9. Sınıf Matematik 2. Ders Kitabı Sayfa 60-61-64-65 Cevapları Meb Yayınları

Sayfa 60 Konuya Başlarken Cevapları

Tales'in Piramidin Yüksekliğini Nasıl Ölçmüş Olabileceği?

Tales, gölge uzunluklarını kullanarak piramidin yüksekliğini hesaplamıştır. Şöyle bir yöntem izlemiş olabilir:

1. Dik bir çubuk (ED) belirli bir yüksekliğe sahip olacak şekilde yere dikilmiş.

2. Güneş ışınlarının belli bir açıyla geldiği bir saatte, çubuğun gölgesi (DF) ölçülmüş.

3. Aynı anda, piramidin gölgesinin uzunluğu (HF) ölçülmüş.

4. Benzer üçgenler prensibine göre, çubuğun yüksekliği ve gölgesi ile piramidin yüksekliği ve gölgesi arasında bir orantı kurulmuş:

   Çubuğun Yüksekliği (ED) / Çubuğun Gölgesi (DF) = Piramit Yüksekliği (AH) / Piramit Gölgesi (HF)

5. Bu orantı kullanılarak piramidin yüksekliği hesaplanmıştır.

Bu yöntem, güneşin gölge oluşturma açısının aynı olduğu bir anda ölçüm yapıldığı için doğru sonuçlar vermiştir.

10. Uygulama

Tales Teoremi
Aşağıda verilen teoremin ispatına yönelik adımları uygulayınız.
1. Teoremi inceleyiniz.
Teorem: Birbirine paralel en az üç doğru, farklı iki kesen üzerinde orantılı doğru parçaları oluşturur.

Paralel doğrular kullanılarak benzer üçgenler oluşturulmuştur.

Oranlar belirlenmiştir:

• a/b = e/f oranı elde edilmiştir.
• Diğer kenarlar için benzer oran ilişkileri bulunarak şu eşitlik gösterilmiştir:
  |AB| / |BC| = |DE| / |EF|

Tales Teoremi’ne göre:

• Paralel doğrular, farklı iki kesen üzerinde orantılı doğru parçaları oluşturur.
• Büyük üçgen ile küçük üçgenin kenar uzunlukları orantılıdır ve benzerlik bağıntısı kurulabilir.

Bu yöntem, büyük yapıların yüksekliğini ölçmek, gölge boylarını hesaplamak ve mesafeleri belirlemek için kullanılabilir.

2- Teoremin benzer üçgenler oluşturularak nasıl ispatlanacağı açıklayınız.
Cevap: Paralel doğrular ve kesen doğrular arasındaki benzer üçgenleri kullanarak kenar uzunlukları oranlanır.

3- Benzer üçgenler oluşturmak için gerekli çizimleri yapınız ve açıklayınız.
Cevap: Paralel doğrular çizmeli ve kesen doğruların kestiği noktaları belirleyerek benzer üçgenleri göstermeliyiz.

4- Oluşturduğumuz benzer üçgenlerin kenarları arasındaki oranı ifade ediniz.
Cevap: Büyük ve küçük üçgenlerin benzerliğinden dolayı, karşılıklı kenar uzunlukları şu orantıyı sağlar:
∣AB∣/∣BC∣=∣DE∣/∣EF∣

5- Teoremin ispatının tamamlanıp tamamlanmadığını açıklayınız.
Cevap: Paralel doğruların oluşturduğu benzer üçgenlerin kenarları orantılı bulunduğunda, Tales Teoremi ispatlanmış olur.

6. Yaptığınız ispatta kullandığınız yöntemi değerlendirmek için aşağıdaki problemleri çözünüz.

6a. Yandaki ABC üçgeninde D ve F noktası BC kenarı, E noktası AC kenarı üzerindedir. [AB] // [ED], [AD] // [EF], |CF| = a, |FD| = b ve |DB| = c olarak verilmiştir. Buna göre a, b ve c uzunlukları arasındaki ilişkiyi bulunuz.

Cevap: Verilen bilgilerden dolayı [EF] // [AB] ve [DE] // [AB] olduğundan benzerlik oranları kullanılabilir.
Bu durumda şu oran elde edilir:
a/b = (a + b)/c

6b. |AD| / |DB| = |AE| / |EC| olduğunu gösteriniz.

Cevap: ADE ve ABC üçgenleri açı-açı-açı benzerliğinden benzerdir.
Bu benzerlik oranı şu şekilde ifade edilir:
a / (a + b) = c / (c + d)
Denklem çözüldüğünde şu sonuca ulaşılır:
a/b = c/d
Böylece |AD| / |DB| = |AE| / |EC| olduğu gösterilmiş olur.

Sayfa 64-65 13. Sıra Sizde

1. Arif, yaşadığı ilçeye kurulan rüzgâr türbinlerinden birinin boyunu ölçmek için basit bir kamera düzeneği kullanmıştır.

1. Soru: Rüzgar türbininin kameradaki görüntüsünün uzunluğu 4 cm, kameranın genişliği 15 cm ve rüzgar türbininin kameraya uzaklığı 3000 cm’dir. Buna göre, rüzgar türbininin boyu kaç cm’dir?

Cevap: Orantı kurarak hesaplayalım:

x / 3000 = 4 / 15

İçler dışlar çarpımı yapalım:

15x = 4 × 3000
15x = 12000
x = 12000 / 15
x = 800 cm

2. Soru: Yandaki şekilde ABC ve BCD üçgenleri verilmiştir. [AB] ∥ [EF] ∥ [DC] ve |AB| = 6 cm, |DC| = 12 cm olarak verilmiştir. Buna göre, |EF| uzunluğu kaç cm’dir?

Cevap: Paralellik özelliğinden faydalanarak harmonik ortalama formülü kullanılır:

1 / x = 1 / 6 + 1 / 12

Ortak paydada toplayalım:

1 / x = 2 / 12 + 1 / 12
1 / x = 3 / 12

x = 12 / 3
x = 4 cm

Sonuç: EF uzunluğu 4 cm’dir.

3. Soru: Şekil 1’de boyu 1,6 m olan Şükrü’nün gölgesinin uzunluğu 2,4 m olarak verilmiştir. Şekil 2’de ise aynı açıyla gölge oluşturan ağacın gölgesi 33 m olarak verilmiştir. Buna göre, ağacın boyunu ifade eden |ED| uzunluğu kaç metredir?

Cevap: Orantı kurarak hesaplayalım:

1,6 / 2,4 = x / 33

İçler dışlar çarpımı yapalım:

2,4x = 1,6 × 33
2,4x = 52,8

x = 52,8 / 2,4
x = 22 m

Sonuç: Ağacın boyu 22 metre’dir.