9. Sınıf Meb Yayınları Matematik 2. Ders Kitabı Sayfa 76-77-78-79-81-84 Konuya Başlarken - Uygulama

Sayfa 76 Konuya Başlarken Sorular ve Cevaplar

1. Görselden hareketle birer kenarını nesne ve nesnenin karanlık kutudaki görüntüsünün oluşturduğu üçgenleri inceleyiniz. İncelediğiniz üçgenler arasındaki benzerlik ilişkilerini belirleyiniz.

Görselde, nesne ve karanlık kutuda oluşan görüntüsü benzer üçgenler oluşturmaktadır. Işık ışınları küçük bir delikten geçerek doğrusal bir yol izler. Bu nedenle, oluşan üçgenlerin açıları eşit ve kenarları orantılıdır.

Benzerlik oranı şu şekilde ifade edilir:

|BC| / |B'C'| = |AB| / |A'B'| = |AC| / |A'C'|

Bu formüle göre, nesnenin boyu ile görüntüsünün boyu arasında doğrudan orantılı bir ilişki bulunmaktadır.

2. Birinci soruda ulaştığınız ilişkilerden hareketle karanlık kutudaki nesnenin görüntüsünün uzunluğunu bulabilmek için başka hangi bilgilere ihtiyaç duyabileceğinizi belirtiniz.

Görüntünün uzunluğunu bulabilmek için şu bilgilere ihtiyacımız vardır:

Nesnenin gerçek boyu
Nesnenin karanlık kutuya olan uzaklığı
Karanlık kutudaki ekranın iğne deliğine olan uzaklığı

Bu veriler kullanılarak benzerlik oranı kurulur ve görüntünün uzunluğu hesaplanabilir.

3. Nesnenin uzunluğu verildiğinde karanlık kutudan oluşan görüntünün uzunluğunu bulabilmek için gerekli stratejiyi oluşturunuz.

Nesne boyunu (h), nesne ile delik arasındaki mesafeyi (d1) ve delik ile ekran arasındaki mesafeyi (d2) belirleyin.
Benzerlik oranını kullanarak görüntü uzunluğunu (h') hesaplayın.

h' = h × (d2 / d1)

Bu işlem sonucunda, nesnenin karanlık kutudaki ters görüntüsünün uzunluğu bulunabilir.

Bu strateji sayesinde, benzerlik ve orantı kuralları kullanılarak optik sistemlerin temel çalışma prensibi açıklanabilir.

13. Uygulama

Eşlik ve Benzerlikle İlgili Problem Çözme
Verilen bilgileri inceleyerek aşağıdaki soruları cevaplayınız.

Sorular ve Cevaplar

1. Hatice Hanım’ın tasarımlarını oluştururken parkların inşa edileceği gerçek alanlara ilişkin hangi verileri kullandığını açıklayınız. Tasarımda kullanılan park alanlarının boyutları ile parkın inşa edileceği gerçek alanların boyutları arasında nasıl bir ilişki olduğuna dair fikirlerinizi yazınız.

Gerçek alan ile görseldeki şekillerin belirli bir oranı vardır. Tasarımlar, gerçekte uygulanacak ölçülerin ölçeklendirilmiş hali olarak oluşturulmuştur.

2. Parkların taslak planlarında kullanılan öğelerin yerleşimini inceleyiniz. Yerleşimde hangi geometrik kavramların nasıl kullanıldığını açıklayınız.

Öteleme, yansıma ve dönme dönüşümlerinden yararlanılmıştır. Park içindeki yollar, havuzlar ve oyun alanları simetrik ve düzenli bir yapıya sahiptir.

3. İkinci sorudaki açıklamalarınızdan hareketle Hatice Hanım’ın bu yerleşim şeklini tercih etme nedenini ifade ediniz.

Kolay çizim, estetik bir görüntü ve parkın düzgün bir şekilde tasarlanması için tercih edilmiştir. Düzenli bir yapı hem kullanım kolaylığı hem de görsel uyum sağlar.

4. Üçüncü soruya verdiğiniz cevapları değerlendirerek problemin verileri ile ulaşılmak istenen sonuç arasındaki ilişkileri belirleyiniz.

Bir bütün oluşturmaktadır. Tüm veriler bir araya geldiğinde, düzenli ve matematiksel olarak uyumlu bir park tasarımı ortaya çıkmaktadır.

5. Parkın içinde oluşturulacak oyun alanları için parkla ilgili hangi bilgi ve verilere ihtiyacımız olduğunu açıklayınız. Buna göre problemin matematiksel bileşenlerini ve bu bileşenler arasındaki ilişkileri problemin doğasına uygun şekilde, matematiksel olarak ifade ediniz.

Dairenin yarıçapı bilinmeli ve dikdörtgenin kenar uzunlukları gereklidir. Bu bilgilerle oyun alanlarının yerleşimi hesaplanabilir.

6. Matematiksel olarak ifade ettiğiniz problemi oyun alanlarının şekle bağlı boyut ve konumları, birbirlerine uzaklıkları gibi verileri kullanarak kendi cümlelerinizle açıklayınız.

Oyun alanları eşittir. Dikdörtgenin dört kenarında ve dairenin karşılıklı iki kenarında bulunmaktadır. Bu düzen, simetri ve eşitlik prensiplerine dayalı olarak oluşturulmuştur.

7. Oyun alanlarının hangi geometrik şekiller kullanılarak tasarlanabileceği, bu şekillerin park düzenine uyumlu olması için nasıl konumlandırılabileceği, alanların konumlarının nasıl hesaplanabileceği gibi durumları dikkate alınız. Dikkate aldığınız durumlardan hareketle planlı şekilde çalışarak problemin çözümüne ilişkin bir strateji oluşturunuz. Oluşturduğunuz stratejiyi bilimsel bir bakış açısıyla açıklayınız.

Altıgen ve daire olarak yapılabilir. Oyun alanlarının düzenli ve simetrik olması için bu geometrik şekiller tercih edilebilir. Altıgen yapılar park içinde düzgün yerleşim sağlarken, daire şekilli alanlar görsel estetiği artırır.

8. Belirlediğiniz stratejiyi sistematik şekilde uygulayarak problemin çözümünü yapınız. Çözümünüzde hangi geometrik kavramları nasıl ve neden kullandığınızı açıklayınız.

Merkezinde kalan boş alanlar şekillendirilerek yola çıkıldı. Oyun alanlarının konumlandırılmasında benzerlik ve simetri dikkate alınarak düzenleme yapıldı.

9. Çözümünüzü kontrol ederek arkadaşlarınızın çözüm yollarını ve stratejilerini eleştirel bir bakış açısıyla inceleyiniz. Kendi çözüm yolunuz ile arkadaşlarınızın çözüm yollarını ve stratejilerini karşılaştırınız. İncelediğiniz farklı stratejilerden hangilerinin çözüme ulaşmayı sağlayamadığını belirleyiniz. Bu stratejilerle çözüme ulaşamamanın nedenlerine ilişkin fikirlerinizi açıklayarak arkadaşlarınızla saygı çerçevesinde tartışınız.

Bu ifade kişiye göre değişir. Yoruma açıktır. Farklı yöntemlerle çözüme ulaşılabilir ve her bireyin çözüm stratejisi farklı olabilir.

10. Çözüme ulaşmayı sağlayan stratejilerin başka hangi tür problemlerin çözümünde kullanılabileceğine ilişkin fikirlerinizi gerekçeleriyle açıklayınız.

Eşlik ve benzerlikten yararlanılır. Bu şekilde orantılı haritalarda da kullanılabilir. Matematiksel ölçeklendirme ve benzerlik oranları birçok farklı alanda uygulanabilir.

11. Uzun kenar uzunlukları 600 m ve çevre uzunluğu 2 km olan dikdörtgen şeklindeki bir parkın iki giriş kapısı bulunmaktadır. Bu kapılar, dikdörtgen şeklindeki parkın kuzey ve güney yönlerinde bulunan kısa kenarları üzerinde yer almaktadır. Bu parka giriş kapılarına ve merkez noktasına eşit uzaklıkta bulunan, eş ve simetrik ikizkenar üçgen şeklinde iki havuz yapılacaktır. İkizkenar üçgen şeklindeki havuzların tepe noktalarının parkın merkezine uzaklıkları, havuzların tabanlarının parkın merkezine uzaklığından küçüktür. Havuzların tabanları parkın kuzey ve güney kenarlarına paralel konumlandırılacaktır. Havuzların eşit kenar uzunlukları 125 m, taban uzunlukları 200 m’dir.

a) Yukarıdaki bilgilerden hareketle taslak bir çizim oluşturunuz.

Dikdörtgenin uzun kenarları 600 m olarak belirlenmiştir.
Havuzlar ikizkenar üçgen şeklinde yerleştirilmiştir.
Çizimde havuzların taban uzunlukları 200 m olarak belirtilmiştir.

b) Çiziminizi kullanarak aşağıda verilen soruları cevaplayınız.

I. Güney yönüne yapılacak havuzun tepe noktası parkın güney girişine 195 m uzaklıkta ise kuzey tarafındaki havuzun tabanının güney kapısına uzaklığı kaç metre olur?

Havuzun tepe noktası 195 m uzaklıktadır.
600 - 2(195) = 210
75 + 210 + 195 = 580 m

Sonuç olarak, kuzeydeki havuzun tabanının güney kapısına uzaklığı 580 m olur.

II. Havuzlar, taban kenarları bulundukları yöndeki kapıya 115 m uzaklıkta olacak şekilde konumlandırılırsa havuzların tepe noktalarının birbirine uzaklıkları kaç metre olur?

Çözüm:

Parkın toplam uzunluğu 600 m’dir.
Her iki havuzun taban kenarları 115 m uzaklıkta olduğundan toplam 2 × 115 = 230 m parkın uzunluğundan çıkarılır.
Havuzların taban noktalarının birbirine uzaklığı 200 m olduğu için, toplam mesafeden çıkarılır:

600−(230+150)=220 m

Sonuç: Havuzların tepe noktalarının birbirine olan uzaklığı 220 metre olarak bulunmuştur.

Sayfa 81 Sıra Sizde Soru ve Çözümler

a) Tahterevalliye yerleştirilen desteğin uzunluğunun kaç cm olduğunu bulunuz.

Tahterevallinin farklı konumları verilmiş ve destek noktasının yüksekliği hesaplanması isteniyor.

Şekil 1’de B ucunun yerden yüksekliği 120 cm, A ucunun yüksekliği 60 cm olarak verilmiş.
Şekil 2’de A ucunun yüksekliği 60 cm olduğunda tahterevalli daha yatay hale gelmiş.
Destek noktası C, dengeyi sağlamak için ortalama yükseklikte olmalıdır.

Bunu hesaplamak için destek noktasının yerden yüksekliği şu şekilde bulunur:

C = (120 + 60) / 2 = 90 cm

Destek, zemine dik olduğu için desteğin uzunluğu da 90 cm olarak bulunur.

Sonuç: Tahterevalliye yerleştirilen desteğin uzunluğu 90 cm’dir.

b) Tahterevalli eşit kollu olacak şekilde tasarlanırsa tahterevallinin A ucunun yere inmesi durumunda B ucunun yerden yüksekliği kaç cm olacaktır?

Eşit kollu tahterevalli, destek noktası tam ortada olacak şekilde konumlandırılır.

A ucu yere indiğinde, B ucu aynı miktarda yukarı hareket eder.
A ucunun başlangıçtaki yüksekliği 40 cm olarak alınır.
Destek noktası tam ortada olduğu için, B ucu bu miktarın iki katı kadar yükselecektir.

Bu durumda:

B = 2 × 40 = 80 cm

Sonuç: B ucunun yeni yerden yüksekliği 80 cm olacaktır.

c) Tahterevalli Şekil 1’deki konumunda iken |AK| = 30 cm’dir. Tahterevallinin zemine paralel konumda dengede kalabilmesi için metal desteğin tahta parçasının hangi ucuna doğru, kaç cm hareket ettirilmesi gerektiğini bulunuz.

Tahterevallinin B ucu daha yüksekte olduğu için denge noktası doğru yere kaydırılmalıdır.

Başlangıçta |AK| = 30 cm verilmiştir.
Destek noktası dengeyi sağlamak için B yönüne doğru kaydırılmalıdır.
Yapılan hesaplamalar sonucunda:

30 + z = 90

z = 60 cm

Bu, desteğin B yönüne 15 cm kaydırılması gerektiğini gösterir.

Sonuç: Tahterevallinin zemine paralel dengede kalabilmesi için metal destek B yönüne doğru 15 cm kaydırılmalıdır.

Sayfa 84 Sorular ve Çözümler

a) Lambalardan herhangi birinin oluşturduğu gölgenin boyunun kaç metre olduğunu bulunuz.

Lambaların oluşturduğu gölge uzunluğunu belirlemek için benzer üçgenlerden yararlanılır.

Verilenler:

Lamba yüksekliği (A noktası): 6 metre
Lamba yüksekliği (B noktası): 10 metre
Necati’nin boyu: 2 metre
A ve B noktaları arasındaki mesafe: 18 metre

Benzer üçgenlerden oran kurarak gölge uzunluğu hesaplanır:

6 / x = 2 / (x + y)

Bu oran düzenlenerek:

x + y = 3x
2x = y

Daha sonra lamba yüksekliği ile mesafe ilişkisi kullanılarak:

6x = 18
x = 3

Sonuç: Lambalardan herhangi birinin oluşturduğu gölge 3 metre uzunluğundadır.

b) K noktasında bulunan Necati, B noktasındaki lamba direğine doğru yürümektedir. Gölgesinin B noktasındaki direğin diğer tarafına geçmemesi için Necati’nin yürüyebileceği mesafenin en fazla kaç metre olması gerektiğini bulunuz.

Necati yürüdükçe gölgesi de uzayacaktır. Gölgenin B noktasını aşmaması için yürüyebileceği maksimum mesafeyi bulmak için benzer üçgenler kullanılır.

Verilenler: