9. Sınıf Matematik 1. Ders Kitabı Sayfa 100-101-102-103 Cevapları Meb Yayınları

3. Uygulama

Gerçek Sayılarda g(x) = x + b Şeklinde Tanımlı Doğrusal Fonksiyonların İncelenmesi

Aşağıdaki soruları cevaplayınız.

1. Soru: f: R → R, f(x) = x şeklinde tanımlı f fonksiyonundan yararlanılarak, g: R → R, g(x) = x + b şeklinde tanımlı g fonksiyonunun grafiği nasıl elde edilebilir? Varsayımlarınızı sınıf arkadaşlarınızla tartışarak oluşturunuz.
Cevap: g(x) = x + b fonksiyonunun grafiği, f(x) = x fonksiyonunun grafiğinin y-ekseninde b birim yukarı veya aşağı kaydırılması ile elde edilir. Eğer b > 0 ise grafik yukarı, b < 0 ise grafik aşağı kayar.

2. Soru: Tablo 1’de gerçek sayısının bazı değerleri için türetilen gerçek sayılarda tanımlı doğrusal fonksiyonlar verilmiştir. Verilen fonksiyonların bazı x değerleri için aldığı değerleri bularak tabloyu doldurunuz.

3. Soru: Tablo 1’de elde ettiğiniz sonuçlar doğrultusunda g: R → R, g(x) = x + b şeklinde tanımlı fonksiyonun grafiğinin nasıl çizilebileceği ile ilgili genellemelerinizi oluşturunuz.
Cevap: Doğrusal fonksiyonlar g(x) = x + b formunda tanımlanır. Bu tür fonksiyonların grafiği bir doğru oluşturur ve şu özelliklere sahiptir:

Doğru Denklemi: Grafikteki doğruların eğimi sabittir ve bu eğim 1’dir çünkü x’in katsayısı 1’dir. Bu doğrular, x-eksenine 45 derece eğimle uzanır.

b’nin Etkisi:

• b > 0 olduğunda doğru, y = x doğrusu yukarıya doğru ötelenir.
• b < 0 olduğunda doğru, y = x doğrusu aşağıya doğru ötelenir.
• b = 0 olduğunda doğru, orijinden geçer ve y = x doğrusudur.

Y Eksenini Kestiği Nokta: Fonksiyonun grafiği y-ekseni üzerinde (0, b) noktasında kesişir. Bu nokta, b’nin fonksiyon üzerindeki etkisini gösterir.

Grafik Çizimi: Grafik, bir referans fonksiyon olan y = x’e paraleldir ve b değeri kadar yukarıya ya da aşağıya kaydırılarak oluşturulur. Bu, her x değeri için g(x) = x + b denklemi kullanılarak doğrulanabilir.

Sonuç: Tablo 1’deki verilere göre, doğrusal fonksiyonların grafiği y = x doğrusu üzerinde b birim yukarı veya aşağı kaydırılarak çizilebilir.

4. Soru: 1. maddede varsayımlarınızı genellemeleriniz ile karşılaştırarak b > 0 ve b < 0 için g: R → R, g(x) = x + b fonksiyonunun grafiğinin nasıl çizilebileceği ile ilgili önerilerinizi oluşturunuz.

b > 0 Durumu:

• b pozitif olduğunda, grafikteki doğru y = x doğrusunun yukarısına kayar.
• Y-eksenini kestiği nokta (0, b) olur.
• Doğrunun eğimi değişmez, sadece y = x doğrusuna paralel şekilde yukarı ötelenir.

b < 0 Durumu:

• b negatif olduğunda, grafikteki doğru y = x doğrusunun aşağısına kayar.
• Y-eksenini kestiği nokta (0, b) olur ve bu nokta negatif y eksenindedir.
• Eğimi yine sabittir, sadece y = x doğrusuna paralel şekilde aşağı ötelenir.

Sonuç olarak:

• Doğrunun konumu b’nin pozitif ya da negatif olmasına bağlı olarak yukarı veya aşağı ötelenir.
• Eğimi her zaman sabit kalır ve doğru, y = x doğrusu ile paralel şekilde çizilir.

5. Soru: Aşağıdaki dik koordinat sisteminde gerçek sayılarda f(x) = x şeklinde tanımlı doğrusal referans fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Tablo 1’den yararlanarak h, k, m ve n fonksiyonlarının grafiğini çiziniz. Çizdiğiniz grafiklerden yararlanarak Tablo 2’yi doldurunuz.

1. Fonksiyonun sıfırı: Fonksiyonun x eksenini kestiği noktadır, yani g(x)=0g(x) = 0g(x)=0 için xxx'in değeridir.
2. y eksenini kestiği ordinat: x=0x = 0x=0 olduğunda fonksiyonun y eksenini kestiği noktanın y değeri.
3. Eğim: Tüm fonksiyonların ortak eğimi 1'dir, çünkü g(x)=x+bg(x) = x + bg(x)=x+b formundadır ve x'in katsayısı 1'dir.

6. Soru: Çizdiğiniz grafiklerden ve f: R → R, f(x) = x şeklinde tanımlı doğrusal fonksiyonun nitel özelliklerinden yararlanarak b > 0 ve b < 0 durumları için g: R → R, g(x) = x + b şeklinde tanımlı doğrusal fonksiyonun nitel özellikleri (tanım ve görüntü kümeleri, işareti, artanlık-azalanlık, maksimum-minimum noktaları, sıfırı ve bire birliği) ile ilgili varsayımlarınızı oluşturunuz.

7. Tablo 3’te verilen fonksiyonların nitel özelliklerini bularak tabloda ilgili yere örnekteki gibi yazınız.

8. Tablo 3'te bulduğunuz değerlerden yararlanarak b > 0 ve b < 0 için g: R → R, g(x) = x + b şeklinde tanımlı g doğrusal fonksiyonunun nitel özellikleri ile ilgili genellemelerinizi oluşturunuz.

b > 0 Durumu:

• Tanım ve Görüntü Kümeleri: Tanım ve görüntü kümeleri tüm gerçek sayılar kümesi R'dir.
• İşaret: Grafiğin kesişim noktası negatif eksendedir, yani sıfır (-b)'de yer alır. Grafiğin işareti (-∞, -b) aralığında negatif, (-b, ∞) aralığında pozitiftir.
• Artanlık/Azalanlık: Fonksiyon artandır.
• Sıfır Noktası: Fonksiyonun sıfır noktası x = -b'dir.
• Maksimum ve Minimum: Fonksiyonun maksimum veya minimum noktası yoktur.
• Bire Birlik: Fonksiyon bire birdir.

b < 0 Durumu:

• Tanım ve Görüntü Kümeleri: Tanım ve görüntü kümeleri yine tüm gerçek sayılar kümesi R'dir.
• İşaret: Grafiğin kesişim noktası pozitif eksendedir, yani sıfır (-b)'de yer alır. Grafiğin işareti (-∞, -b) aralığında negatif, (-b, ∞) aralığında pozitiftir.
• Artanlık/Azalanlık: Fonksiyon artandır.
• Sıfır Noktası: Fonksiyonun sıfır noktası x = -b'dir.
• Maksimum ve Minimum: Fonksiyonun maksimum veya minimum noktası yoktur.
• Bire Birlik: Fonksiyon bire birdir.

9. 6. maddede oluşturduğunuz varsayımlarla genellemelerinizi karşılaştırarak b > 0 ve b < 0 için g: R → R, g(x) = x + b şeklinde tanımlı g fonksiyonunun nitel özellikleri ile ilgili önermelerinizi oluşturunuz.

b > 0 için:

• Fonksiyon grafiği y = x doğrusu üzerinde yukarı yönde b birim ötelenir.
• Tanım kümesi ve görüntü kümesi R’dir.
• Fonksiyon artan bir fonksiyondur.
• Sıfırı: x = -b’dir.
• Birebir ve örten bir fonksiyondur.

b < 0 için:

• Fonksiyon grafiği y = x doğrusu üzerinde aşağı yönde b birim ötelenir.
• Tanım kümesi ve görüntü kümesi R’dir.
• Fonksiyon artan bir fonksiyondur.
• Sıfırı: x = -b’dir.
• Birebir ve örten bir fonksiyondur.

10. Aşağıdaki problemi inceleyerek soruları cevaplayınız.
Oğuz Bey, çatıda bulunan su depolarında sızıntı olup olmadığını kontrol etmek için uçuş izni alarak drone (dıron) kullanacaktır. Bu aracı evinin yerden 10 metre yüksekteki balkonundan bir süre uçurmuşsa da rahatça kontrol edememiştir (1. durum). Daha sonra apartmanın bahçesine inerek aracı kullanmıştır (2. durum). Drone, sabit hızla dakikada 10 m yükselmektedir

a) Oğuz Bey’in aracı kullandığı her iki durumu da inceleyiniz. Aracın hareketini ifade eden zaman (dk.) ve yerden yükseklik (m) değişkenleri arasındaki ilişkiyi açıklayınız.

• I. Durum: Drone sabit bir şekilde 10 metre yüksekliğe çıkmış ve orada kalmıştır. Bu durumda zaman ilerledikçe yükseklik değişmez.
• II. Durum: Drone, apartman bahçesine inmek için hareket etmektedir. Zaman ilerledikçe drone'un yüksekliği doğrusal bir şekilde azalmaktadır.

b) 1. ve 2. durumda aracın zamana (dk.) bağlı yerden yüksekliğini (m) veren fonksiyonlar sırasıyla m ve n olsun. m ve n fonksiyonlarının grafiklerini çiziniz.

• I. Durum (m): Yükseklik zamanla sabit olduğundan, fonksiyon m(t) = 10 şeklindedir.
• II. Durum (n): Yükseklik zamanla azaldığından, fonksiyon n(t) = 10 - t şeklindedir.

Grafik:

1. m(t): Yatay bir doğru (yükseklik sabit).
2. n(t): Eğik bir doğru (yükseklik azalan).

c) 1. durumda aracın yerden 10 m yüksekten harekete başlamasının 2. duruma kıyaslandığında hangi farklılıklara sebep olduğunu yüksekliği ifade eden grafik ve cebirsel ifadeleri dikkate alarak yorumlayınız.

Cevap: 1. durumda yükseklik sabit olduğundan, m(t) = 10 şeklindedir ve grafikte yatay bir doğru olarak gözlemlenir. 2. durumda ise yükseklik zamanla doğrusal bir şekilde azalır ve n(t) = 10 - t grafiği azalan eğimli bir doğru şeklindedir. Bu, 1. durumun statik, 2. durumun ise dinamik bir hareketi ifade ettiğini gösterir.

d) m ve n fonksiyonlarının minimum ve maksimum değerleri neler olabilir? Bu değerler iki durum için ne gibi farklılıklar göstermektedir?

• I. Durum (m fonksiyonu): Maksimum = 10, Minimum = 10 (Sabit bir yükseklik söz konusudur).
• II. Durum (n fonksiyonu): Maksimum = 10, Minimum = 0 (Yükseklik zamanla azalır).

Farklılık: 1. durumda yükseklik sabitken, 2. durumda yükseklik sıfıra kadar azalmaktadır. Bu, iki durumun hareket yapılarındaki temel farkı ortaya koymaktadır.

e) Grafiklerden yararlanarak m ve n fonksiyonlarını temsil eden doğruların y eksenini kestiği noktaları ve varsa yüksekliği ifade eden fonksiyonların sıfırlarını bulunuz. Bu noktaların aracın 1 ve 2. durumdaki hareketleri ile ilgili neleri ifade ettiğini açıklayınız.

• I. Durum (m): y = 10x + 10, y eksenini 10 noktasında keser. Bu, başlangıçtaki yüksekliği ifade eder.
• II. Durum (n): y = 10x, y eksenini 0 noktasında keser. Bu, sıfırdan başlayan bir hareketi temsil eder.

f) Yükseklik fonksiyonlarının arttığı veya azaldığı ile ilgili ne söylenebilir? Hangi kanıtlara dayanarak bu sonuca ulaştığınızı açıklayınız.

Cevap: Her iki fonksiyonda da yükseklik zamanla artmaktadır. Kanıt olarak, x₁ < x₂ için f(x₁) < f(x₂) durumu gözlenmiştir.

g) Ulaştığınız önermelerin problemin çözümünde ne tür bir kolaylık sağladığını açıklayınız.

Cevap: Grafik ve fonksiyonların incelenmesi, yüksekliğin başlangıç noktalarını ve artış oranlarını kolayca görmemizi sağlar. Bu da problem çözümünde hızlı bir yorumlama imkanı sunar.

11. Fonksiyonları temsil eden grafikler ve bu fonksiyonların nitel özellikleri ile ilgili oluşturduğunuz önermelerin doğruluğunu göstermek için matematiksel yazılımdan nasıl yararlanabilirsiniz?

1. Matematik yazılımında f(x) = x + b formülünü girerek grafiği oluşturun.
2. b parametresini değiştirerek fonksiyonun grafikteki hareketlerini gözlemleyin.

12. Doğrulama yöntemlerinizi sınıf arkadaşlarınızın kullandığı yöntemlerle karşılaştırarak kullanışlılık açısından değerlendirin.

Cevap: Yöntemlerimiz grafiklerin daha kolay çizilmesini sağlar. Özellikle y = mx + b grafiği sabit b değerine göre hızlı bir şekilde yorumlanabilir. Bu, grafik analizini daha anlaşılır hale getirir.