzunluğu azalır mı, artar mı? Yorumlayınız.

Cevap: Toplama kafesi suyun içine indikçe, B noktası aşağı doğru hareket eder ve üçgenin yüksekliği artar. Bu durumda hipotenüs olan AB uzunluğu azalacaktır. Kafes suya indikçe A ve B noktaları arasındaki mesafe kısalır.

Sonuç: AB uzunluğu kısalır.

b) A ve B noktaları arasında halatın uzunluğunun alabileceği en büyük tam sayı değerini bulunuz.

Cevap: Üçgen eşitsizliği kuralına göre, bir üçgendeki herhangi bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın toplamından küçük, farkından büyük olmalıdır.

Verilen uzunluklar:

|AC| = 12 metre
|CB| = 20 metre

Üçgen eşitsizliği uygulanarak:
20 - 12 < |AB| < 20 + 12
8 < |AB| < 32

Halatın alabileceği en büyük tam sayı değeri 31'dir.

Sonuç olarak, en büyük uzunluk 31 metredir.

c) ACB açısının ölçüsü BAC açısının ölçüsünden büyük değerler almaya başladığında kafesin B noktasına uzaklığı nasıl değişir? Yorumlayınız.

Cevap: m(∠ACB) > m(∠BAC) olduğunda, üçgenin yapısı değişeceğinden B noktası kafese daha yakın bir konuma gelir. Kafes yukarı doğru hareket eder ve B noktasına olan uzaklık azalır.

Sonuç: Kafesin B noktasına olan uzaklığı azalır.

9. Soru: Ercan’ın evinin, kırtasiyenin ve okulun konumları gösterilmiştir. Okula gitmek için Ercan önce kırtasiyeye uğramış ve kuzey doğrultusu ile 42 derecelik bir açı yaparak kuzeydoğu yönünde 150 metre yürümüştür. Kırtasiyeden çıktıktan sonra kuzey doğrultusu ile 56 derecelik bir açı yaparak kuzeydoğu yönünde 150 metre yürüyerek okula ulaşmıştır. Buna göre Ercan, evinden çıkıp doğrudan okula gitmek isterse kuzey doğrultusu ile kaç derecelik açı yaparak kuzeydoğu yönünde yol almalıdır?

Cevap: Ercan'ın kırtasiye ve okul güzergâhında izlediği yönler dikkate alınarak toplam açı hesaplanmalıdır. Evden kırtasiyeye kuzey doğrultusuyla 42 derece doğuya doğru hareket etmiştir. Kırtasiyeden okula kuzey doğrultusuyla 56 derece doğuya doğru ilerlemiştir. Bu iki açının toplamı 42 + 56 = 98 derecedir. Kuzey doğrultusuyla olan toplam açıyı hesaplamak için 180 - 98 = 82 derece bulunur.

Sonuç olarak, Ercan doğrudan okula gitmek istediğinde kuzey doğrultusu ile 82 derece doğuya yönelmelidir.

10. Soru: Bir ABC üçgeninde BC kenarına ait kenar orta dikme BA kenarını E noktasında, BC kenarını D noktasında kesmektedir. |BE| = |AC| ve m(∠ABC) = 35° olduğuna göre BAC açısının ölçüsü kaç derecedir?

Cevap: Verilen bilgilere göre, üçgende kenar orta dikme çizildiğinde üçgen simetrik olarak iki eşit parçaya bölünür. Verilen açı değerleri kullanılarak çözüm şu şekilde yapılabilir:

ABC üçgeninde verilen açı m(∠ABC) = 35° olarak verilmiştir. Kenar ortay ve eşit kenarlar nedeniyle oluşan simetrik yapıda karşı köşe açıları da eşit olacaktır. Üçgenin iç açılar toplamı 180° olduğuna göre:

35 + 35 = 70 derece olarak bulunur.
180 - 70 = 110 derece olarak hesaplanır.

Bu açı iki eşit parçaya bölündüğünde:
110 / 2 = 70 derece elde edilir.

Sonuç olarak BAC açısının ölçüsü 70 derecedir.

11. Soru: Bir ABC üçgeninde BC kenarına ait kenar orta dikme BA kenarını E noktasında, BC kenarını D noktasında kesmektedir. |BE| = |AC| ve m(∠ABC) = 35° olduğuna göre BAC açısının ölçüsü kaç derecedir?

Verilen açılar ve ilişkiler dikkate alınarak aşağıdaki denklemler oluşturulmuştur:

Denklem kurulumu:
90 - 2a + 2b = 180
-2a + 2b = 90

Diğer denklem:
9a + b + 150 = 360
9a + b = 210
Denklem çözümleri:
-a + b = 45
9a + b = 210

Bu iki denklem birlikte çözüldüğünde:
10a = 165
2a = 33

Sonuç olarak, x açısı 33 derece bulunur.

Cevap: 33 derece (D şıkkı).

12. Soru: m(∠ACB) = 48°, D ∈ [BC] ve |AD| = |AB| olduğuna göre ABC açısının ölçüsü kaç derecedir?

Cevap: Üçgenin iç açıları toplamı 180° olduğuna göre verilen açı ve eşitlikler kullanılarak aşağıdaki denklemler kurulur:

İç açılar toplamı denklemi:
x + 2y = 180
Verilen bilgilere göre:
x + 2(x + 48) = 180

Denklemi çözümleyelim:
x + 2x + 96 = 180
3x = 84
x = 28

y açısını hesaplayalım:
y = x + 48
y = 28 + 48
y = 76

Sonuç olarak, ABC açısının ölçüsü 76 derecedir.

Doğru cevap: C) 76

13. Soru: Aşağıda üçgenlerle ilgili bazı bilgiler verilmiştir.
I. Her üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamı, bir doğru açının ölçüsüne eşittir.
II. Kenar uzunlukları |BC| = 12 cm, |AC| = 5 cm ve m(∠BĈA) = 30° olan bir ABC üçgeni çizilebilir.
III. İç açıların ölçüleri sırasıyla 1, 2 ve 3 sayıları ile orantılı olan bir üçgenin en küçük dış açısı dik açıdır.
IV. İkizkenar üçgenlerde tepe açısına ait dış açıortay, üçgenin tabanını keser.

Hangi ifadeler doğrudur?

Cevap:

I. Doğru. Üçgenin iç açılarının toplamı her zaman 180°’dir, bu bir doğru açıya eşittir.
II. Doğru. Verilen kenar uzunlukları ve açı değerleriyle üçgen çizilebilir.
III. Doğru. 1, 2, 3 oranında iç açılar sırasıyla 30°, 60° ve 90° olabilir, en küçük dış açısı 90° olur.
IV. Yanlış. İkizkenar üçgende tepe açısına ait dış açıortay üçgenin tabanını kesmez.

Sonuç olarak doğru ifadeler: I, II, III

Doğru cevap: D) I, II, III

14. Soru: Otobüsün otel durağından harekete başlayıp tekrar aynı durağa varma süresi 1 saat olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle yanlıştır?

Cevap: Otobüsün tüm durakları dolaşma süresi toplamda 60 dakikadır. Verilen duraklar arasındaki yolculuk süreleri şu şekilde hesaplanmıştır:

Otelden lunaparka gitmek 10 dakika sürmüştür.
Lunaparktan ören yerine gitmek 22 dakika sürmüştür.
Ören yerinden otele dönmek ise 60−(10+22)=28 dakika sürmüştür.

Şıkların analizi:

A) Otobüs otelden hareket ettikten 30 dakika sonra ören yerine ulaşmıştır. (Yanlış, çünkü lunaparktan ören yerine 22 dakika sürmektedir, toplam süre 10 + 22 = 32 dakika olmalıdır.)
B) Lunapark ile ören yeri arası yolculuk 22 dakika sürmüştür. (Doğru)
C) Ören yeri ile otel arası yolculuk 28 dakika sürmüştür. (Doğru)
D) Otel ile lunapark arası yolculuk, lunapark ve ören yeri arasındaki yolculuktan kısadır. (Doğru)
E) Yolculuk süresinin en uzun olduğu güzergah ören yeri ile otel arasındadır. (Doğru)

Sonuç: Kesinlikle yanlış olan ifade A şıkkıdır.

Doğru cevap: A) Otobüs otelden hareket ettikten 30 dakika sonra ören yerine ulaşmıştır.

Etiketler :