Gerçek sayılarda sıralama özellikleri yardımıyla x, y, m ve n ∈ R olmak üzere x < y ve m < n için x + m < y + n olup olmadığını

Soru : Gerçek sayılarda sıralama özellikleri yardımıyla x, y, m ve n ∈ R olmak üzere x < y ve m < n için x + m < y + n olup olmadığını cebirsel olarak ispatlayınız

Kısa Cevap:

Evet, x + m < y + n eşitsizliği doğrudur.
Çünkü toplama işlemi sıralamayı korur ve geçişlilik özelliği geçerlidir.

Ayrıntılı Cebirsel İspat:

1. Verilen eşitsizlikler:
   x < y ve m < n

2. Birinci eşitsizliğin her iki tarafına m ekleyelim:
   x < y ⇒ x + m < y + m

3. İkinci eşitsizliğin her iki tarafına y ekleyelim:
   m < n ⇒ y + m < y + n

4. Geçişlilik özelliğini kullanalım:
   x + m < y + m < y + n
   Buradan sonuç olarak x + m < y + n elde edilir.

Matematiksel Yorum:

Toplama işlemi, gerçek sayılar kümesinde sıralamayı koruyan bir işlemdir.
Bu yüzden iki farklı eşitsizlik (x < y ve m < n) toplandığında sonuç doğru olur.
Bu özellik, R (gerçek sayılar) kümesinin tam sıralı küme olmasından kaynaklanır.

Genelleme:

Eğer x ≤ y ve m ≤ n ise o zaman da x + m ≤ y + n olur.
Eşitlik durumunda toplamda da eşitlik korunur.

Görsel Düşünme:

Bir sayı doğrusu üzerinde düşünürsek,
x noktası y’den soldadır, m noktası n’den soldadır.
Her iki noktayı da aynı oranda sağa kaydırmak (toplama yapmak) sıralamayı değiştirmez.
Yani x + m hâlâ y + n’den soldadır.