9. Sınıf Matematik 2. Ders Kitabı Sayfa 66-68 Cevapları Meb Yayınları

Sayfa 66 Sorular ve Cevaplar:

11. Uygulama

Öklid Teoremi
Aşağıda verilen teoremin ispatına yönelik adımları uygulayınız.

1- Teoremi inceleyiniz.

Verilen BAC dik üçgeninde h² = p * k bağıntısı Öklid Teoremi'ni ifade etmektedir.

2- Teoremin BAC dik üçgeninde hipotenüse ait yüksekliğin çizilmesi ile ortaya çıkan ABH ve ACH dik üçgenleri kullanılarak nasıl ispatlanabileceğine dair fikirleriniz.

• Açılara isim verilerek benzer üçgenler belirlenir.
• Yüksekliğin oluşturduğu ABH ve ACH dik üçgenleri, büyük üçgen BAC ile benzerlik kurallarına göre incelenir.
• Benzerlik oranlarından h² = p * k bağıntısı elde edilir.

3- BAC, ABH ve ACH dik üçgenleri arasında benzerlik kuralları var mıdır?

• BAC, ABH ve ACH üçgenleri arasında açı-açı benzerliği vardır.
• AA (Açı-Açı) benzerlik kuralı kullanılarak üçgenlerin oranları bulunabilir.

4-ABH ve CAH üçgenleri arasında belirlediğiniz benzerlik kuralına uygun olarak kenarlar arasındaki ilişkiyi yazınız.

h / k = p / h = c / b → Oranları yazılır.

5- Teoremin ispatının tamamlanıp tamamlanmadığını değerlendirin.

h / k ≠ p / h

h² = k * p → İspat tamamlandı.

6- Yaptığınız ispat yöntemini değerlendirerek benzerlik kurallarını kullanarak şu eşitlikleri gösteriniz:

BAC ~ ACH

b / k = a / b

b² = k * a

BAC ~ ABH

c / p ≠ a / c

c² = p * a

Bu etkinlik, Öklid Teoremi'nin geometrik ispatı için üçgenlerin benzerlik kurallarını nasıl kullanabileceğimizi gösteriyor.

Sayfa 68 Sıra Sizde Cevapları

Soru 1: Atakan’ın evinin Erkan’ın evine olan en kısa mesafesi 12 m, Buse’nin evinin Cemile’nin evine uzaklığı 25 m’dir. Buse ile Atakan’ın evleri arasındaki mesafe, Buse ile Atakan’ın evleri arasındaki mesafeden daha fazladır. |CA| ⊥ |BE| ve |CB| ⊥ |CE| doğruları verilmiştir.

Buna göre Atakan’ın evinin Cemile’nin evine uzaklığını ifade eden |AC| kaç m’dir?

Cevap: Öklid Teoremi kullanılarak hesaplama yapılır.

Öklid bağıntısı:
12² = k × (25 - k)
144 = k × (25 - k)

Buradan k = 9 bulunur.

Pisagor Teoremi uygulanır:
x² = 16 × 25
x² = 400
x = 20

Sonuç: Atakan’ın evinin Cemile’nin evine uzaklığı 20 metredir.

Soru 2: ABC bir dik üçgendir ve ∠BAC = 90° verilmiştir. |AH| ⊥ |BC|, |E| ∈ |AH|, ayrıca ∠BED = 90° olup, |BD| = |DC| ve |BE| = 6 cm olarak verilmiştir.

Buna göre |AB| kaç cm’dir?

Cevap: Öklid Teoremi kullanılarak hesaplanır.

Öklid Teoremi kullanılarak çözüm yapılır.

BDE üçgeninde Öklid Teoremi uygulanır:
6² = k × (k + p)
36 = k × (k + p)

ABC üçgeninde Öklid Teoremi uygulanır:
x² = k × 2(k + p)
x² = 2 × k × (k + p) / 36

Sonuç hesaplanır:
x² = 72 = 36 × 2
x = 6√2 cm

Sonuç: |AB| = 6√2 cm’dir.