10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 108 Cevapları Meb Yayınları

1. Soru:

Aşağıdaki fonksiyonların bire bir ve örten olup olmadığını belirleyiniz.
a) f: R → R, f(x) = 4x - 3
b) g: Z → Q, g(x) = (3x + 2) / 5
c) r: Z → R, r(x) = x² - x

Cevap:
a) Bire bir ve örtendir.
b) Bire birdir, örten değildir. (Örneğin sıfırı elde edemiyoruz.)
c) Bire bir değil, örten değil. (Rasyonel sayı elde edemiyoruz.)

2. Soru:

A = {2, 3, 5, 7}, B = {3, 4, 6, 8, 11}, C = {5, 10, 26, 50} olmak üzere f: A → B, f(x) = x + 1 ve g: A → C, g(x) = x² + 1 şeklinde tanımlanan f ve g fonksiyonları veriliyor.
a) f ve g fonksiyonlarının Venn şeması ile göstererek bire bir olup olmadığını belirleyiniz.
b) f ve g fonksiyonlarının örten ya da içine olup olmadığını belirleyiniz.
c) f ve g fonksiyonlarından biri örten değilse bu fonksiyonun örten olması için nasıl bir değişiklik yapılması gerektiğini belirtiniz.

Cevap:
a) f ve g fonksiyonları bire birdir.
b) a'ya göre f içine, g örtendir.
c) f'nin örten olması için B'den 11 elemanı çıkarılmalıdır.

3. Soru:

Aşağıdaki tabloda öğrenci ve kitap isimleri verilmiştir. Öğrenciler tanım, kitaplar değer kümesi olmak üzere bir fonksiyon tanımlansın.
a) Bire bir fonksiyon olup olmadığını gösteriniz.
b) Örten fonksiyon olup olmadığını gösteriniz.
c) İçine fonksiyon olup olmadığını gösteriniz.

Cevap:
a) Bire bir değildir.
b) Örtendir.
c) İçine değildir.

4. Soru:

f: R → R, f(x) = (2x + 3)² - (b - 1)x + c + 1 şeklinde tanımlanan f, birim fonksiyon olduğuna göre a + b + c ifadesinin değerini bulunuz.

Cevap:
a = 2, b = 3, c = 2 olduğuna göre:
a + b + c = 2 + 3 + 2 = 7.

5. Soru:

f fonksiyonu gerçek sayılar kümesinde tanımlı bir doğrusal fonksiyon, f(2) = 1 ve f(-1) = -8 olduğuna göre f(3) değerini bulunuz.

Çözüm: Doğrusal fonksiyon genel olarak f(x) = ax + b formundadır.
f(2) = 1 için: 2a + b = 1
f(-1) = -8 için: -a + b = -8

Denklemleri çözerek:
2a + b = 1
-a + b = -8

Çıkartırsak:
3a = 9
a = 3
Bu değeri herhangi bir denklemde yerine koyarsak:
2(3) + b = 1
b = -5

Fonksiyon: f(x) = 3x - 5

f(3) değerini bulmak için:
f(3) = 3(3) - 5 = 9 - 5 = 4

Cevap: 4

6. Soru:

Gerçek sayılar kümesinde tanımlı f fonksiyonu çift fonksiyon ve f(x) = (a - 1)x² + (a + 1)x² - (b - 3)x + a·b olduğuna göre f(b) değerini bulunuz.

Çözüm: Çift fonksiyonlar için f(x) = f(-x) olması gerekir.
Fonksiyonda f(x) ve f(-x) ifadelerini eşitleyerek:
(a - 1)x² + (a + 1)x² - (b - 3)x + a·b = (a - 1)x² + (a + 1)x² + (b - 3)x + a·b

Bu durumda, - (b - 3)x = (b - 3)x eşitliği sağlanmalıdır.
b - 3 = 0
b = 3

b = 3 değerini fonksiyonda yerine koyarsak:
f(b) = f(3) = (a - 1)(3)² + (a + 1)(3)² - (3 - 3)(3) + a·3
f(b) = 9(a - 1) + 9(a + 1) + 3a
f(b) = 9a - 9 + 9a + 9 + 3a
f(b) = 21a

Cevap: 21a

7. Soru:

İçine atılan kâğıtları su ile ıslatarak kâğıt hamuru hâline getiren bir geri dönüşüm makinesinin çalışma sistemi hakkında verilen bilgilere göre aşağıdaki soruları yanıtlayınız.

a) Makinede kullanılan su miktarını (g) atılan kâğıt miktarına (x) bağlı olarak ifade eden fonksiyon ve oluşan kâğıt hamurunun kütlesini ifade eden fonksiyonu yazınız.

Makine, atılan her bir kâğıt kütlesi için 3 katı su kullanmaktadır. Su miktarı, kâğıt miktarına bağlı olarak:
f(x) = 3x

Kâğıt hamurunun kütlesi, kâğıt ve kullanılan suyun toplamıdır:
h(x) = x + f(x) = x + 3x = 4x

b) Makineye 20 g kâğıt atıldığında makinenin kullanacağı su miktarını bulunuz.

f(x) = 3x olduğundan:
f(20) = 3(20) = 60 g

Cevap: 60 g su

c) Makineye 20 g kâğıt atıldığında kaç g kâğıt hamuru oluşacağını bulunuz.

h(x) = 4x olduğundan:
h(20) = 4(20) = 80 g

Cevap: 80 g kâğıt hamuru

ç) Makineye 20 g kâğıt atıldığında haznede oluşan toplam kütlenin kaç g olduğunu bulunuz.

Haznede oluşan toplam kütle, kâğıt hamuru (80 g) ve temizlik için kullanılan 200 g sudur:
Toplam kütle = 80 + 200 = 280 g

Cevap: 280 g

8. Soru:

f(x) = 3x - 1 ve (3g - 2f)(x) = 3x³ - 6x - 13 olduğuna göre g(x) ifadesini bulunuz.

Verilen denklem:
(3g - 2f)(x) = 3x³ - 6x - 13
Buradan:
3g(x) - 2f(x) = 3x³ - 6x - 13

f(x) = 3x - 1 olduğundan yerine yazalım:
3g(x) - 2(3x - 1) = 3x³ - 6x - 13
3g(x) - 6x + 2 = 3x³ - 6x - 13
3g(x) = 3x³ - 6x - 13 + 6x - 2
3g(x) = 3x³ - 15
g(x) = x³ - 5

Cevap: g(x) = x³ - 5