10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Sayfa 197-198 Cevapları Meb Yayınları

10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Cevapları MEB Yayınları – Sayfa 197

y = -x² + 4 fonksiyonu, fıskiyeden çıkan suyun hareketini modelleyen bir karesel fonksiyondur. Bu fonksiyonda en yüksek nokta (0, 4) olup, A ve B noktaları fonksiyonun köklerini ifade eder.

Konuya Başlarken – Karesel Fonksiyon

Soru 1 Yanda bir fıskiyeden yere doğru eğrisel hareket ile fışkıran suyun görseli verilmiştir. Suyun hareketi y = f(x) = -x² + 4 şeklinde tanımlanan f fonksiyonu ile modellenmiştir.

a) Verilen fonksiyondan faydalanarak aşağıda verilen x değerlerine karşılık gelen y değerlerini bulunuz.

b) Tablodaki x ve y değerlerini yukarıda verilen dik koordinat sisteminde işaretleyiniz.

Cevap: Grafikte işaretlenecek noktalar şunlardır:
(-2, 0), (-1, 3), (0, 4), (1, 3), (2, 0)
Bu noktalar birleştirildiğinde aşağı doğru açılan bir parabol elde edilir.

Soru 2 İşaretlenen değerler üzerinden suyun yüksekliğinin en fazla olduğu noktayı ve bu değeri bulunuz. Bu değerin fonksiyon için anlamını açıklayınız.

• En yüksek değer: 4
• Bu değerin alındığı nokta: x = 0, yani (0, 4)

Anlamı: Bu nokta parabolün tepe noktasıdır ve suyun ulaştığı maksimum yüksekliği ifade eder.

Soru 3 Dik koordinat sistemi üzerindeki A ve B noktaları arasındaki mesafenin nasıl bulunacağını açıklayınız. A ve B noktalarının fonksiyon için anlamını yazınız.

• A ve B noktaları, fonksiyonun x eksenini kestiği, yani f(x) = 0 olduğu noktalardır.
• -x² + 4 = 0 → x² = 4 → x = -2 ve x = 2
• A = (-2, 0), B = (2, 0)
• A ile B arası mesafe: |2 − (−2)| = 4 birim

Anlamı: Bu mesafe, suyun yere düştüğü yatay aralığı gösterir. Yani su -2 ile 2 arasında yere düşmektedir.

4. Uygulama Cevapları

Gerçek Sayılarda f(x) = x² Şeklinde Tanımlı Karesel Referans Fonksiyonu

Soru 1: f(x) = x² fonksiyonunun cebirsel ifadesinden yararlanarak aşağıdaki tabloyu doldurunuz.

Bu tabloda görüldüğü gibi negatif ve pozitif x değerleri için f(x) sonuçları aynıdır.
Bu durum, f(x) = x² fonksiyonunun çift fonksiyon olduğunu gösterir.

10. Sınıf Matematik Ders Kitabı Cevapları (MEB Yayınları) – Sayfa 198

Soru 2) Tablodaki değerleri kullanarak aşağıdaki dik koordinat sisteminde f(x) = x² şeklinde tanımlı f fonksiyonunun grafiğini çiziniz.

Cevap: f(x) = x² grafiği yukarı doğru açılan bir paraboldür ve tepe noktası (0,0)’dır.
Çizim için şu temel noktaları işaretleyip yumuşak bir eğriyle birleştiriniz:

(-2, 4), (-1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4)
Grafik ayrıca y eksenine göre simetriktir (sağ ve sol taraf aynı görünür).

Soru 3) f(x) = x² şeklinde tanımlı f fonksiyonunun grafiğinden ve cebirsel temsilinden faydalanarak aşağıdaki soruları cevaplayınız.

Soru 3-a) Fonksiyonun tanım kümesini bulunuz.

Cevap: Tanım kümesi = ℝ
Çünkü x’in alabileceği tüm gerçek sayılar için x² tanımlıdır.

Soru 3-b) Fonksiyonun görüntü kümesini bulunuz.

Cevap: Görüntü kümesi = [0, ∞)
Çünkü x² hiçbir zaman negatif olmaz, en küçük değer 0’dır.

Soru 3-c) Fonksiyonun işaretini belirleyiniz.

• f(x) ≥ 0 her x için doğrudur.
• f(x) = 0 yalnızca x = 0 iken olur.
• f(x) > 0 ise x ≠ 0 iken olur.

Yani fonksiyon negatif değer almaz.

Soru 3-ç) Fonksiyonun sıfırını belirleyiniz.

Cevap: f(x) = 0 ⇒ x² = 0 ⇒ x = 0
Fonksiyonun sıfırı: x = 0

Soru 3-d) Fonksiyonun artan ve azalan olduğu aralıkları belirleyiniz.

• Azalan olduğu aralık: (-∞, 0]
• Artan olduğu aralık: [0, ∞)

Çünkü parabol 0’a kadar iner, sonra 0’dan itibaren yükselir.

Soru 3-e) Fonksiyonun maksimum-minimum değerlerinin bulunup bulunmadığını, varsa bu değerleri hangi noktalarda aldığını belirleyiniz.

• Minimum değer vardır: min = 0, x = 0 noktasında alınır. ((0,0))
• Maksimum değer yoktur: x büyüdükçe x² sınırsız artar.

Soru 3-f) Fonksiyonun bire bir fonksiyon olup olmadığını belirleyiniz.

Cevap: Bire bir değildir.
Çünkü f(2) = 4 ve f(-2) = 4 olur. Yani f(2) = f(-2) iken 2 ≠ -2.

Soru 3-g) Fonksiyonun örten olup olmadığını belirleyiniz.

Cevap: Örten değildir (ℝ → ℝ kabul edilirse).
Çünkü x² negatif değer üretmez, yani -1, -2 gibi değerlerin görüntüsü yoktur.

Soru 3-ğ) Fonksiyonun tek ya da çift fonksiyon olup olmadığını grafik ve cebirsel temsillerini inceleyerek belirleyiniz. Fonksiyonun grafiğinden faydalanarak simetri doğrusunu yazınız. Elde ettiğiniz simetri doğrusunu fonksiyonun çiftliği ile ilişkilendiriniz.

• f(-x) = (-x)² = x² = f(x) olduğundan f(x) çift fonksiyondur.
• Grafiği y eksenine göre simetriktir.
• Simetri doğrusu: x = 0 (y ekseni)

Bu simetri, fonksiyonun çift olmasına doğrudan kanıttır.